1．（2022?玄武區(qū)二模）先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣2．
二．解分式方程（共2小題）
2．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）解方程：+＝1．
3．（2022?宜興市二模）（1）解方程：；
（2）解不等式組：．
三．分式方程的應(yīng)用（共3小題）
4．（2022?豐縣二模）金山銀山不如綠水青山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種樹900棵，由于青年志愿者支援，實際每天種樹的棵數(shù)是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．原計劃每天種樹多少棵？
5．（2022?儀征市二模）為讓學(xué)生們近距離接觸大自然，積累寫作素材，提高寫作能力，某校策劃了以“擁抱自然”為主題的作文大賽，某班開展了此項活動，學(xué)習(xí)委員為班級購買獎品后與生活委員對話如圖所示．
試用方程的知識幫助學(xué)習(xí)委員計算一下，為什么說學(xué)習(xí)委員搞錯了？
6．（2022?鼓樓區(qū)二模）小明去圖書館借書，到達(dá)后發(fā)現(xiàn)借書卡沒帶，于是他跑步回家，拿到借書卡后騎車返回圖書館．已知圖書館離小明家1650m，小明騎車時間比跑步時間少5.5min，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
四．解一元一次不等式組（共1小題）
7．（2022?灌南縣二模）解不等式組：．
五．一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（共1小題）
8．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，4），將點A向右平移3個單位長度，再向下平移a個單位長度得到點B，點B恰好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點A，B兩點的直線與y軸交于點C．
（1）求k的值及點C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上有一點D（0，1），連接AD，BD，求△ABD的面積．
六．一次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）
9．（2022?建湖縣二模）甲、乙兩人沿同一直道從A地去B地．甲比乙早1min出發(fā)，乙的速度是甲的1.5倍．在整個行程中，甲離A地的距離y1（單位：m）與時間x（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）在圖中畫出乙離A地的距離y2（單位：m）與時間x之間的函數(shù)圖象；
（2）若甲比乙晚3min到達(dá)B地，求甲整個行程所用的時間．
10．（2022?宿城區(qū)二模）隨著電商時代發(fā)展，某水果商以“線上”與“線下”相結(jié)合的方式銷售．我市甌柑共1000箱，已知“線上”銷售的每箱利潤為50元．“線下”銷售的每箱利潤y（元）與銷售量x箱（200≤x≤800）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的線段AB．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）當(dāng)“線下“的銷售利潤為28000元時，求x的值．
（3）實際“線下”銷售時，每箱還要支出其它費用m（0＜m＜10），若“線上”與“線下”售完這1000箱甌柑所獲得的最大總利潤為56250元，請求出m的值．
11．（2022?秦淮區(qū)二模）小明騎自行車從家勻速駛往學(xué)校，經(jīng)過一個路口時恰好遇到紅燈，紅燈變成綠燈后，小明立即以原速騎到學(xué)校．在整個過程中，小明離家的距離y1（m）與時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）小明家與學(xué)校的距離是 m，小明騎車的速度是 m/min；
（2）求圖中點A的坐標(biāo)，并解釋它的實際意義；
（3）小明從家出發(fā)一段時間后，媽媽發(fā)現(xiàn)粗心的小明把數(shù)學(xué)書忘在家里了，于是立即從家出發(fā)，沿著小明上學(xué)的路線騎電動車以300m/min的速度追趕小明，經(jīng)過路口時遇到紅燈，等待30s后以原速繼續(xù)騎行，結(jié)果在離學(xué)校還有150m處追上小明．在圖中畫出媽媽從出發(fā)到追上小明的過程中，她離家的距離y2（m）與小明出發(fā)的時間x（min）之間的函數(shù)圖象．
七．反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（共1小題）
12．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖，點C的坐標(biāo)為（﹣6，0），點A在y軸正半軸上，cs∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點B．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式．
八．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
13．（2022?玄武區(qū)二模）生活中充滿著變化，有些變化緩慢，幾乎不被人們所察覺；有些變化太快，讓人們不禁發(fā)出感嘆與驚呼，例如：氣溫“陡增”，汽車“急剎”，股價“暴漲”，物價“飛漲”等等．
【數(shù)學(xué)概念】
點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是函數(shù)圖象上不同的兩點，對于A，B兩點之間函數(shù)值的平均變化率k（A，B）用以下方式定義：k（A，B）＝．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣2x+4圖象上不同的兩點，求證：k（A，B）是一個定值，并求出這個定值．
（2）點C（x3，y3），D（x4，y4）是函數(shù)y＝（x＞0）圖象上不同的兩點，且x4﹣x3＝2．當(dāng)k（C，D）＝﹣4時，則點C的坐標(biāo)為 ．
（3）點E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）是函數(shù)y＝﹣2x2+8x﹣3圖象上不同的兩點，且x5+x6＜2，求k（E，F(xiàn)）的取值范圍．
【問題解決】
（4）實驗表明，某款汽車急剎車時，汽車的停車距離y（單位：m）是汽車速度x（單位：km/h）的二次函數(shù)．已知汽車速度x與停車距離y部分對應(yīng)值如表：
當(dāng)x＝100時，y的值為 ．
九．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
14．（2022?玄武區(qū)二模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目．如圖，運動員通過助滑道后在點A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點P處．騰空點A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4．以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過點（4，75），（8，78）．
（1）求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在空中飛行過程中，求運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離；
（3）落點P與坡頂C之間的距離為 m．
一十．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
15．（2022?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y1＝2x和函數(shù)y2＝﹣x+6，不論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．
（1）求函數(shù)y1和y2圖象的交點坐標(biāo)，并直接寫出y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y＝x2﹣8x+c，若函數(shù)y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．
一十一．全等三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）
16．（2022?豐縣二模）如圖，點F是△ABC的邊AC的中點，點D在AB上，連接DF并延長至點E，DF＝EF，連接CE．
（1）求證：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的長．
17．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度數(shù)．
18．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，C為切點，且CD＝CB，連接AD，與⊙O交于點E．
（1）求證AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半徑．
一十二．三角形綜合題（共2小題）
19．（2022?建湖縣二模）[問題情境]小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：
如圖1，點C是線段AB上一點，分別以AC、AB為底邊在線段AB的同側(cè)作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于點D．當(dāng)P、Q、B在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：∠PAQ＝∠CPB．請幫他解釋其中的道理；
[問題探究]
如圖2，在上述情境下中的條件下，過點C作CE∥AP交PB于點E，若PD＝2CD，PA＝9，求CE的長．
[類比應(yīng)用]
如圖3，△ABC是某村的一個三角形魚塘，點D、E分別在邊AB、BC上，AE、CD的交點F為魚塘的釣魚臺，測量知道∠CAD＝∠CDA＝67.5°，∠CEA＝2∠B，AD2＝（40000﹣20000）m2，且DB＝2AD．直接寫出CF的長為 m．
20．（2022?金壇區(qū)二模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P、H分別是邊BC、AB上一點，將△BPH沿PH翻折，使得點B落在AB邊上的點D處．
（1）如圖1，PE平分∠CPD，交AC邊于點E，連接DE．
①探索PE與AB的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論；
②若AE＝DE，求△BPD的面積；
（2）連接CD，若∠CDA＝∠BPD，求BP的長．
一十三．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）
21．（2022?海陵區(qū)二模）中國建筑師以潛望鏡為靈感設(shè)計了一個在私密空間內(nèi)也能享受到窗外美景的未來公共衛(wèi)生間（如圖1），該建筑總高BE＝6.2m，剖面設(shè)計如圖2，BE⊥ED，CD⊥ED，AB∥CG∥ED，點F為CG與BE的交點，F(xiàn)E＝4.2m，其中HI為平面鏡，在墻面BC上也全部安裝與之貼合的鏡面，HI∥BC，HI＝0.6m，HE＝1.2m，記BC與CG的夾角為α，AB與GF之間為外界光線入射的區(qū)域．（提示：法線垂直于平面鏡，入射角等于反射角，外界射入的均為與地面平行的水平光線）
（1）如圖3，當(dāng)α＝60°時（其中，JK為入射光線，HK為反射光線，LK為法線）：
①求∠BKH的度數(shù)；
②若入射光線JK經(jīng)平面鏡BC反射后，剛好到達(dá)平面鏡HI的最頂端H處成像，求該入射光線與地面的距離；
（2）當(dāng)α＝45°時，利用圖2分析，要在不影響觀景體驗的同時盡可能地節(jié)約建筑成本，可以在BC邊上安裝鏡面時減少 米耗材．（直接在橫線上填寫答案，參考數(shù)據(jù)：
一十四．菱形的判定（共1小題）
22．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至點F，使EF＝DE，連接AF，CF，AD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）要使四邊形ADCF是菱形，△ABC的邊需要滿足的條件是 ．
一十五．矩形的性質(zhì)（共1小題）
23．（2022?江都區(qū)二模）如圖，矩形EFGH的頂點E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點F、H在菱形ABCD的對角線BD上．
（1）求證：BG＝DE；
（2）若E為AD中點，菱形ABCD的周長是20，求FH的長．
一十六．矩形的判定（共1小題）
24．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接CE并延長，與BA的延長線交于點F．
（1）求證EF＝EC；
（2）連接AC，DF，若AC平分∠FCB，求證：四邊形ACDF為矩形．
一十七．正方形的性質(zhì)（共1小題）
25．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，連接AE，CE，延長AE交CD邊于點F．
（1）求證：△ABE≌△CBE；
（2）設(shè)∠AEC＝α，∠AFD＝β，試求β關(guān)于α的表達(dá)式．
一十八．圓周角定理（共1小題）
26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，A，B是⊙O上的兩點，點C在⊙O內(nèi)，點D在⊙O外，AD，BD分別交⊙O于點E，F(xiàn)．求證∠ACB＞∠ADB．
