一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝，則等于( )
A. B. C. D.
2.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為( )
A. 12 B. 16C. 24 D. 24
3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中i是虛數(shù)單位），則（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 15
4.單位圓O：x2+y2=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，且滿(mǎn)足x1x2+y1y2=12，則x1+x2+y1+y2的取值范圍為（ ）
A. 2?1,2+1B. 3?1,3+1C. 2,3D. ?6,6
5.從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生B. 樣本是指1 000名學(xué)生
C. 樣本量指的是1 000名學(xué)生D. 個(gè)體指的是該市參加升學(xué)考試的每一名學(xué)生
6.已知圓C:x2+y2?2x=0，過(guò)圓C外一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，三角形PAB的面積為312，則PC的長(zhǎng)為（ ）
A. 33B. 233C. 3D. 2
7.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=n2+n+3，則（ ）
A. 數(shù)列an為等差數(shù)列
B. 數(shù)列an為遞增數(shù)列
C. S4?S2，S6?S4，S8?S6不為等差數(shù)列
D. an+Snn的最小值為172
8.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則( )
A. 2 B. C. 1 D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題.每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）
9.已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表
若，則（ ）
A. B. C. D.
10.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,F2c,0，直線l:bx+ay?bc=0與C相交于點(diǎn)M，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)N,C的離心率為e，則（ ）
A. 若NF1⊥NF2，則e=2
B. 若MF1⊥MF2，則e=22
C. 若NF2=2MF2，則e=2
D. 若MF1≥5MF2，則e≤2
11.若{an}是公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列B. 若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列
C. 若q＞0，則S4＋S6＞2S5D. 若bn＝，則{bn}是等比數(shù)列
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.函數(shù)y＝(x＞－1)的最小值為_(kāi)_______.
13.等比數(shù)列an的公比為q，其通項(xiàng)為an，如果a2+a5a1+a31+q3=25，則q= ；數(shù)列(?1)n+lg2qn的前5項(xiàng)和為 ．
14.某大學(xué)決定從甲、乙兩個(gè)學(xué)院分別抽取100人、60人參加演出活動(dòng)，其中甲學(xué)院中女生占，乙學(xué)院中女生占.從中抽取一人恰好是女生的概率為_(kāi)_________．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15.在△ABC中，CD為AB邊上的高，已知AC+BC=AB+CD.
(1)若AB=2CD，求tanC2的值；
(2)若AB=kCD，k>0，求tanC的最小值及tanC取最小值時(shí)k的值.
16.在數(shù)列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
17.已知函數(shù)．
（1）設(shè)f'x為fx的導(dǎo)函數(shù)，求f'x在上的最小值；
（2）令a∈R，證明：當(dāng)時(shí)，在上．
18.已知函數(shù)，其中.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)若時(shí)，有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.在三棱錐A-BCD中，E,H分別是線段AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是線段CB,CD上的點(diǎn)，且CFBF=CGDG=12.求證:
（1）四邊形EFGH是梯形；
（2）AC,EF,GH三條直線相交于同一點(diǎn).
2025學(xué)年高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)試題
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝，則等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】＝＝＝，所以＝，
所以＝＝＝.
2.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為( )
A. 12 B. 16C. 24 D. 24
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，
則由題意可得2π×4＝12θ，
則θ＝，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
則小蟲(chóng)爬行的最短路程為PP′＝＝12.
3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中i是虛數(shù)單位），則（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 15
【答案】C
【解析】，
∴ .
故選：C.
4.單位圓O：x2+y2=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，且滿(mǎn)足x1x2+y1y2=12，則x1+x2+y1+y2的取值范圍為（ ）
A. 2?1,2+1B. 3?1,3+1C. 2,3D. ?6,6
【答案】D
【解析】連接OM,ON，因?yàn)閤1x2+y1y2=12，即OM→?ON→=12，則∠MON=π3．
不妨設(shè)Mcsθ,sinθ，Ncsθ+π3,sinθ+π3，θ∈0,2π，
則x1+x2+y1+y2=csθ+csθ+π3+sinθ+sinθ+π3 =3+32csθ+3?32sinθ=66+24?csθ+6?24sinθ =6sin5π12csθ+cs5π12sinθ=6sin5π12+θ，
故?6≤x1+x2+y1+y2≤6.
