四川省成都市玉林中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月診斷性評價數(shù)學(xué)試題

這是一份四川省成都市玉林中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月診斷性評價數(shù)學(xué)試題，共20頁。試卷主要包含了請將答案正確填寫作答題卡上， 設(shè)x∈R，則“”是“”的， 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為， 若，則的大小關(guān)系為， 下列說法正確的是．， 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項：
1.答題前在答題卡上填寫好自已的姓名?班級考號等信息；
2.請將答案正確填寫作答題卡上.
一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式化簡集合，再利用補集、交集的定義求解即得.
【詳解】集合，則，又，
所以.
故選：A
2. 拋物線在點處的切線的斜率為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令求出即為切線的斜率.
【詳解】令，得，得
故選：D
3. 設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.
【詳解】因為，所以或，所以或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
4. 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分兩種情況，解方程即可得解.
【詳解】當時，由可得，
所以，
所以，故，
當時，由可得，故，
則的零點有，，3，共計3個.
故選：C．
5. 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義域及單調(diào)性計算即可.
【詳解】由題意可知，解不等式得.
故選：D
6. 世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定縣的情歌木格措景區(qū)，被譽為藏在川西的“天空之心”.這個湖泊位于青藏高原，呈現(xiàn)出明亮的藍綠色，水質(zhì)清澈宛如明鏡.湖泊周圍環(huán)抱著雪山和梅花峰，景色優(yōu)美迷人.下圖1是這個“心形湖”的輪廓，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；根據(jù)、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.
【詳解】對于A，（當且僅當，即時取等號），
在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；
對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；
對于C，，當時，；
又過點；
由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；
又，
為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：與圖象相符，C正確；
對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.
故選：C.
7. 已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零有解，分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算范圍即可.
【詳解】由題意知，問題等價于f′x>0在區(qū)間上有解，
即有解，而，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，即.
故選：C.
8. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題設(shè)，，，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而判斷的大小.
【詳解】由題設(shè)知：，，，
令，則，易知上單調(diào)遞增，
上單調(diào)遞減，即，
∴.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大小.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列說法正確的是（ ）．
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 的最小值是2
C. 若，則
D. 的最小正周期是
【答案】ACD
【解析】
【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可判斷選項A；由基本不等式使用的條件可判斷選項B；在單調(diào)遞增，即可判斷選項C；由正弦型函數(shù)的最小正周期公式計算即可判斷選項D.
【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
命題“，”的否定是“，”，故A正確；
當時，，的最小值是2，
當時，，的最大值是，故B錯誤；
在單調(diào)遞增，若，則，故C正確；
的最小正周期為：，故D正確.
故選：ACD
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的值域是B. 圖象的對稱中心為
C. D. 的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】分離常數(shù)法，利用反比例函數(shù)圖象的平移變換可得AB項，由對稱性可得C項，由換元法可求復(fù)合函數(shù)值域得D項.
【詳解】，
函數(shù)的圖象可看作函數(shù)向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到，
由函數(shù)對稱中心為，且值域為，
故函數(shù)的值域為，對稱中心為，
所以A項錯誤；B項正確；
C項，由的圖象關(guān)于中心對稱，則，
故，故C正確
D項，令，由，則，
由，則.
因為在單調(diào)遞減，故的值域為.
所以的值域是，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當，且時，都有，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B. 直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C. 函數(shù)在上有個零點
D. 函數(shù)在上為減函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意利用奇函數(shù)性質(zhì)可得，即的圖象關(guān)于直線對稱，可推出是周期為4的周期函數(shù)，即可判斷AB正確；易知函數(shù)y=fx在上有7個零點，即C錯誤；由函數(shù)單調(diào)性及其對稱性可判斷D正確.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y=fx是R上的奇函數(shù)，所以；
又對任意x∈R，都有成立，
令，可得，即，所以，
即可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
又函數(shù)y=fx是R上的奇函數(shù)，所以f2?x=?f?x，則fx+2=?fx；
則有fx+4=?fx+2=fx，故函數(shù)是周期為4周期函數(shù)；
當，且時，都有，所以在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增；
再由奇函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間?1,0上單調(diào)遞增；
對于A，由fx+2=?fx可得，
所以，即A正確；
對于B，由直線是函數(shù)的一條對稱軸，且是周期為4的周期函數(shù)；
則也是函數(shù)的一條對稱軸，又為奇函數(shù)，
所以直線是函數(shù)y=fx圖象的一條對稱軸，即B正確；
對于C，函數(shù)y=fx在上有7個零點，分別為，即C錯誤；
對于D，易知函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞增，且周期為4，則函數(shù)y=fx在上為增函數(shù)，
由直線是函數(shù)的一條對稱軸，則函數(shù)y=fx在上為減函數(shù)，即D正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：本題主要考察函數(shù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性和周期性的應(yīng)用，要根據(jù)其他性質(zhì)綜合運用推出函數(shù)值求和、對稱軸、對稱中心、零點個數(shù)等的求解.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. ______.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的概念及對數(shù)運算性質(zhì)可直接求值.
【詳解】因為.
故答案為：6
13. 已知函數(shù)的定義域是，，，當時，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可推導(dǎo)求得，利用周期性和對稱性可得，結(jié)合已知函數(shù)解析式可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，
又，，
，，
.
故答案為：.
14. 函數(shù)，不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____
【答案】
【解析】
【分析】由解析式得出，令，得為奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式即可．
【詳解】因為，
所以，
令，則，可得為奇函數(shù)，
又因為，
，當且僅當，即時等號成立；
，當且僅當，即時等號成立；
所以，可得在上為增函數(shù)，
因為，
所以在上恒成立，
當時，顯然成立；
當，需滿足，解得，
綜上，，
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由函數(shù)解析式得出，構(gòu)造是解題關(guān)鍵．
四?解答題（本大題共5小題，共計77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 如圖，在三棱柱中，平面是棱的中點，在棱上，且.