一十九．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
27．（2022?儀征市二模）如圖，點D是Rt△ABC斜邊AB上一點，且CD＝CB，點O在AC上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D，交AC于點E，連接DE．
（1）求證：DC與⊙O相切；
（2）若OA＝5，tan∠EDC＝，求CB的長．
二十．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
28．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AF交⊙O于點G，過G作DE∥BC分別交AB，AC的延長線于點D，E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知AG＝8，＝，點I為△ABC的內(nèi)心，求GI的長．
二十一．作圖—復(fù)雜作圖（共6小題）
29．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知正方形ABCD，在邊CD上求作一點P，使∠PBC＝15°．（保留作圖痕跡，不寫作法）
30．（2022?海陵區(qū)二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y＝的函數(shù)圖象．
（1）如圖1，點A是該函數(shù)圖象第一象限上的點，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），延長AO使得AO＝A'O，判斷點A'是否為該函數(shù)圖象第三象限上的點，并說明理由；
（2）如圖2，點B、C均為該函數(shù)圖象第一象限中的點，連接BC，點D為線段BC的中點，請僅用一把無刻度的直尺作出點D關(guān)于點O的對稱點D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）
31．（2022?宜興市二模）如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，AC＜BC．
（1）試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在BC上作一點E，使得直線ED平分△ABC的周長；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AB＝10，AC＝2EC，求AE的長．
32．（2022?建湖縣二模）如圖，在?ABCD中，點N在BC上，AB＝BN，BM平分∠ABC交AD于點M，請用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．
（1）在圖1中，過點A畫出△ABM中BM邊上的高AP，并證明你的結(jié)論；
（2）在圖2中，過點C畫出C到BM的垂線段CQ．
33．（2022?鼓樓區(qū)二模）尺規(guī)作圖：如圖，在?ABCD的邊AD上求作點P，使P分別滿足以下要求：
（1）BP＝CP；
（2）BP＝AP+BC．
34．（2022?玄武區(qū)二模）已知△ABC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（1）在圖①中，BC所在直線的下方求作一點M，使得∠BMC＝∠A；
（2）在圖②中，BC所在直線的下方求作一點N，使得∠BNC＝2∠A．
二十二．作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖（共1小題）
35．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖，△ABC的頂點均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上．
（1）只用不帶刻度的直尺，在AC邊上找一點D，使得D到AB、BC兩邊距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）D到AB的距離是 ．
二十三．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
36．（2022?儀征市二模）如圖，平行四邊形ABCD中，點E在AD上，BE平分∠ABC，過點E作EF∥AB，交BC于點F．
（1）求證：四邊形ABFE是菱形；
（2）若AB＝4，∠D＝60°，求四邊形ABFE的面積．
37．（2022?宿城區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與AC交于點E，連接DE并延長交BC的延長線于點F，且BF＝BD．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半徑．
38．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知△ABC，點D，E分別在BC，CA上，且滿足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圓規(guī)確定點D，E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）連接AD，EB，AD與EB交于點F．
①求證：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則DF的長為 ．
39．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為線段AB上一動點，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點F，連接AF，其中AC＝3，BC＝4．
（1）求證：△CFA∽△CEB；
（2）當(dāng)E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為 ．
二十四．相似形綜合題（共1小題）
40．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點D在邊BC上，過點D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點E、F．如果＝sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正DF平分線．
（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；
（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①試說明：四邊形MNFD為正方形；
②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB＝，求∠CAB的正平分線AD的長．
二十五．解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）
41．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）小淇同學(xué)在學(xué)習(xí)了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉(zhuǎn)動了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD＝10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
42．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當(dāng)PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm．
（1）當(dāng)PA＝45cm時，求PC的長；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
43．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．
（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；
（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長短，則較短路徑為 （填序號），兩路徑相差 km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）
二十六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）
44．（2022?金壇區(qū)二模）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝26米，在距山腳點A水平距離6米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11）
45．（2022?宿城區(qū)二模）圖（1）為某大型商場的自動扶梯，圖（2）中的AB為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面示意圖．小明站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈C的仰角為37°，此時他的眼睛D與地面的距離AD＝1.8m，之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方．已知自動扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13m，求日光燈C到一樓地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cs37°＝0.8，tan37°≈0.75）
46．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，山頂?shù)恼戏接幸凰嗀B，為了測量塔AB的高度，在距山腳M一定距離的C處測得塔尖頂部A的仰角∠ACM＝37°，測得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前進(jìn)30m到達(dá)D處，此時測得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三點在同一直線上），求塔AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）
二十七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共1小題）
47．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，052D型驅(qū)逐艦“昆明艦”執(zhí)行任務(wù)后正返回葫蘆島軍港C，途經(jīng)渤海海域A處時，葫蘆島軍港C的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在南偏東30°方向上，旅順軍港B的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在正西方向上．已知軍港C在軍港B的北偏西60°方向，且B、C兩地相距120海里．（計算結(jié)果保留根號）
（1）求出此時點A到軍港C的距離；
（2）若“昆明艦”從A處沿AC方向向軍港C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點A′時，測得軍港B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“昆明艦”的航行距離．
二十八．扇形統(tǒng)計圖（共2小題）
48．（2022?江都區(qū)二模）學(xué)校開展“書香校園”活動以來，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注．學(xué)校為了了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成下列不完整的統(tǒng)計圖：
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次“所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．
49．（2022?廣陵區(qū)二模）八（2）班數(shù)學(xué)興趣小組分別調(diào)查了甲、乙兩個小區(qū)居民的家庭人口數(shù)，并分別繪制了下面甲、乙的扇形統(tǒng)計圖．
（1）在甲圖中，求出該小區(qū)居民家庭人口數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）興趣小組的小明認(rèn)為：乙小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭比甲小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭多，你認(rèn)為合理嗎，為什么？
二十九．條形統(tǒng)計圖（共2小題）
50．（2022?建湖縣二模）李阿姨要在網(wǎng)上購買一臺掃地機(jī)器人，她對某款掃地機(jī)器人的外觀和功能比較滿意，就進(jìn)入評論區(qū)瀏覽購買過的人們對該商品的評價，在評論區(qū)中，好評，中評，差評的情況統(tǒng)計如圖1：
（1）這款掃地機(jī)器人的好評率是 %；
（2）李阿姨把好評和中差評的原因進(jìn)行分類整理，結(jié)果如圖2：
①請分別求出由于物流服務(wù)原因給好評的用戶人數(shù)和中差評的用戶人數(shù)；
②李阿姨比較看重商品的質(zhì)量，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，你是否建議她購買這款掃地機(jī)器人？ （填“建議”，或“不建議”），理由是 ．