故選：D．
5.從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生B. 樣本是指1 000名學(xué)生
C. 樣本量指的是1 000名學(xué)生D. 個(gè)體指的是該市參加升學(xué)考試的每一名學(xué)生
【答案】C
【解析】對(duì)于C，樣本量是1 000，故C錯(cuò)誤．
6.已知圓C:x2+y2?2x=0，過(guò)圓C外一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，三角形PAB的面積為312，則PC的長(zhǎng)為（ ）
A. 33B. 233C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因?yàn)镃:x2+y2?2x=0可化為x?12+y2=1，
設(shè)∠APC=α，S△PAB=12|PA|2sin2α，
三角形APC直角三角形，∠PAC=90°，CA=1，
所以PA=1tanα，所以12?1tan2αsin2α=312，
即12?1tan2α?2sinα?csαsin2α+cs2α=312，所以1tan2α?tanα1+tan2α=312
整理可得：tan3α+tanα?43=0，tanα?3tan2α+3tanα+4=0
tan2α+3tanα+4>0，所以tanα?3=0，
解得tanα=3，α∈0,π2，所以α=π3；
因此在Rt△APC中，PC=1sinα=233.
故選：B.
7.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=n2+n+3，則（ ）
A. 數(shù)列an為等差數(shù)列
B. 數(shù)列an為遞增數(shù)列
C. S4?S2，S6?S4，S8?S6不為等差數(shù)列
D. an+Snn的最小值為172
【答案】D
【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=n2+n+3?n?12?n?1?3=2n?1+1=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=5，∴an=5,n=12n,n≥2，
對(duì)于A：a1=5不滿(mǎn)足an=2n，故A不正確；
對(duì)于B：a1=5>a2=4，故B不正確；
對(duì)于C：S4?S2=a4+a3=14，S6?S4=a6+a5=22，S8?S6=a8+a7=30，三項(xiàng)可構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為8，,故C不正確；
對(duì)于D：當(dāng)n=1時(shí)，an+Snn=2S1=10，
當(dāng)n≥2時(shí)，an+Snn=2n+n2+n+3n=3n+3n+1，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知y=3n+1n+1在n≥2時(shí)單調(diào)遞增，
則當(dāng)n=2時(shí)，3n+3n+1有最小值1720,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,F2c,0，直線l:bx+ay?bc=0與C相交于點(diǎn)M，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)N,C的離心率為e，則（ ）
A. 若NF1⊥NF2，則e=2
B. 若MF1⊥MF2，則e=22
C. 若NF2=2MF2，則e=2
D. 若MF1≥5MF2，則e≤2
【答案】ACD
【解析】由題意可知：雙曲線C的漸近線為F1?c,0,F2c,0,y=±bax，
因?yàn)橹本€l的斜率k=?ba，則直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，
可知∠NOF2=∠NF2O,tan∠NOF2=ba,cs∠NF2O=ac,sin∠NF2O=bc，
聯(lián)立方程y=baxbx+ay?bc=0，解得x=c2y=bc2a，即Nc2,bc2a，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)镕1N→=3c2,bc2a,F2N→=?c2,bc2a，
若NF1⊥NF2，則F1N→?F2N→=?3c24+b2c24a2=?3c24+a2?c2c24a2=0，
解得c2=4a2，即c=2a，所以e=ca=2，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若MF1⊥MF2，則MF1=F1F2sin∠NF2O=2b,MF2=F1F2cs∠NF2O=2a，
且MF1?MF2=2b?2a=2a，可得ba=2，
所以e=ca=1+ba2=5，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若NF2=2MF2，可知M為NF2的中點(diǎn)，可得M3c4,bc4a，
且M在雙曲線C上，則3c42a2?bc4a2b2=1，
即9c216a2?c216a2=1，解得c2a2=2，所以e=ca=2，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)镸F1?MF2=2a，即MF1=MF2+2a，
且cs∠NF2O=F1F22+MF22?MF122F1F2?MF2，即4c2+MF22?2a+MF224c?MF2=ac，
解得MF2=c2?a22a,MF1=3a2+c22a，
若MF1≥5MF2，即3a2+c22a≥5c2?a22a，解得c2a2≤2，
所以e=ca≤2，故D正確；
故選：ACD.
