一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D. ，或
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴.
故選：A
2. 如圖，在圓中，已知弦的長(zhǎng)度為2，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】過(guò)點(diǎn)作，則，所以，
所以，
故選：B.
3. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】已知點(diǎn)在拋物線上，可得，解得.
在拋物線中，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.
所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即.
故選：B.
4. 若是兩條直線，是兩個(gè)平面，且．設(shè)，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若，由線面平行性質(zhì)定理可得，充分性成立；
若，，由線面平行的判定定理可得，必要性成立.
所以是的充要條件.
故選：C
5. 若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是由，復(fù)合而成，
由題意知：，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
若函數(shù)（其中且）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減，
可得： ,
又對(duì)于恒成立，
所以，
解得：，
綜上所述：.
故選：A
6. 棱長(zhǎng)為2的正方體中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)的外心，由外心的定義可知，為線段的四等分點(diǎn)（靠近），則球心在過(guò)且與平面垂直的直線上．
以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)球心，由，求出，從而求出，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
7. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上遞增，在上遞減，故，
所以，故，故，
故的圖像在的下方.
∵
∴，
如圖，為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由圖知，，而，
由為增函數(shù)得，故，故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由得，．
∵與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，，
∴且，
∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
∵，∴，故D選項(xiàng)正確．
故選：D.
8. 以“冰雪同夢(mèng)亞洲同心”為主題的第九屆亞冬會(huì)于2025年2月7日在哈爾濱盛大開(kāi)幕，場(chǎng)館上方懸掛的120萬(wàn)朵小雪花片裝置，讓觀眾仿佛置身于冰雪童話之中．理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱(chēng)作“雪花曲線”，又稱(chēng)“科赫曲線”．它可以這樣畫(huà)：如圖，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一步，把每一邊三等分；第二步，取三等分后的一邊中間的一段，以此為邊向外作正三角形，并把這中間的一段擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，形成雪花曲線，記雪花曲線的周長(zhǎng)為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】對(duì)于初始的正三角形，邊長(zhǎng)，周長(zhǎng),
由構(gòu)造規(guī)則可知，從到，每一條邊都變?yōu)樵瓉?lái)的倍.
因?yàn)橛?條邊，的邊數(shù)是條，且每條邊長(zhǎng)度為，所以.
從到，同樣每一條邊變?yōu)樵瓉?lái)的倍，的邊數(shù)是條，每條邊長(zhǎng)度為，所以.
以此類(lèi)推，可得,代入可得：
,
令,則,
則,
令，解得,
令，解得.
所以，.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在的展開(kāi)式中，則（ ）
A. 各二項(xiàng)式系數(shù)的和是32B. 各項(xiàng)系數(shù)的和是1
C. 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)D. 的系數(shù)是40
【答案】AB
【解析】關(guān)于的展開(kāi)式，其通項(xiàng)為：
對(duì)于選項(xiàng)A：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：利用賦值法的應(yīng)用，當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)的系數(shù)的和為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：展開(kāi)式共有6項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3和第4項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由通項(xiàng)：，令，可得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的周期為
B. 的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C. 在上恰有3個(gè)零點(diǎn)
D. 若在上單調(diào)遞增，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，，
③當(dāng)時(shí)，，
④當(dāng)時(shí)，，
因此，，.
所以函數(shù)的圖象，如圖所示：
A選項(xiàng)：因?yàn)?br>，所以的周期為，故A正確；
B選項(xiàng)：因
，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B正確；
C選項(xiàng)：由的函數(shù)解析式以及函數(shù)圖像可知：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由，，得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以由的圖象可知，
解得，則的最大值為，故D正確；
故選：ABD.
11. 牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法——牛頓法．具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面過(guò)程得到；一直進(jìn)行下去，得到，使得當(dāng)很大時(shí)，很小，我們可以把的值作為的近似值．已知函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，取，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 切線的方程為B.
C. D. 若，則
【答案】ACD
【解析】，，，所以切線的方程為，故A正確；
令，得，，，所以，令，有，故B錯(cuò)誤；
在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線斜率為，
所以在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為，令，則，故C正確；
因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞增．
，則．
由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，且．
，則．
．
要證，只需證，
只需證，即證，
，
成立．
，故D正確．
故選：ACD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分.
12. 已知，則_____．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，，可得.
將其代入中，得到.
進(jìn)行通分，即.則，所以.