51．（2022?宿城區(qū)二模）市教育局想知道某校學(xué)生對麋鹿自然保護(hù)區(qū)的了解程度，在該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷，問卷有以下四個選項：A．十分了解；B．了解較多：C．了解較少：D．不了解（要求：每名被調(diào)查的學(xué)生必選且只能選擇一項）．現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：
（1）本次被抽取的學(xué)生共有 名；
（2）請補(bǔ)全條形圖；
（3）扇形圖中的選項“D．不了解”部分所占扇形的圓心角的大小為 °；
（4）若該校共有1000名學(xué)生，請你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校對于麋鹿自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名？
三十．折線統(tǒng)計圖（共1小題）
52．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）疫情期間，學(xué)校開通了教育互聯(lián)網(wǎng)在線學(xué)習(xí)平臺．為了解學(xué)生使用電子設(shè)備種類的情況，小淇設(shè)計了調(diào)查問卷，對該校七（1）班和七（2）班全體同學(xué)進(jìn)行了問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)使用了三種設(shè)備：A（平板）、B（電腦）、C（手機(jī)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題．
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 ；
（2）求扇形統(tǒng)計圖中代表類型C的扇形的圓心角，并補(bǔ)全折線圖；
（3）若該校七年級學(xué)生共有1000人，試根據(jù)此次調(diào)查結(jié)果，估計該校七年級學(xué)生中類型C學(xué)生約有多少人．
三十一．列表法與樹狀圖法（共8小題）
53．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）貼春聯(lián)是中華民族的傳統(tǒng)文化．不識字的王爺爺不小心將兩副對聯(lián)弄混了，已知這四張聯(lián)紙上的文字分別是：①天涯若比鄰，②修業(yè)勤為貴，③行文意必高，④海內(nèi)存知己．若他任意取出兩張聯(lián)紙，求這兩張聯(lián)紙恰好組成一副對聯(lián)的概率．
54．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E、F都是格點．
（1）從C、D、E、F四點中任取一點，以這點及點A、B為頂點畫三角形，所畫三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）從A、B、D、E四點中任取兩點，以這兩點及點C、F為頂點畫四邊形，用畫樹狀圖或列表格法求所畫四邊形是平行四邊形的概率．
55．（2022?宜興市二模）某校共有2名男生和2名女生競選學(xué)校學(xué)生會主席，現(xiàn)抽簽決定演說順序．
（1）第一個演說的是男生的概率是 ；
（2）求第一個和第二個演說的都是女生的概率．（請用畫樹狀圖或列表的形式給出分析過程）
56．（2022?建湖縣二模）中國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)成就，《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》等是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．
（1）小明想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機(jī)選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為 ；
（2）某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，求恰好選中《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》的概率．
57．（2022?灌南縣二模）為落實“垃圾分類”，環(huán)保部門要求垃圾要按A，B，C，D四類分別裝袋、投放，其中A類指對人體健康或者自然環(huán)境造成直接或潛在危害的、應(yīng)當(dāng)專門處置的有害垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指廢塑料、廢紙等可回收物，D類指出其他垃圾，小明、小紅各投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是A類的概率為 ；
（2）求小紅投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率．
58．（2022?宿城區(qū)二模）第二十四屆冬奧會于2022年2月20日在北京閉幕，北京成為全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市．如圖，是四張關(guān)于冬奧會運動項目的卡片，卡片的正面分別印有A．“花樣滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“單板滑雪大跳臺”和D．“鋼架雪車”（這四張卡片除正面圖案外，其余都相同）．將這四張卡片背面朝上，洗勻．
（1）從中隨機(jī)抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為 ；
（2）從中隨機(jī)抽取兩張，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求兩張卡片的圖案上是B．“高山滑雪”和D．“鋼架雪車”運動項目的概率．
59．（2022?鼓樓區(qū)二模）2022年北京冬奧會用全新的方式向世界展示了一個文化自信、底蘊(yùn)深厚的中國．小明和小穎都比較感興趣的有：花樣滑冰、冰壺、短道速滑、冬季兩項，依次記為項目A，B，C，D．他們各自隨機(jī)觀看其中的兩個項目．
（1）求小明觀看的項目是A，B的概率；
（2）小明和小穎觀看的項目完全不相同的概率是 ．
60．（2022?廣陵區(qū)二模）口袋里裝有1個紅球和2個白球，這三個球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲闹忻?個球，然后將取出的球放回袋里攪勻再摸出第2個球．
（1）求摸出的兩個球都是紅球的概率；
（2）寫出一個概率為的事件．
2022年江蘇省中考數(shù)學(xué)模擬題（二模）精選按題型分層分類匯編-06解答題（中檔題）
參考答案與試題解析
一．分式的化簡求值（共1小題）
1．（2022?玄武區(qū)二模）先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣2．
【解答】解：（）÷
＝÷
＝
＝?
＝?
＝，
當(dāng)a＝﹣2時，
原式＝
＝
＝
＝1﹣．
二．解分式方程（共2小題）
2．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）解方程：+＝1．
【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣1得：2x﹣3＝x﹣1，
解得：x＝2，
檢驗：將x＝2代入x﹣1＝2﹣1＝1≠0．
所以x＝2是原分式方程的解，
即原方程的解為x＝2．
3．（2022?宜興市二模）（1）解方程：；
（2）解不等式組：．
【解答】解：（1）方程兩邊都乘以x﹣4得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
檢驗：把x＝3代入x﹣4≠0，
所以x＝3是原方程的解，
即原方程的解是x＝3；
（2）
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式組的解集為﹣2≤x＜1．
三．分式方程的應(yīng)用（共3小題）
4．（2022?豐縣二模）金山銀山不如綠水青山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種樹900棵，由于青年志愿者支援，實際每天種樹的棵數(shù)是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．原計劃每天種樹多少棵？
【解答】解：設(shè)原計劃每天種樹x棵．則實際每天種樹1.5x棵，
由題意，得：＝+4，
解得：x＝75，
經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解，且符合題意．
答：原計劃每天種樹75棵．
5．（2022?儀征市二模）為讓學(xué)生們近距離接觸大自然，積累寫作素材，提高寫作能力，某校策劃了以“擁抱自然”為主題的作文大賽，某班開展了此項活動，學(xué)習(xí)委員為班級購買獎品后與生活委員對話如圖所示．
試用方程的知識幫助學(xué)習(xí)委員計算一下，為什么說學(xué)習(xí)委員搞錯了？
【解答】解：設(shè)軟面筆記本的單價為x元，則硬面筆記本的單價為（x+3）元，
由題意得：＝，
解得：x＝5，
經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解，
則＝2.4，
∵筆記本的數(shù)量為整數(shù)，
∴x＝5不合題意，
∴說學(xué)習(xí)委員搞錯了．
6．（2022?鼓樓區(qū)二模）小明去圖書館借書，到達(dá)后發(fā)現(xiàn)借書卡沒帶，于是他跑步回家，拿到借書卡后騎車返回圖書館．已知圖書館離小明家1650m，小明騎車時間比跑步時間少5.5min，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
【解答】解：設(shè)小明跑步的平均速度為xm/min，則小明騎車的平均速度為1.5xm/min，
根據(jù)題意得：﹣＝5.5，
解得：x＝100，
經(jīng)檢驗，x＝100是原分式方程的解，且符合題意．
答：小明跑步的平均速度為100m/min．
四．解一元一次不等式組（共1小題）
7．（2022?灌南縣二模）解不等式組：．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式組的解集是x＞﹣．
五．一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（共1小題）
8．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，4），將點A向右平移3個單位長度，再向下平移a個單位長度得到點B，點B恰好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點A，B兩點的直線與y軸交于點C．
（1）求k的值及點C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上有一點D（0，1），連接AD，BD，求△ABD的面積．
【解答】解：（1）把點A（3，4）代入y＝中得：k＝3×4＝12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
∵將點A向右平移3個單位長度，再向下平移a個單位長度得到點B，
∴B（6，4﹣a），
∴6（4﹣a）＝12
∴a＝2
∴B（6，2），
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，
由題意可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+6，
當(dāng)x＝0時，y＝6，
∴C（0，6）；
（2）由（1）知CD＝6﹣1＝5，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD?|xB|﹣CD?|xA|＝×5×6﹣×5×3＝．
六．一次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）
9．（2022?建湖縣二模）甲、乙兩人沿同一直道從A地去B地．甲比乙早1min出發(fā)，乙的速度是甲的1.5倍．在整個行程中，甲離A地的距離y1（單位：m）與時間x（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）在圖中畫出乙離A地的距離y2（單位：m）與時間x之間的函數(shù)圖象；
（2）若甲比乙晚3min到達(dá)B地，求甲整個行程所用的時間．
【解答】解：（1）如圖：
（2）設(shè)甲的速度是vm/min，乙整個行程所用的時間為tmin，
由題意得：1.5v?t＝（t+1+3）v，
解得：t＝8，
8+1+3＝12（min），
答：甲整個行程所用的時間為12min．
10．（2022?宿城區(qū)二模）隨著電商時代發(fā)展，某水果商以“線上”與“線下”相結(jié)合的方式銷售．我市甌柑共1000箱，已知“線上”銷售的每箱利潤為50元．“線下”銷售的每箱利潤y（元）與銷售量x箱（200≤x≤800）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的線段AB．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）當(dāng)“線下“的銷售利潤為28000元時，求x的值．
（3）實際“線下”銷售時，每箱還要支出其它費用m（0＜m＜10），若“線上”與“線下”售完這1000箱甌柑所獲得的最大總利潤為56250元，請求出m的值．
【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
∵點（200，75），（800，60）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+80（200≤x≤800）；
（2）由題意可得，xy＝28000，
又∵y＝﹣x+80，
∴x（﹣x+80）＝28000，
解得x1＝400，x2＝2800（舍去），
即x的值400；
（3）設(shè)“線下”銷售甌柑a箱，則“線上”銷售甌柑（1000﹣a）箱，總利潤為w元，
