上海市桃浦中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

這是一份上海市桃浦中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題，共17頁(yè)。試卷主要包含了本試卷分設(shè)試卷和答題紙等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考生注意：
1.本試卷共5頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.
3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息.
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）
1. 集合，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算和補(bǔ)集運(yùn)算即可解出.
【詳解】∵，
∴，
∴.
故答案為：
2. 已知平面向量滿足，且，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得.
【詳解】依題意，，且，
所以，
所以.
故答案：
3. 在中，，其面積為，則邊______.
【答案】10
【解析】
【分析】由三角形的面積公式求解．
【詳解】由，得，
得，
故答案為：10
4. 已知球的體積是，則這個(gè)球的表面積是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出球體的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)該球的半徑為，則球的體積為，解得，
因此，該球的表面積為.
故答案為：.
5. 已知曲線在處的切線斜率為1，則______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用函數(shù)的求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)值的意義即可求解.
【詳解】由題意可得，則，解得．
故答案為：.
6. 函數(shù)的最小正周期為_(kāi)______.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦二倍角公式及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)后計(jì)算周期即可得.
【詳解】
，
則其最小正周期.
故答案為：.
7. 已知實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為_(kāi)______.
【答案】##
【解析】
【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值.
【詳解】由題設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：
8. 已知橢圓的離心率為，則的值為_(kāi)_____.
【答案】或
【解析】
【分析】分焦點(diǎn)在軸上和軸上，根據(jù)離心率公式直接求解可得.
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，則，
所以，，解得；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，則，
所以，，解得.
綜上，的值為或.
故答案為：或
9. 已知在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和為，則展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】
【分析】由各項(xiàng)系數(shù)和求參數(shù)，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)確定所求項(xiàng)系數(shù).
【詳解】由題意，，
故二項(xiàng)式為，其通項(xiàng)公式為，
所以時(shí)，有，故含項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：
10. 已知為虛數(shù)，其實(shí)部為1，且（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的相等即可求解.
【詳解】設(shè)，
則
，
所以，
所以，解得.
故答案為：.
11. 已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值情況列出不等式求解即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
由，得；
由，得，
因此函數(shù)，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到，
在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，
且，
由函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，
所以m的取值范圍為.
故答案為：
12. 斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，.若各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由題意有，，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列bn，可得數(shù)列bn是以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可．
【詳解】由題意，數(shù)列an為
an各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列bn為
所以，數(shù)列bn是以6為周期的周期數(shù)列，
所以，，
故答案為：1.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）.【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分.】
13. 已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)，對(duì)此描述正確的是（ ）
A. 氣候溫度高，海水表層溫度就高
B. 氣候溫度高，海水表層溫度就低
C. 隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)
D. 隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】由于相關(guān)系數(shù)表示一個(gè)變量變化對(duì)另一個(gè)變量變化趨勢(shì)的影響，
所以隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì).
故選：D
14. 已知不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即可.
【詳解】解：因?yàn)?，所?
要使不等式對(duì)一切恒成立，只需，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題.
15. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】求出的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，從而得到不等式，求出，結(jié)合是的真子集，確定答案.
【詳解】開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
要想在上單調(diào)遞增，則，
解得，
由于是真子集，
故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A
16. 已知，在上的最小值為，最大值為，在上的最小值為，最大值為，有以下兩個(gè)命題：①且的充要條件是，；②存在，使且；下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. ①正確，②錯(cuò)誤B. ①錯(cuò)誤，②正確C. ①②都正確D. ①②都錯(cuò)誤
【答案】B
【解析】
【分析】通過(guò)舉特例可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】注意到當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為1；
在上的最小值為，最大值為1，但不滿足，這個(gè)形式，故①錯(cuò)誤；
又注意到當(dāng)時(shí)，在上，當(dāng)時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值；
在上，當(dāng)時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值；滿足且，故②正確.
故選：B
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.】
17. 函數(shù)fx=Asinωx+φ的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，其中一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意列方程組，求解即可；
（2）首先得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列不等式，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，，，
解得，注意到，所以只能，，
所以函數(shù)的解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令或，解得或，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若，平面，求證：平面.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）連接，進(jìn)而根據(jù)線面平行判定定理證明即可；
（2）由平面，可得，進(jìn)而結(jié)合可得面，再結(jié)合即可求證.
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
∵四邊形是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，
∴是的中點(diǎn)，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
19. 為了了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問(wèn)卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的2倍；青年中愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的4倍.