（1）證明：平面；
（2）若四棱錐的體積等于1，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用線面垂直判定與性質(zhì)定理證得，再利用平行線分線段成比例的推論證得，從而利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）利用四棱錐的體積求出，建系并寫出相關(guān)點的坐標，求出兩個平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得.
【小問1詳解】

如圖，連接交于，連接交于，連接，
平面，平面，，
又因平面
故平面又平面則，
又平面
則平面又平面，，
在中，由知，，
即，
又因，可得，
即在中，，
平面，平面
平面；
【小問2詳解】
設(shè)，
四棱錐體積為，解得，
由（1）知，所以，
又，
則，所以為棱的中點.
以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，
則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
由，得，令，得，
因平面，故可取平面的法向量，
，
因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
16. 2022年暑假，某社區(qū)8名大學(xué)生（其中男生5人，女生3人），任選3人參加志愿服務(wù).
（1）設(shè)“女生甲被選中”為事件，“男生乙被選中”為事件，求；
（2）設(shè)所選3人中男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）分別求，，利用條件概率計算公式，求.
（2）寫出的可能取值，求出對應(yīng)的概率，可得的分布列，再求數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
依題意，
.
所以.
【小問2詳解】
依題意，的所有可能取值為，
所以，
，
所以的分布列為
所以.
17. 橢圓過點且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于兩點，，求的面積.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入點坐標并于聯(lián)立計算可得，求出橢圓的標準方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程并利用向量數(shù)量積的坐標表示以及韋達定理即可得出，再由弦長公式計算可得結(jié)果.
【小問1詳解】
將代入橢圓方程可得，即，
又因為，所以，代入上式可得，
故橢圓的標準方程為；
【小問2詳解】
由(1)可得，
設(shè)直線的方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，得，
所以，
則，
所以
，
解得，即，
所以，
則的面積.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)的取值；
（2）試討論的單調(diào)性；
（3）對任意的，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）1 （2）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接列出方程即可求解；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負討論單調(diào)性即可；
（3）分，三類討論，分離出參數(shù)，右邊設(shè)，分別求出其在：和時的最值，最后得到的范圍.
【小問1詳解】
由，則，
因為在處的切線方程為，
所以，即.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
因為，所以時，f′x0，
所以單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
【小問3詳解】
若任意的x∈0,+∞，恒有成立，
即，在x∈0,+∞上恒成立，即，其中，
當時，成立，
當時，，則恒成立，令，
令?′x