由題意可得，w＝a（﹣a+80﹣m）+50（1000﹣a）＝﹣a2+（30﹣m）a+50000，
該函數(shù)的對稱軸為直線a＝﹣＝600﹣20m，
∵0＜m＜10，
∴400＜600﹣20m＜600，
∵“線上”與“線下”售完這1000箱榴蓮所獲得的最大總利潤為56250元，
∴當(dāng)a＝600﹣20m時，﹣（600﹣20m）2+（30﹣m）（600﹣20m）+50000＝56250，
化簡，得m2﹣60m+275＝0，
解得m1＝5，m2＝55（舍去），
∴m＝5．
11．（2022?秦淮區(qū)二模）小明騎自行車從家勻速駛往學(xué)校，經(jīng)過一個路口時恰好遇到紅燈，紅燈變成綠燈后，小明立即以原速騎到學(xué)校．在整個過程中，小明離家的距離y1（m）與時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）小明家與學(xué)校的距離是 1500 m，小明騎車的速度是 150 m/min；
（2）求圖中點A的坐標(biāo)，并解釋它的實際意義；
（3）小明從家出發(fā)一段時間后，媽媽發(fā)現(xiàn)粗心的小明把數(shù)學(xué)書忘在家里了，于是立即從家出發(fā)，沿著小明上學(xué)的路線騎電動車以300m/min的速度追趕小明，經(jīng)過路口時遇到紅燈，等待30s后以原速繼續(xù)騎行，結(jié)果在離學(xué)校還有150m處追上小明．在圖中畫出媽媽從出發(fā)到追上小明的過程中，她離家的距離y2（m）與小明出發(fā)的時間x（min）之間的函數(shù)圖象．
【解答】解：（1）由圖象可知，小明家與學(xué)校的距離是1500m，小明騎車的速度是600÷4＝150（m/min），
故答案為：1500；150；
（2）點A的橫坐標(biāo)為11﹣（1500﹣600）÷150＝5，
故點A的坐標(biāo)為（5，600），它的實際意義小明騎5分鐘后離家距離為600米；
（3）媽媽追上小明時，小明騎了10分鐘，故媽媽從出發(fā)到追上小明所以時間為：（1500﹣150）÷300+＝4.5，
10﹣4.5﹣0.5＝5（min），
故小明出發(fā)5分鐘后，媽媽開始出發(fā)，
在圖中畫出媽媽從出發(fā)到追上小明的過程中，她離家的距離y2（m）與小明出發(fā)的時間x（min）之間的函數(shù)圖象如下：
七．反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（共1小題）
12．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖，點C的坐標(biāo)為（﹣6，0），點A在y軸正半軸上，cs∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點B．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式．
【解答】解：（1）∵點C的坐標(biāo)為（﹣6，0）
∴OC＝6
∵cs∠ACO＝＝，
∴AC＝10，AO＝＝8，
∴點A的坐標(biāo)是（0，8）；
（2）作BH⊥x軸于點H，
則∠BHC＝∠COA＝90°，
∵CB⊥CA，
∴∠BCH＝∠CAO＝90°﹣∠ACO，
∴△BHC∽△COA，
∴＝＝＝，
∴CH＝4，BH＝3，
∴點B的坐標(biāo)是（﹣10，3），
∴k＝﹣10×3＝﹣30，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．
八．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
13．（2022?玄武區(qū)二模）生活中充滿著變化，有些變化緩慢，幾乎不被人們所察覺；有些變化太快，讓人們不禁發(fā)出感嘆與驚呼，例如：氣溫“陡增”，汽車“急剎”，股價“暴漲”，物價“飛漲”等等．
【數(shù)學(xué)概念】
點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是函數(shù)圖象上不同的兩點，對于A，B兩點之間函數(shù)值的平均變化率k（A，B）用以下方式定義：k（A，B）＝．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣2x+4圖象上不同的兩點，求證：k（A，B）是一個定值，并求出這個定值．
（2）點C（x3，y3），D（x4，y4）是函數(shù)y＝（x＞0）圖象上不同的兩點，且x4﹣x3＝2．當(dāng)k（C，D）＝﹣4時，則點C的坐標(biāo)為 （，10） ．
（3）點E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）是函數(shù)y＝﹣2x2+8x﹣3圖象上不同的兩點，且x5+x6＜2，求k（E，F(xiàn)）的取值范圍．
【問題解決】
（4）實驗表明，某款汽車急剎車時，汽車的停車距離y（單位：m）是汽車速度x（單位：km/h）的二次函數(shù)．已知汽車速度x與停車距離y部分對應(yīng)值如表：
當(dāng)x＝100時，y的值為 56 ．
【解答】（1）證明：∵點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣2x+4圖象上不同的兩點，
∴y1＝﹣2x1+4，y2＝﹣2x2+4，
∴k（A，B）＝＝＝＝＝﹣2，
∴k（A，B）是一個定值，這個定值為﹣2；
（2）解：∵點C（x3，y3），D（x4，y4）是函數(shù)y＝（x＞0）圖象上不同的兩點，
∴y3＝，y4＝，
∴k（C，D）＝＝＝﹣＝﹣4，
∴x3?x4＝，
又∵x4﹣x3＝2，
∴聯(lián)立方程組，
解得，
∴y3＝＝＝10，
∴C（，10），
故答案為：（，10）；
（3）解：∵點E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）是函數(shù)y＝﹣2x2+8x﹣3圖象上不同的兩點，
∴y5＝﹣2x+8x5﹣3，y6＝﹣2x+8x6﹣3，
∴k（E，F(xiàn)）＝＝＝8﹣2（x5+x6），
∵x5+x6＜2，
∴﹣2（x5+x6）＞﹣4，
∴﹣2（x5+x6）+8＞4，
∴k（E，F(xiàn)）＞4；
（4）解：∵y與x的關(guān)系是二次函數(shù)，
∴設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，
把x＝80，y＝36.8，x＝82，y＝38.54，x＝90，y＝45.9代入解析式得：
，
解得：，
∴y與x的函數(shù)解析式為y＝0.005x2+0.06x，
∴當(dāng)x＝100時，y＝0.005×10000+0.06×100＝56．
故答案為：56．
九．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
14．（2022?玄武區(qū)二模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目．如圖，運動員通過助滑道后在點A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點P處．騰空點A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4．以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過點（4，75），（8，78）．
（1）求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在空中飛行過程中，求運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離；
（3）落點P與坡頂C之間的距離為 50 m．
【解答】解：（1）∵OA為70m，
∴A（0，70），
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，
把（0，70）（4，75）（8，78）代入得，
解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+70；
（2）如圖，作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點，
∵坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，
∴OB＝80m，即B（80，0），
設(shè)線段BC的關(guān)系式為y＝kx+b，則，
解得：，
所以線段BC的關(guān)系式為y＝﹣x+60，
設(shè)M（a，﹣a2+a+70），則N（a，﹣a+60），
則MN＝﹣a2+a+70+﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
答：運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離是30.25米；
（3）如圖，
由題意得﹣x2+x+70＝﹣x+60，
解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），
∴PD＝40米，OD＝30米，
∴CD＝60﹣30＝30（米），
∴PC＝＝50（米），
答：落點P與坡頂C之間的距離為50米，
故答案為：50．
一十．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
15．（2022?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y1＝2x和函數(shù)y2＝﹣x+6，不論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．
（1）求函數(shù)y1和y2圖象的交點坐標(biāo)，并直接寫出y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y＝x2﹣8x+c，若函數(shù)y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴函數(shù)y1和y2圖象交點坐標(biāo)（2，4）；
y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y0＝ ；
（2）∵對于函數(shù)y0，y0隨x的增大而減小，
∴y0＝﹣x+6（x ≥2），
又∵函數(shù)y＝x 2﹣8x+c的對稱軸為直線x＝4，且a＝1＞0，
∴當(dāng)x＜4時，y隨x的增大而減小，
∴2≤x ＜4；
（3）①若函數(shù)y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點，且交點在2＜x ＜4范圍內(nèi)，
則x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+（ c﹣6）＝0，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4（ c﹣6）＝73﹣4c＝0，
解得c＝ ，
此時x1＝x2＝ ，符合2＜x ＜4，
∴c＝ ；
②若函數(shù)y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點，其中一個在2＜x ＜4范圍內(nèi)，另一個在2＜x ＜4范圍外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜ ，
∵對于函數(shù)y0，當(dāng)x＝2時，y0＝4；當(dāng)x＝4時y0＝2，
又∵當(dāng)2＜x ＜4時，y隨x的增大而減小，
若y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6在2＜x ＜4內(nèi)有一個交點，
則當(dāng)x＝2時y＞y0；當(dāng)x＝4時y＜y0，
即當(dāng)x＝2時，y≥4；當(dāng)x＝4時，y≤2，
∴，
解得16＜c ＜18，
又c ＜ ，
∴16＜c ＜18，
綜上所述，c的取值范圍是：c＝ 或16＜c ＜18．
一十一．全等三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）
16．（2022?豐縣二模）如圖，點F是△ABC的邊AC的中點，點D在AB上，連接DF并延長至點E，DF＝EF，連接CE．
（1）求證：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的長．
【解答】（1）證明：∵F為AC的中點，
∴AF＝CF，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
（2）解：∵△ADF≌△CEF，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∵DE∥BC，
∴四邊形BCED是平行四邊形，
∴BC＝DE，
∵DE＝4，
∴BC＝4．
17．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
18．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，C為切點，且CD＝CB，連接AD，與⊙O交于點E．
（1）求證AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CD是⊙O的切線，C為切點，
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵BC＝BD，AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD；
（2）連接OB，OC，CE，連接AO并延長交BC于點F，
∵△ACB≌△ACD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴＝，
∴BC＝CE，
∵BC＝CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠D＝∠CED，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠CED＝∠ACD，