則.
故答案為：.
13. 已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)____．
【答案】
【解析】設(shè)，由得，
∴，整理得，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線.
設(shè)，則，
由得，，即，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
∵表示復(fù)平面內(nèi)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，圓心到直線的距離為，
∴的最小值為.
故答案為：.
14. 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線與軸交于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，且，則_____，_____．
【答案】①. ②.
【解析】由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)有：是角的角平分線，
由角平分線定理可知，，
由雙曲線定義可知，
在中，由余弦定理可得，，
，
連接為內(nèi)心，是的角平分線，
在中，由角平分線定理可知．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的公差，且滿足，，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）由題意得，
解得或（舍），
，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式是；
（2）①，
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，②，
由①②得，，
化簡(jiǎn)得，，即，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，
，
．
16. DeepSeek是由中國(guó)杭州的DeepSeek公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學(xué)習(xí)的決心．DeepSeek主要功能為內(nèi)容生成、數(shù)據(jù)分析與可視化、代碼輔助、多模態(tài)融合、自主智能體等，在金融領(lǐng)域、醫(yī)療健康、智能制造、教育領(lǐng)域等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景．為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織A，B兩部門(mén)的50名員工參加DeepSeek培訓(xùn)．
（1）此次DeepSeek培訓(xùn)的員工中共有6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)參加，恰有3人來(lái)自部門(mén)．從這6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人，記表示選取的2人中來(lái)自部門(mén)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的員工才能合格．
（?。┣竺课粏T工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率；
（ⅱ）經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)，開(kāi)展DeepSeek培訓(xùn)后，合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)30萬(wàn)元，不合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)20萬(wàn)元，且公司需每年平均為每位參加培訓(xùn)的員工支付3萬(wàn)元的其他成本和費(fèi)用．試估計(jì)該公司兩部門(mén)培訓(xùn)后的年利潤(rùn)（公司年利潤(rùn)員工創(chuàng)造的利潤(rùn)-其他成本和費(fèi)用）．
解：（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．
的分布列為
的數(shù)學(xué)期望．
（2）（?。┯洝懊课粏T工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格”，“每位員工第輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”（），
，根據(jù)概率加法公式和事件相互獨(dú)立定義得，
．
即每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率為．
（ⅱ）記兩部門(mén)開(kāi)展DeepSeek培訓(xùn)后合格的人數(shù)為，則，
，則（萬(wàn)元）
即估計(jì)兩部門(mén)的員工參加DeepSeek培訓(xùn)后為公司創(chuàng)造的年利潤(rùn)為1100萬(wàn)元．
17. 已知橢圓離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）已知，為橢圓上異于點(diǎn)兩點(diǎn)，且，，點(diǎn)為垂足，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；并判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值．若存在，求出定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1），
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）（法一）由題可知，直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去，得．
，
，
，
，
化簡(jiǎn)得，或（舍），即
直線過(guò)定點(diǎn)．
（注：此處亦可按如下方法求
）
設(shè)為的中點(diǎn)，即．
若與不重合，則是的斜邊，；
若與重合，則．
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．
（法二）1.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
設(shè)，
，
，解得，不符題意（舍），或，符合題意．
直線過(guò)點(diǎn)．
2.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
由消去，得．
．
，
．
，
．
化簡(jiǎn)得：，或．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不符題意，舍去：
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)．
綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)．
設(shè)為的中點(diǎn)，即．
若與不重合，則是的斜邊，；
若與重合，則．
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．
18. 如圖，直四棱柱中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，棱的中點(diǎn)為．
（1）求證：平面；
（2）矩形以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．至矩形，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
（1）證明：中，由正弦定理得，即，
故，又．
又為正三角形，．
又平面平面．
又平面平面．
（2）解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．
，
．
設(shè)平面的法向量為，
則取．
設(shè)直線與平面所成角為，則
．
令
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．
19. 函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：，且滿足（其中）．已知函數(shù)在處的階帕德逼近．
（1）求；
（2）比較與的大小；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：．
解：（1）．
．
在處的階帕德逼近，
，則．
．
（2）設(shè)函數(shù)．
恒成立，在上單調(diào)遞增．
又，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
（3）設(shè)函數(shù)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，令，則．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
不妨設(shè)，則．
由（2）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
令，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
即且；
且．
且，
且．
設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則．
．0
1
2

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