（1）完善2×2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購(gòu)買與年齡是否有關(guān)；
（2）采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購(gòu)買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.
附：，.
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)
（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分別求出愿意購(gòu)買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購(gòu)買燃油車中年人數(shù)和青年人數(shù)，即可補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算出，根據(jù)表格即可判斷；
（2）先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù)，求出青年人數(shù)的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
中老年共有150人，且愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的2倍，
所以愿意購(gòu)買新能源車的中老年人數(shù)為100人，愿意購(gòu)買燃油車的中老年人數(shù)為50人，
青年共有250人，愿意購(gòu)買新能源車是愿意購(gòu)買燃油車的4倍，
所以青年中愿意購(gòu)買新能源車為200人，愿意購(gòu)買燃油車為50人，
故2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：消費(fèi)者購(gòu)買新能源車和燃油車意向與年齡無(wú)關(guān)，
χ2=nad?bc2a+bc+da+cb+d=400200×50?100×502250×150×300×100≈8.889>6.635=x0.01
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為消費(fèi)者購(gòu)買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān)；
【小問(wèn)2詳解】
愿意購(gòu)買新能源車的共有300人，青年人與中老年人的比例為，
所以分層隨機(jī)抽樣抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，記這5人中，
青年的人數(shù)為，則的可能取值為，
，
.
所以的分布列如下：
則，
所以這5人中青年人數(shù)的期望為.
20. 如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求的方程；
（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得的方程；
（3）將韋達(dá)定理代入中計(jì)算結(jié)果為定值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得解得，
故橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線的方程為，
由得，
由，得，
則.
，
解得或
當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為.
【小問(wèn)3詳解】
直線，均不與軸垂直，所以，則且，
所以
為定值.
21. 對(duì)于一個(gè)各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，若能從中選出第（）項(xiàng)，能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則稱為的“等比子列”.若此“等比子列”具有無(wú)窮項(xiàng)，則稱其為“完美等比子列”.
（1）若數(shù)列，，直接寫(xiě)出3個(gè)符合條件的“等比子列”，其中1個(gè)必須為“完美等比子列”.
（2）對(duì)于數(shù)列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)并證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）證明：各項(xiàng)非零的等差數(shù)列中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列滿足（為公差，）.
【答案】（1）;;
（2）不存在，證明見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，從給定的等差數(shù)列中選取合適的項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
（2）先進(jìn)行猜想，若存在“完美等比子列”，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用反證法進(jìn)行分析證明.
（3）證明充要條件，需要分別證明充分性和必要性.充分性是由推出存在“等比子列”；必要性是由存在“等比子列”推出.
【小問(wèn)1詳解】
取，則，為，這是一個(gè)等比數(shù)列，是的“等比子列”.
取，則，為，這是一個(gè)等比數(shù)列，是的“等比子列”.
取，則，為，這是一個(gè)“完美等比子列”.
【小問(wèn)2詳解】
猜想：數(shù)列不存在“完美等比子列”.
證明：假設(shè)存在“完美等比子列”，設(shè)其公比為，首項(xiàng)為.
設(shè)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，則，即.
變形得，，.
因?yàn)?，左邊是的倍?shù)，右邊不是的倍數(shù)（時(shí)），
當(dāng)時(shí)，不符合，所以矛盾，假設(shè)不成立，
即數(shù)列不存“完美等比子列”.
【小問(wèn)3詳解】
充分性：
已知（為公差，），設(shè)（）.
取，，，，.
則，，，，.
所以，，，
可以發(fā)現(xiàn)這些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，所以存在“等比子列”.
必要性：
設(shè)等差數(shù)列的公差為，“等比子列”的公比為.
設(shè)，，則.
整理得，.
因?yàn)椋ㄈ?，則數(shù)列為常數(shù)列，也滿足），所以，令，，所以.
綜上所得，各項(xiàng)非零的等差數(shù)列中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列滿足（為公差，）得證.
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題只要考查了對(duì)“等比子列”和“完美等比子列”新定義的理解，綜合了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，反證法證明，以及簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)的考查.綜合性，邏輯性強(qiáng)，屬于難題.年齡段
購(gòu)車意向
合計(jì)
愿意購(gòu)買新能源車
愿意購(gòu)買燃油車
青年
中老年
合計(jì)
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年齡段
購(gòu)車意向
合計(jì)
愿意購(gòu)買新能源車
愿意購(gòu)買燃油車
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合計(jì)
300
100
400
X
2
3
4
5
P