∴△DEC∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），
∴AD＝AE+DE＝9，
∴AB＝AC＝AD＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AF是BC的垂直平分線，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，
∴AF＝＝＝6，
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，
∴（6﹣r）2+32＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半徑為．
一十二．三角形綜合題（共2小題）
19．（2022?建湖縣二模）[問題情境]小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：
如圖1，點C是線段AB上一點，分別以AC、AB為底邊在線段AB的同側(cè)作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于點D．當(dāng)P、Q、B在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：∠PAQ＝∠CPB．請幫他解釋其中的道理；
[問題探究]
如圖2，在上述情境下中的條件下，過點C作CE∥AP交PB于點E，若PD＝2CD，PA＝9，求CE的長．
[類比應(yīng)用]
如圖3，△ABC是某村的一個三角形魚塘，點D、E分別在邊AB、BC上，AE、CD的交點F為魚塘的釣魚臺，測量知道∠CAD＝∠CDA＝67.5°，∠CEA＝2∠B，AD2＝（40000﹣20000）m2，且DB＝2AD．直接寫出CF的長為 m．
【解答】解：（1）∵AP＝PC，AQ＝BQ，
∴∠PAC＝∠PCA，∠B＝∠QAB，
∵∠PCA＝∠B+∠CPB，∠PAC＝∠PAQ+∠QAB，
∴∠PAQ＝∠CPB；
（2）由（1）可知，∠PAQ＝∠CPB，
∴∠PAD＝∠CPE，
∵PD＝2CD，PC＝9，
∴PA＝PC＝9，PD＝PC＝6，
∵CE∥PA，
∴∠APD＝∠PCE，
在△PAD和△CPE中，
，
∴△PAD≌△CPE（ASA），
∴CE＝PD＝6；
（3）過點D作DH⊥AC于點H，
∵∠CAD＝∠CDA＝67.5°，
∴AC＝CD，∠ACD＝180°﹣∠CAD＝∠CDA＝45°，
在Rt△CDH中，sin∠ACD＝，
∴CD＝DH，
設(shè)DH＝k，則AC＝CD＝k，CH＝k，AH＝AC﹣CH＝（﹣1）k，
在Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2，
∴40000﹣20000＝，
解得，k＝100，
∴AC＝100（m），
過點D作DG∥AC交BC于G，
∴△DGB∽△ACB，
∴，
∴，
∴DG＝（m），
由[問題探究]可知△PAD≌△CPE，
∴CF＝DG＝（m），
故答案為：．
20．（2022?金壇區(qū)二模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P、H分別是邊BC、AB上一點，將△BPH沿PH翻折，使得點B落在AB邊上的點D處．
（1）如圖1，PE平分∠CPD，交AC邊于點E，連接DE．
①探索PE與AB的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論；
②若AE＝DE，求△BPD的面積；
（2）連接CD，若∠CDA＝∠BPD，求BP的長．
【解答】解：（1）①PE∥AB，
證明：∵PE平分∠CPD，
∴∠CPE＝∠DPE，
∵∠CPD＝∠B+∠BDP，∠B＝∠BDP，
∴∠CPE＝∠B，
∴PE∥AB；
②∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵PE∥AB，
∴∠EAD＝∠CEP，∠EDA＝∠PED，
∴∠CEP＝∠PED，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠BDP+∠ADE＝90°，
∴∠PDE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴PC＝PD，
∵PB＝PD，
∴PB＝PC，
∵BC＝8，
∴BP＝4，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝，
∴PH＝BP?sinB＝4×＝，BH＝BP?csB＝4×＝，
∴＝＝；
（2）取AB的中點F，連接CF，則AF＝BF＝CF＝5，
∴∠B＝∠BCF，∠FCA＝∠A，
∴∠CFD＝2∠B＝∠CPD，
∵∠CDA＝∠BPD，
∴∠CDF＝∠CPD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴CD＝CF＝5，
∵∠CPD＝∠CDB，∠PCD＝∠DCB，
∴△CDP∽△CBD，
∴，
∴CD2＝CP?CB，
∴CP＝，
∴BP＝8﹣＝．
一十三．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）
21．（2022?海陵區(qū)二模）中國建筑師以潛望鏡為靈感設(shè)計了一個在私密空間內(nèi)也能享受到窗外美景的未來公共衛(wèi)生間（如圖1），該建筑總高BE＝6.2m，剖面設(shè)計如圖2，BE⊥ED，CD⊥ED，AB∥CG∥ED，點F為CG與BE的交點，F(xiàn)E＝4.2m，其中HI為平面鏡，在墻面BC上也全部安裝與之貼合的鏡面，HI∥BC，HI＝0.6m，HE＝1.2m，記BC與CG的夾角為α，AB與GF之間為外界光線入射的區(qū)域．（提示：法線垂直于平面鏡，入射角等于反射角，外界射入的均為與地面平行的水平光線）
（1）如圖3，當(dāng)α＝60°時（其中，JK為入射光線，HK為反射光線，LK為法線）：
①求∠BKH的度數(shù)；
②若入射光線JK經(jīng)平面鏡BC反射后，剛好到達(dá)平面鏡HI的最頂端H處成像，求該入射光線與地面的距離；
（2）當(dāng)α＝45°時，利用圖2分析，要在不影響觀景體驗的同時盡可能地節(jié)約建筑成本，可以在BC邊上安裝鏡面時減少 2.22 米耗材．（直接在橫線上填寫答案，參考數(shù)據(jù)：
【解答】解：①∵法線LK垂直于平面鏡BC，
∴∠BKL＝∠LKC＝90°，
∵JK∥GC，
∴∠BKJ＝∠BCG＝α＝60°，
∴∠JKL＝30°，
∴∠LKH＝∠JKL＝30°，
∴∠BKH＝∠BKL+∠LHK＝120°；
②由①可知，∠BKJ＝60°，
∴∠KBN＝30°，
∵∠BKH＝120°，
∴∠BHK＝30°，
∴∠KBN＝∠BHK＝30°，
∴BK＝KH，
∵KN⊥BH，
∴N為BH中點，
∴BN＝NH＝BH，
∵HE＝1.2，BE＝6.2，
∴BH＝BE﹣HE＝5，
∴NH＝BH＝2.5，NE＝NH+HE＝3.7，
∴入射光線與地面的距離為3.7米；
（2）當(dāng)∠BCG＝α＝45°時，∠CBF＝45°，
∵HI∥BC，
∴∠IHE＝∠CBF＝45°，
假設(shè)入射光MP經(jīng)鏡面反射正好到達(dá)I處，
∵LP⊥BC，
∴∠BPL＝90°，
∵AB∥CG，
∴∠BPM＝∠BCG＝45°，
∴∠MPL＝45°，
∴∠LPI＝∠MPL＝45°，
∴∠MPI＝90°，
∴BH⊥PI，
∵BP∥HI，
∴四邊形BPIH為平行四邊形，
∴BP＝HI＝0.6，
當(dāng)入射光線到達(dá)鏡面在P點之下時，反射后也無法到達(dá)HL，
∴只需要在BP處安裝鏡面，
∵BF＝BE﹣EF＝2，
∴BC＝＝＝2.82，
∴BC﹣BP＝2.22，
即可減少2.22米耗材，
故答案為：2.22．
一十四．菱形的判定（共1小題）
22．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至點F，使EF＝DE，連接AF，CF，AD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）要使四邊形ADCF是菱形，△ABC的邊需要滿足的條件是 AB2+AC2＝BC2 ．
【解答】（1）證明：∵DE是△ABC的中位線，
∴AE＝EC，DE∥AB，
∵EF＝DE，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）解：AB2+AC2＝BC2，四邊形ADCF是菱形，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥AC，
∵四邊形ADCF是平行四邊形，
∴平行四邊形ADCF是菱形．
故答案為：AB2+AC2＝BC2．
一十五．矩形的性質(zhì)（共1小題）
23．（2022?江都區(qū)二模）如圖，矩形EFGH的頂點E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點F、H在菱形ABCD的對角線BD上．
（1）求證：BG＝DE；
（2）若E為AD中點，菱形ABCD的周長是20，求FH的長．
【解答】解：（1）∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE，
（2）如圖，連接EG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E為AD中點，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，
又∵AE∥BG，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴EG＝AB，
∵菱形ABCD的周長是20，
∴AB＝5＝EG，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴FH＝EG＝5．
一十六．矩形的判定（共1小題）
24．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接CE并延長，與BA的延長線交于點F．
（1）求證EF＝EC；
（2）連接AC，DF，若AC平分∠FCB，求證：四邊形ACDF為矩形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EDC，
∵E是AD中點，
∴AE＝DE，
∵AE＝DE，∠FEA＝∠DEC，∠FAE＝∠EDC，
∴△EAF≌△DEC（ASA），
∴EF＝EC；
（2）如圖，
∵EF＝EC，AE＝DE，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∵AC平分∠FCB，
∴∠ACE＝∠ECA，
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴AE＝CE，即AD＝FC，
∴四邊形ACDF為矩形．
一十七．正方形的性質(zhì)（共1小題）
25．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，連接AE，CE，延長AE交CD邊于點F．
（1）求證：△ABE≌△CBE；
（2）設(shè)∠AEC＝α，∠AFD＝β，試求β關(guān)于α的表達(dá)式．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝α，
∴∠CEB＝α＝∠AEB，
∴∠DEF＝α，
∴∠AFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣α＝β．
∴β＝135°﹣α．
一十八．圓周角定理（共1小題）
26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，A，B是⊙O上的兩點，點C在⊙O內(nèi)，點D在⊙O外，AD，BD分別交⊙O于點E，F(xiàn)．求證∠ACB＞∠ADB．
【解答】解：延長AC交⊙O于M，連接BM，BE，
∵∠ACB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，
又∵∠AMB＝∠AEB，
∴∠ACB＞∠ADB．
一十九．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
27．（2022?儀征市二模）如圖，點D是Rt△ABC斜邊AB上一點，且CD＝CB，點O在AC上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D，交AC于點E，連接DE．
（1）求證：DC與⊙O相切；
（2）若OA＝5，tan∠EDC＝，求CB的長．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD＝CB，OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，∠B＝∠CDB，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DC與⊙O相切；
（2）解：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠ODE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A+∠ODE＝90°，
∵∠CDE+∠ODE＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∴tanA＝tan∠EDC＝＝，
∵∠A＝∠CDE，∠ACD＝∠DCE，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝＝2，
設(shè)CE＝x，CD＝2x，
∵∠ODC＝90°，
∴OD2+CD2＝OC2，
∴52+（2x）2＝（5+x）2，
∴x＝，
∴BC＝CD＝．
二十．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
28．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AF交⊙O于點G，過G作DE∥BC分別交AB，AC的延長線于點D，E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知AG＝8，＝，點I為△ABC的內(nèi)心，求GI的長．
【解答】（1）證明：連接OG，
