1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合的元素，進(jìn)而利用交集運(yùn)算即可得出.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，
故.
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由求模公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
3. 已知向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由可求的值，進(jìn)而利用充分、必要條件的概念即可求解.
【詳解】由可得，解得或，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 近日我國相關(guān)企業(yè)研究表明，隨著鋰離子電池充放電循環(huán)次數(shù)的增加，電池內(nèi)阻增大，可用容量和能量衰減，削弱了電動汽車的續(xù)航里程．相關(guān)科研團(tuán)隊(duì)利用數(shù)學(xué)建模的方法構(gòu)建理離子電池充放電循環(huán)次數(shù)單位：百次)與鋰離子電池性能指數(shù)的回歸模型，通過實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，則計算可得（ ）（參考公式及數(shù)據(jù)：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由是意，結(jié)合公式，利用最小二乘法，可得答案.
【詳解】由，，
且，，
故
故選：D.
5. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，進(jìn)而因式分解解方程并結(jié)合可得的值.
【詳解】由題意可得，即，即，
又，故.
故選：B.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知在區(qū)間上恒成立，進(jìn)而分離參數(shù)得，從而由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意可得在區(qū)間上恒成立，
所以，
設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞減，
故，即的最小值為.
故選：C.
7. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用余弦定理和正弦定理邊化角得，然后用二倍角公式進(jìn)行化簡，從而可求的值.
【詳解】由余弦定理化簡可得，即，
由正弦定理可得，即，
由題意，且，故，所以
故選：A.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求的取值范圍，進(jìn)而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】令，易知在上單調(diào)遞增，
由，得，使得，故，
而，
因?yàn)椋杂芍笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，
故，
又由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，即，
故.
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A. 的相位為
B. 是曲線的一個對稱中心
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
D. 在區(qū)間上有且僅有2個極值點(diǎn)
【答案】BD
【解析】
【分析】由函數(shù)最小正周期求出，得的相位判斷選項(xiàng)A；檢驗(yàn)曲線對稱中心判斷選項(xiàng)B；由平移得新函數(shù)解析式求對稱性判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)圖象判斷極值點(diǎn)個數(shù)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題意可得的最小正周期為，所以，所以，故的相位為，故A錯誤；
由A可得，且，是曲線的一個對稱中心，故B正確；
，不為偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于軸對稱，故C錯誤；
時，，令，結(jié)合正弦曲線得函數(shù)在區(qū)間上有1個極小值點(diǎn)和1個極大值點(diǎn)，故D正確.
故選：BD
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱
B. 為奇函數(shù)
C. 的最小正周期為4
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由可判斷A選項(xiàng)；由可得，結(jié)合奇偶性可判斷B選項(xiàng)；由題意化簡可得，可判斷C選項(xiàng)；用代入得f1=0，用，代入可得，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A：因?yàn)椋屎瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
對于B：由，故為奇函數(shù)，故B正確；
對于C：因?yàn)?br>所以，即，故的最小正周期為2，故C錯誤；
對于D：由題意可得f1=0，
對于，令可得，故D錯誤.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 若，則有且僅有兩個零點(diǎn)
B. 若，則0為的極值點(diǎn)
C. 當(dāng)為定值時，曲線在處的切線在軸上的截距為定值
D. 若，當(dāng)且僅當(dāng)時，曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】將代入，利用因式分解求的零點(diǎn)可判斷A選項(xiàng)；利用特殊情況，即用來判斷В選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求曲線y=fx在1,f1處的切線方程即可判斷C選項(xiàng)；由曲線y=fx上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，可得即有非零的實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可判斷D選項(xiàng)；
【詳解】對于A：若，
有且僅有兩個零點(diǎn)，故A正確；
對于B：若，當(dāng)時沒有極值點(diǎn)，故В錯誤；
對于C：，，
故切線方程為，在軸上的截距為，為定值，C正確；
對于D：曲線y=fx上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)
即有非零的實(shí)根，
即，
化簡得有非零的實(shí)根，
故有非零的實(shí)根，
故，得，由于每步都為充要條件，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知正數(shù)滿足，則最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故答案為：.
13. 已知命題“”為真命題，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意分離參數(shù)可得，進(jìn)而利用單調(diào)性求函數(shù)在上的最小值，即可得到答案.
【詳解】由題知命題“”為真命題，
故，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故.
故答案為：.
14. 已知，且時，，則正整數(shù)__________.
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，列不等式求的取值范圍即可.
【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為對于任意的，當(dāng)時，恒成立，
設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，所以?br>不妨設(shè)，則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故解得，故可取的正整數(shù)只能為2.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過換元，設(shè)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列不等式求的取值范圍即可.
四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求的長度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用輔助角公式將把轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)題意利用余弦定理求得，再利用可求的值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，整理得，?
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理，且，
則，又，故，
又為的中點(diǎn)，則，
，
故
16. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上.
（1）求C的離心率；
（2）設(shè)恒過點(diǎn)D的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且D為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，從而得到橢圓方程，進(jìn)而求得其離心率；
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，直線與橢圓聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系可得k，從而得直線AB的方程.
【小問1詳解】
由題意得，解得，，
所以橢圓C的方程為，
故C的離心率；
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，消去y得，
故，
由直線化，恒過，
故，即，所以，解得，
此時二次方程為，滿足題意，
故所求直線的方程為
17. 如圖，在長方體中，四邊形為正方形，點(diǎn)O是線段，的交點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上，且平面
（1）證明：；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面平行性質(zhì)證得，由，可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面法向量，進(jìn)而求解二面角的余弦，進(jìn)而得解.
【小問1詳解】
連接，
因?yàn)槠矫?，平面?br>平面平面，
所以，
而在長方體中，四邊形是平行四邊形，
則，故；
【小問2詳解】
連接，不妨設(shè)，
則，
在中，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，，
所以，
以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面COM的法向量為，
則，即，
令，則，，
故平面COM的一個法向量為
設(shè)平面BCO的法向量為，
則，即，
令，則，，所以,
設(shè)二面角為，
則，
則，
即二面角的正弦值為
18. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（2）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得到與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，可求與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，函數(shù)無零點(diǎn)，可得在區(qū)間上的有1個零點(diǎn).
【小問1詳解】
，則，得切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，得，則曲線y=gx在點(diǎn)處的切線斜率為-3，
故切線方程為，
易得該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
故其與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.
【小問2詳解】
由題意可得，則，
當(dāng)時，f′x

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