11.若{an}是公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列B. 若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列
C. 若q＞0，則S4＋S6＞2S5D. 若bn＝，則{bn}是等比數(shù)列
【答案】ABD
【解析】A，B顯然正確；
C中，若a1＝1，q＝，則a6＜a5，
即S6－S5＜S5－S4，故C錯(cuò)誤；
D中，＝＝(q≠0)，
∴{bn}是等比數(shù)列，D正確.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.函數(shù)y＝(x＞－1)的最小值為_(kāi)_______.
【答案】9
【解析】因?yàn)閤＞－1，則x＋1＞0，
所以y＝
＝＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，
即x＝1時(shí)等號(hào)成立，
所以函數(shù)的最小值為9.
13.等比數(shù)列an的公比為q，其通項(xiàng)為an，如果a2+a5a1+a31+q3=25，則q= ；數(shù)列(?1)n+lg2qn的前5項(xiàng)和為 ．
【答案】12或2 ?16或14
【解析】等比數(shù)列an的公比為q，由a2+a5(a1+a3)(1+q3)=25，得a1q+a1q4(a1+a1q2)(1+q3)=25，
整理得2q2?5q+2=0，所以q=12或q=2；
當(dāng)q=12時(shí)，(?1)n+lg2qn=(?1)n?n，數(shù)列{(?1)n+lg2qn}的前5項(xiàng)和為?1+(?1?2?3?4?5)=?16，
當(dāng)q=2時(shí)，(?1)n+lg2qn=(?1)n+n，數(shù)列{(?1)n+lg2qn}的前5項(xiàng)和為?1+(1+2+3+4+5)=14，
所以數(shù)列{(?1)n+lg2qn}的前5項(xiàng)和為?16或14.
故答案為：12或2；?16或14.
14.某大學(xué)決定從甲、乙兩個(gè)學(xué)院分別抽取100人、60人參加演出活動(dòng)，其中甲學(xué)院中女生占，乙學(xué)院中女生占.從中抽取一人恰好是女生的概率為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】用A和分別表示抽取一人是來(lái)自甲學(xué)院與乙學(xué)院，B表示抽取一人恰好是女生，則根據(jù)已知有P(A)＝＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＋＝.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15.在△ABC中，CD為AB邊上的高，已知AC+BC=AB+CD.
(1)若AB=2CD，求tanC2的值；
(2)若AB=kCD，k>0，求tanC的最小值及tanC取最小值時(shí)k的值.
【答案】解 (1)設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，CD=?，則a+b=c+?.
在△ABC中，由余弦定理得csC=a2+b2?c22ab=a+b2?c2?2ab2ab=c+?2?c22ab?1=?2+2c?2ab?1.
由12absinC=12c?，得ab=c?sinC，所以1+csCsinC=?2+2c?2c?=1+?2c.
因?yàn)锳B=2CD，所以c=2?，于是1+csCsinC=1+?2c=54，
而tanC2=2sinC2csC22cs2C2=sinC1+csC=45.
(2)法一：由(1)知，1+?2c=1tanC2.
如圖，在△ABC中，過(guò)B作AB的垂線EB，且使EB=2?，
則CE=CB=a，則AC+CE=a+b≥AE=c2+4?2，
即c+?2≥c2+4?2，所以0

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