∵∠BAC的平分線AF交⊙O于點G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴＝，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：連接BI，BG，
∵點I為△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴＝＝，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝4（負(fù)值舍去），
∴GI的長為4．
二十一．作圖—復(fù)雜作圖（共6小題）
29．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知正方形ABCD，在邊CD上求作一點P，使∠PBC＝15°．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【解答】解：如圖，點P即為所求．
30．（2022?海陵區(qū)二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y＝的函數(shù)圖象．
（1）如圖1，點A是該函數(shù)圖象第一象限上的點，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），延長AO使得AO＝A'O，判斷點A'是否為該函數(shù)圖象第三象限上的點，并說明理由；
（2）如圖2，點B、C均為該函數(shù)圖象第一象限中的點，連接BC，點D為線段BC的中點，請僅用一把無刻度的直尺作出點D關(guān)于點O的對稱點D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）
【解答】解：（1）結(jié)論：點A'是該函數(shù)圖象第三象限上的點．
理由：如圖1中，過點A作AE⊥x軸于點E，過點A′作A′F⊥x軸于點F．
在△AOE和△A′OF中，
，
∴△AOE≌△A′OF（AAS），
∴AE＝A′F，OE＝OF，
設(shè)A（m，n），則A′（﹣m，﹣n），
∵點A在y＝的圖象上，
∴mn＝3，
∴﹣m×（﹣n）＝mn＝3，
∴A′在反比例函數(shù)y＝的圖象上．
即點A'是該函數(shù)圖象第三象限上的點；
（2）如圖，點D′即為所求．
31．（2022?宜興市二模）如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，AC＜BC．
（1）試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在BC上作一點E，使得直線ED平分△ABC的周長；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AB＝10，AC＝2EC，求AE的長．
【解答】解：（1）如圖，直線DE即為所求作．
（2）連接AE．∵AC＝2CE，
∴可以假設(shè)EC＝m，則AC＝2m，BE＝3m，
∴CB＝4m，
∴CA2＝CE?CB，
∴＝，
∵∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝＝＝，
∴AE＝AB＝5．
32．（2022?建湖縣二模）如圖，在?ABCD中，點N在BC上，AB＝BN，BM平分∠ABC交AD于點M，請用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．
（1）在圖1中，過點A畫出△ABM中BM邊上的高AP，并證明你的結(jié)論；
（2）在圖2中，過點C畫出C到BM的垂線段CQ．
【解答】解：（1）如圖1中，線段AP即為所求．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，
∴∠AMB＝∠NBM，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠NBM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝BN，
∴AM＝BN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
∵AM＝AB，
∴四邊形ABNM是菱形，
∴AN⊥BM，
∴線段AP即為所求．
（2）如圖，線段CQ即為所求．
33．（2022?鼓樓區(qū)二模）尺規(guī)作圖：如圖，在?ABCD的邊AD上求作點P，使P分別滿足以下要求：
（1）BP＝CP；
（2）BP＝AP+BC．
【解答】解：（1）如圖1在中，點P即為所求；
（2）如圖2中，點P即為所求．
34．（2022?玄武區(qū)二模）已知△ABC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（1）在圖①中，BC所在直線的下方求作一點M，使得∠BMC＝∠A；
（2）在圖②中，BC所在直線的下方求作一點N，使得∠BNC＝2∠A．
【解答】解：（1）如圖①中，∠BMC即為所求；
（2）如圖②中，∠BNC即為所求．
二十二．作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖（共1小題）
35．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖，△ABC的頂點均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上．
（1）只用不帶刻度的直尺，在AC邊上找一點D，使得D到AB、BC兩邊距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）D到AB的距離是 ．
【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．
（2）設(shè)點D到AB的距離為x，則有S△ABC＝?AB?h+?BC?h，
∴×2×4＝×5×h+×2×h，
∴h＝．
故答案為：．
二十三．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
36．（2022?儀征市二模）如圖，平行四邊形ABCD中，點E在AD上，BE平分∠ABC，過點E作EF∥AB，交BC于點F．
（1）求證：四邊形ABFE是菱形；
（2）若AB＝4，∠D＝60°，求四邊形ABFE的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BF，
又∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
∴四邊形ABFE是菱形；
（2）解：如圖，過點A作AH⊥BF于H，
∴∠AHB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴AH＝，
由（1）知四邊形ABFE是菱形，
∴BF＝AB＝4，
∴四邊形ABFE的面積＝BF×AH＝4×＝8．
37．（2022?宿城區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與AC交于點E，連接DE并延長交BC的延長線于點F，且BF＝BD．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：如圖，連接OE，
∵BF＝BD，
∴∠F＝∠BDF，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠BDF，
∴∠OED＝∠BFD，
∴OE∥BF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∵OE為半徑，
∴AC為⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接BE，
∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F
∴tanF＝，
∵CF＝1，
∴CE＝2，
∴EF＝＝，
∵BD是直徑，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ECF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF＝5，
∴⊙O的半徑＝．
38．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知△ABC，點D，E分別在BC，CA上，且滿足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圓規(guī)確定點D，E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）連接AD，EB，AD與EB交于點F．
①求證：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則DF的長為 ．
【解答】解：（1）作圖如下：
（2）①如下圖：
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵EB＝EC，
∴∠EBD＝∠C，
∴△BDF∽△CBA；
②過點A作AH⊥BD于點H，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵cs∠ABH＝，
∴＝，
∴BH＝，
∵AB＝AD，
∴BD＝2BH＝，
由①知△BDF∽△CBA，
∴，
即，
解得DF＝，
故答案為：．
39．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為線段AB上一動點，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點F，連接AF，其中AC＝3，BC＝4．
（1）求證：△CFA∽△CEB；
（2）當(dāng)E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為 ．
【解答】（1）證明：∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵∠AFC+∠AEC＝180°，∠CEB+∠AEC＝180°，
∴∠AFC＝∠CEB，
∴△CFA∽△CEB；
（2）解：在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵△CFA∽△CEB，
∴＝，∠CAF＝∠B，
∴AF＝BE，
∴點F的運動軌跡是射線AF，
∴當(dāng)E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為×5＝，
故答案為：．
二十四．相似形綜合題（共1小題）
40．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點D在邊BC上，過點D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點E、F．如果＝sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正DF平分線．
（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；
（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①試說明：四邊形MNFD為正方形；
②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB＝，求∠CAB的正平分線AD的長．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∴△CDE∽△BDF，
∴，
∵∠CAB＝45°，
∴＝sin∠CAB，
∴AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；
（2）①證明：∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB，
∴DM⊥MN，
∴∠DMN＝∠MNF＝∠DFN＝90°，
∴四邊形DFNM是矩形，
∵DM∥AB，
∴∠CMD＝∠CAB，
∴sin∠CAB＝sin∠CMD，
∴，
∴DF＝DM，
∴四邊形MNFD為正方形；
②解：過點C作CH⊥AB于點H，交MD于點G，
∵tanB＝，
設(shè)DF＝4x，
∴FB＝3x，DM＝4x，
∵DM∥AB，
∴△CMD∽△CAB，
∴，
∴CG＝x，
∴，
解得x＝12，
∴DF＝48，AF＝AB﹣FB＝84，
∴AD＝＝＝12．
二十五．解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）
41．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）小淇同學(xué)在學(xué)習(xí)了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉(zhuǎn)動了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD＝10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
【解答】解：由題意得：∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°．
設(shè)AB＝xcm，則DB＝xcm，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
∵tan∠CAB＝，
∴BC＝AB?tan∠CAB＝x，
∵CD＝BD﹣BC，
∴x﹣x＝10，
∴x≈23.65．
因此，平面鏡放置點與墻面的距離AB是23.65cm．
42．（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當(dāng)PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm．
（1）當(dāng)PA＝45cm時，求PC的長；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）連接OP，
∵D為AO的中點，PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分線，
∴PA＝PO＝45cm，
∵PC⊥BC，
∴∠PCO＝90°，
∵BC＝12cm，OB＝24cm，
∴OC＝OB+BC＝36（cm），
∴PC＝＝＝27（cm），
∴PC的長為27cm；
（2）過點D作DE⊥OC，交CO的延長線于點E，過點D作DF⊥PC，垂足為F，
由題意得：
DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵D為AO的中點，
∴OD＝OA＝12（cm），
在Rt△DOE中，DE＝DO?sin60°＝12×＝6（cm），
OE＝DO?cs60°＝12×＝6（cm），
∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），
∵DF∥EC，
∴∠FDO＝∠DOE＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝DF?tan30°＝42×＝14（cm），
∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），
∴PC的長約為34.6cm．
43．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．
（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；
（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長短，則較短路徑為 ① （填序號），兩路徑相差 0.5 km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）
【解答】解：（1）過點A作AG⊥PQ，垂足為G，
在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，
∴AG＝AC?sin45°＝6×＝3（km），
CG＝AC?cs45°＝6×＝3（km），
在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，
∴EG＝≈＝（cm），
∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），
∴兩座橋CD，EF之間的距離約為2.8km；
（2）過點B作BH⊥PQ，垂足為Q，
由題意得：
CE＝DF＝2km，
∵∠BDH是△BDF的一個外角，
∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，
∴∠BFD＝∠DBF＝30°，
∴DB＝DF＝2km，
在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，
∴BH＝BD?sin60°＝2×＝，
∴BF＝2BH＝2（km），
在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，
∴路徑①的長＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），
路徑②的長＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），
9.86﹣9.32≈0.5（km），
∴較短路徑為：①，兩路徑相差0.5km，
故答案為：①，0.5．
二十六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）
44．（2022?金壇區(qū)二模）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝26米，在距山腳點A水平距離6米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11）
【解答】解：延長DC交EA的延長線于點F，則CF⊥EF，
∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，
∴令CF＝k，則AF＝2.4k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
CF2+AF2＝AC2，
∴k2+（2.4k）2＝262，
解得k＝10，
∴AF＝24，CF＝10，
∴EF＝30，
在Rt△DEF中，tanE＝，
∴DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，
∴CD＝DF﹣CF＝23.3，
因此，古樹CD的高度約為23.3m．
45．（2022?宿城區(qū)二模）圖（1）為某大型商場的自動扶梯，圖（2）中的AB為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面示意圖．小明站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈C的仰角為37°，此時他的眼睛D與地面的距離AD＝1.8m，之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方．已知自動扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13m，求日光燈C到一樓地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cs37°＝0.8，tan37°≈0.75）
【解答】解：過點C作CF⊥MN于F、交BL于G，過點B作BE⊥MN于E，過點D作DJ⊥CF于J、交BE于H，如圖（2）所示：
則BG＝2m，四邊形BEFG、四邊形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
設(shè)AE＝xm，
∵AB的坡度為1：2.4，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12（m），
∴AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝，
∴≈0.75，
∴CJ＝10.5（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），即日光燈C到一樓地面的高度為12.3m．
46．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，山頂?shù)恼戏接幸凰嗀B，為了測量塔AB的高度，在距山腳M一定距離的C處測得塔尖頂部A的仰角∠ACM＝37°，測得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前進(jìn)30m到達(dá)D處，此時測得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三點在同一直線上），求塔AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）
【解答】解：延長AB交CM于點E，
設(shè)DE＝x米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE?tan45°＝x（米），
∵CD＝30米，
∴CE＝CD+DE＝（x+30）米，
在Rt△AEC中，∠ACE＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
∴x＝90，
經(jīng)檢驗：x＝90是原方程的根，
∴AE＝90米，CE＝120米，
在Rt△BCE中，∠BCE＝31°，
∴BE＝CE?tan31°≈120×0.6＝72（米），
∴AB＝AE﹣BE＝90﹣72＝18（米），
∴塔AB的高度約為18米．
二十七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共1小題）
47．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，052D型驅(qū)逐艦“昆明艦”執(zhí)行任務(wù)后正返回葫蘆島軍港C，途經(jīng)渤海海域A處時，葫蘆島軍港C的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在南偏東30°方向上，旅順軍港B的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在正西方向上．已知軍港C在軍港B的北偏西60°方向，且B、C兩地相距120海里．（計算結(jié)果保留根號）
（1）求出此時點A到軍港C的距離；
（2）若“昆明艦”從A處沿AC方向向軍港C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點A′時，測得軍港B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“昆明艦”的航行距離．
【解答】解：（1）如圖所示：延長BA，過點C作CD⊥BA延長線于點D，
由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
則CD＝BC＝60海里，
∵cs∠ACD＝＝cs30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此時點A到軍港C的距離為40海里；
（2）過點A′作A′N⊥BC于點N，如圖：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
設(shè)AA′＝x，則AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此時“昆明艦”的航行距離為（60﹣20）海里．
二十八．扇形統(tǒng)計圖（共2小題）
48．（2022?江都區(qū)二模）學(xué)校開展“書香校園”活動以來，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注．學(xué)校為了了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成下列不完整的統(tǒng)計圖：
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：
（1）a＝ 17 ，b＝ 20 ；
（2）請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次“所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．
【解答】解：（1）13÷26%＝50人，a＝50﹣7﹣13﹣10﹣3＝17，10÷50＝20%，即，b＝20，
故答案為：17，20．
（2）360°×20%＝72°，
答：扇形統(tǒng)計圖中“3次“所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為72°．
（3）2000×＝120人，
答：該校2000名學(xué)生中在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的約有120人．
49．（2022?廣陵區(qū)二模）八（2）班數(shù)學(xué)興趣小組分別調(diào)查了甲、乙兩個小區(qū)居民的家庭人口數(shù)，并分別繪制了下面甲、乙的扇形統(tǒng)計圖．
（1）在甲圖中，求出該小區(qū)居民家庭人口數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）興趣小組的小明認(rèn)為：乙小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭比甲小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭多，你認(rèn)為合理嗎，為什么？
【解答】解：（1）該小區(qū)居民家庭人口數(shù)的眾數(shù)為3人，中位數(shù)為3人，平均數(shù)為＝3.2人．
（2）不合理．由甲乙兩圖可知：乙小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭占的百分比比甲小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭占的百分比大，不能說明乙小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭比甲小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭多，因為各小區(qū)中人口總數(shù)可能不同．如果甲小區(qū)中有200人，乙小區(qū)中有100人，那么乙小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭比甲小區(qū)中人口數(shù)為3人的居民家庭少．
二十九．條形統(tǒng)計圖（共2小題）
50．（2022?建湖縣二模）李阿姨要在網(wǎng)上購買一臺掃地機(jī)器人，她對某款掃地機(jī)器人的外觀和功能比較滿意，就進(jìn)入評論區(qū)瀏覽購買過的人們對該商品的評價，在評論區(qū)中，好評，中評，差評的情況統(tǒng)計如圖1：
（1）這款掃地機(jī)器人的好評率是 90 %；
（2）李阿姨把好評和中差評的原因進(jìn)行分類整理，結(jié)果如圖2：
①請分別求出由于物流服務(wù)原因給好評的用戶人數(shù)和中差評的用戶人數(shù)；
②李阿姨比較看重商品的質(zhì)量，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，你是否建議她購買這款掃地機(jī)器人？ 建議 （填“建議”，或“不建議”），理由是 在好評用戶中，商品質(zhì)量原因的占85%，說明絕大部分用戶對商品質(zhì)量比較滿意；中差評用戶中，商品質(zhì)量原因的占10%，說明該商品出現(xiàn)質(zhì)量問題的可能性很小 ．
【解答】解：（1）由圖1可得，
這款掃地機(jī)器人的好評率是：180÷（180+4+16）×100%＝180÷200×100%＝90%，
故答案為：90；
（2）①180×10%＝18（人），
（4+16）×35%＝20×35%＝7（人），
即由于物流服務(wù)原因給好評的用戶有18人，中差評的用戶有7人；
②建議，
理由：在好評用戶中，商品質(zhì)量原因的占85%，說明絕大部分用戶對商品質(zhì)量比較滿意；中差評用戶中，商品質(zhì)量原因的占10%，說明該商品出現(xiàn)質(zhì)量問題的可能性很?。?br>51．（2022?宿城區(qū)二模）市教育局想知道某校學(xué)生對麋鹿自然保護(hù)區(qū)的了解程度，在該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷，問卷有以下四個選項：A．十分了解；B．了解較多：C．了解較少：D．不了解（要求：每名被調(diào)查的學(xué)生必選且只能選擇一項）．現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：
（1）本次被抽取的學(xué)生共有 100 名；
（2）請補(bǔ)全條形圖；
（3）扇形圖中的選項“D．不了解”部分所占扇形的圓心角的大小為 36 °；
（4）若該校共有1000名學(xué)生，請你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校對于麋鹿自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名？
【解答】解：（1）從條形圖知“了解較少”的有30名，從扇形圖知“了解較少”占30%，
所以抽查的學(xué)生數(shù)為：30÷30%＝100（名）；
故答案為：100；
（2）因為100﹣20﹣30﹣10＝40（名）；
補(bǔ)全圖形如下：
（3）扇形圖中的選項“D．不了解”部分所占扇形的圓心角的大小為360°×＝36°，
故答案為：36；
（4）“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生占抽查學(xué)生數(shù)的百分比為：×100%＝60%，
所以1000×60%＝600（名），
答：估計該校對于麋鹿自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有600名．
三十．折線統(tǒng)計圖（共1小題）
52．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）疫情期間，學(xué)校開通了教育互聯(lián)網(wǎng)在線學(xué)習(xí)平臺．為了解學(xué)生使用電子設(shè)備種類的情況，小淇設(shè)計了調(diào)查問卷，對該校七（1）班和七（2）班全體同學(xué)進(jìn)行了問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)使用了三種設(shè)備：A（平板）、B（電腦）、C（手機(jī)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題．
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 100 ；
（2）求扇形統(tǒng)計圖中代表類型C的扇形的圓心角，并補(bǔ)全折線圖；
（3）若該校七年級學(xué)生共有1000人，試根據(jù)此次調(diào)查結(jié)果，估計該校七年級學(xué)生中類型C學(xué)生約有多少人．
【解答】解：（1）由扇形統(tǒng)計圖知B類型人數(shù)所占比例為58%，從折線圖知B類型總?cè)藬?shù)＝26+32＝58（人），
所以此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折線圖知A人數(shù)＝18+14＝32人，故A的比例為32÷100＝32%，
所以C類比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以類型C的扇形的圓心角＝360°×10%＝36°，
C類人數(shù)＝10%×100﹣2＝8（人），補(bǔ)全折線圖如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估計該校七年級學(xué)生中類型C學(xué)生約有100人．
三十一．列表法與樹狀圖法（共8小題）
53．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）貼春聯(lián)是中華民族的傳統(tǒng)文化．不識字的王爺爺不小心將兩副對聯(lián)弄混了，已知這四張聯(lián)紙上的文字分別是：①天涯若比鄰，②修業(yè)勤為貴，③行文意必高，④海內(nèi)存知己．若他任意取出兩張聯(lián)紙，求這兩張聯(lián)紙恰好組成一副對聯(lián)的概率．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中這兩張聯(lián)紙恰好組成一副對聯(lián)的有4種結(jié)果，
所以這兩張聯(lián)紙恰好組成一副對聯(lián)的概率為＝．
54．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E、F都是格點．
（1）從C、D、E、F四點中任取一點，以這點及點A、B為頂點畫三角形，所畫三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）從A、B、D、E四點中任取兩點，以這兩點及點C、F為頂點畫四邊形，用畫樹狀圖或列表格法求所畫四邊形是平行四邊形的概率．
【解答】解：（1）從C、D、E、F四點中任取一點，以這點及點A、B為頂點畫三角形，共有4種可能，
其中選取C或E或F點時，所畫三角形是等腰三角形，
∴所畫三角形是等腰三角形的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中以這兩點及點C、F為頂點畫四邊形，所畫四邊形是平行四邊形的結(jié)果有4種，即AB、AE、BA、EA，
∴所畫四邊形是平行四邊形的概率為＝．
55．（2022?宜興市二模）某校共有2名男生和2名女生競選學(xué)校學(xué)生會主席，現(xiàn)抽簽決定演說順序．
（1）第一個演說的是男生的概率是 ；
（2）求第一個和第二個演說的都是女生的概率．（請用畫樹狀圖或列表的形式給出分析過程）
【解答】解：（1）∵共有2名男生和2名女生競選學(xué)校學(xué)生會主席，
∴第一個演說的是男生的概率是＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖圖如下：
共有12種等可能的情況，其中第一個和第二個演說的都是女生的情況有2種，
∴第一個和第二個演說的都是女生的概率為＝．
56．（2022?建湖縣二模）中國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)成就，《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》等是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．
（1）小明想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機(jī)選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為 ；
（2）某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，求恰好選中《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》的概率．
【解答】解：（1）小明想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機(jī)選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為，
故答案為：；
（2）根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖：
由樹狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果有12種，并且這12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，
所有可能的結(jié)果中，恰好選中《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》的有2種結(jié)果，
所以恰好選中《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》的概率為＝．
57．（2022?灌南縣二模）為落實“垃圾分類”，環(huán)保部門要求垃圾要按A，B，C，D四類分別裝袋、投放，其中A類指對人體健康或者自然環(huán)境造成直接或潛在危害的、應(yīng)當(dāng)專門處置的有害垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指廢塑料、廢紙等可回收物，D類指出其他垃圾，小明、小紅各投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是A類的概率為 ；
（2）求小紅投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率．
【解答】解：小明投放的垃圾恰好是A類的概率為；
故答案為：；
（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有16種可能結(jié)果，其中小紅投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的結(jié)果有4種，
所以小紅投放的垃圾與小明投放的垃圾是同一類的概率為＝．
58．（2022?宿城區(qū)二模）第二十四屆冬奧會于2022年2月20日在北京閉幕，北京成為全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市．如圖，是四張關(guān)于冬奧會運動項目的卡片，卡片的正面分別印有A．“花樣滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“單板滑雪大跳臺”和D．“鋼架雪車”（這四張卡片除正面圖案外，其余都相同）．將這四張卡片背面朝上，洗勻．
（1）從中隨機(jī)抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為 ；
（2）從中隨機(jī)抽取兩張，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求兩張卡片的圖案上是B．“高山滑雪”和D．“鋼架雪車”運動項目的概率．
【解答】解：（1）從中隨機(jī)抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下，
∵共12種等可能情況，其中兩張卡片的圖案上是B．“高山滑雪”和D．“鋼架雪車”運動項目的有2種結(jié)果，
∴兩張卡片的圖案上是B．“高山滑雪”和D．“鋼架雪車”運動項目的概率為＝．
59．（2022?鼓樓區(qū)二模）2022年北京冬奧會用全新的方式向世界展示了一個文化自信、底蘊(yùn)深厚的中國．小明和小穎都比較感興趣的有：花樣滑冰、冰壺、短道速滑、冬季兩項，依次記為項目A，B，C，D．他們各自隨機(jī)觀看其中的兩個項目．
（1）求小明觀看的項目是A，B的概率；
（2）小明和小穎觀看的項目完全不相同的概率是 ．
【解答】解：（1）小明觀看的項目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD這六種等可能結(jié)果，其中小明觀看的項目是A，B的只有1種結(jié)果，
所以小明觀看的項目是A，B的概率為；
（2）列表如下：
由表知，共有36種等可能結(jié)果，其中小明和小穎觀看的項目完全不相同的有6種結(jié)果，
所以小明和小穎觀看的項目完全不相同的概率為＝，
故答案為：．
60．（2022?廣陵區(qū)二模）口袋里裝有1個紅球和2個白球，這三個球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲闹忻?個球，然后將取出的球放回袋里攪勻再摸出第2個球．
（1）求摸出的兩個球都是紅球的概率；
（2）寫出一個概率為的事件．
【解答】解：（1）摸兩次球共有3×3＝9種情況，兩個都是紅球的情況數(shù)只有1種，
P（摸出兩個紅球）＝．
（2）摸出兩個白球（或摸出一紅一白球），是概率為的事件．
汽車速度x
78
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36.8
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40.32
42.14
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4次及以上
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（AB，AB）
（AC，AB）
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（BD，AB）
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AC
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（BC，AC）
（BD，AC）
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AD
（AB，AD）
（AC，AD）
（AD，AD）
（BC，AD）
（BD，AD）
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（AC，BC）
（AD，BC）
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（AB，BD）
（AC，BD）
（AD，BD）
（BC，BD）
（BD，BD）
（CD，BD）
CD
（AB，CD）
（AC，CD）
（AD，CD）
（BC，CD）
（BD，CD）
（CD，CD）

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