1．（2022?秦淮區(qū)二模）﹣的相反數(shù)是 ，﹣的倒數(shù)是 ．
二．一元二次方程的解（共1小題）
2．（2022?常州二模）關于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一個根為1，則k的值等于 ．
三．一次函數(shù)的應用（共1小題）
3．（2022?宜興市二模）某店家進一批應季時裝共400件，要在六周內(nèi)賣完，每件時裝成本500元．前兩周每件按1000元標價出售，每周只賣出20件．為了將時裝盡快銷售完，店家進行了一次調(diào)查并得出每周時裝銷售數(shù)量與時裝價格折扣的關系如下：
為盈利最大，店家選擇將時裝打 折銷售，后四周最多盈利 元．
四．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
4．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，有Rt△AOD，∠A＝90°，AO＝AD，點D在x軸的正半軸上，點C為反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與AD邊的交點，點B在AO邊上，且BC∥OD，若，△ABC的面積為5，則k＝ ．
五．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）
5．（2022?廣陵區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，則a的取值范圍為 ．
六．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）
6．（2022?鼓樓區(qū)二模）已知點（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）的圖象上．若pq＜0，則p，q，m
的大小關系是 （用“＜”連接）．
七．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
7．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，分別過點Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x軸的垂線，交的圖象于點Ai，交直線于點Bi．則＝ ．
八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
8．（2022?江都區(qū)二模）如圖，AB＝AC＝3，AD∥BC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，則BD＝ ．
九．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2022?武進區(qū)二模）如圖、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，連接AD，DC．則∠BDC的度數(shù)為 °．
一十．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是等邊三角形，點B在x軸上，C，D分別是邊AO，AB上的點，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，則點A的坐標是 ．
一十一．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
11．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長為 ．（用含a，b的代數(shù)式表示）
12．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是 °．
一十二．菱形的性質(zhì)（共2小題）
13．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝ °．
14．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O、H為AD邊上的中點，若OH的長為2，則菱形ABCD的周長等于 ．
一十三．矩形的性質(zhì)（共1小題）
15．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為E．若BC＝5，tan∠DAE＝，則AB＝ ．
一十四．正方形的性質(zhì)（共1小題）
16．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作∠PBQ＝45°，過點A作AE∥BP，交BQ的延長線于點E，則BP?BE＝ ．
一十五．三角形的外接圓與外心（共1小題）
17．（2022?儀征市二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，AD是⊙O的直徑．若∠DAB＝60°，則∠DBC＝ °．
一十六．正多邊形和圓（共1小題）
18．（2022?海陵區(qū)二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的內(nèi)角和為 ．
一十七．翻折變換（折疊問題）（共2小題）
19．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，D是邊BC的中點，點E在AB邊上，將△BDE沿直線DE翻折，使點B落在同一平面內(nèi)點F處，線段FD交邊AB于點G，若FD⊥AB時，則＝ ．
20．（2022?宿城區(qū)二模）如圖，點P在平行四邊形ABCD的邊BC上，將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線MN上，如果AB＝10，AD＝16，tanB＝，那么BP的長為 ．
一十八．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）
21．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點G，∠BAD的平分線交CD于點E，點F為CD上一點，且DF＝2CF，則∠AEC＝ °；連接AF，則AF+2BF的最小值為 ．
一十九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
22．（2022?武進區(qū)二模）如圖、正六邊形ABCDEF中，G是邊AF上的點，GF＝AB＝1，連接GC，將GC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得G'C、G′C交DE于點H，則線段HG′的長為 ．
23．（2022?灌南縣二模）如圖，⊙O半徑為4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點A，B在⊙O上，點C在⊙O內(nèi)，且tanA＝．當點A在圓上運動時，則線段OC的最小值為 ．
24．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖①，是形如“T”形的拼塊，其每個拐角都是直角，各邊長度如圖所示．如圖②，用4個同樣的拼塊拼成的圖案，恰好能放入一個邊長為6的正方形中，則a的值為 ．
25．（2022?儀征市二模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝8，sinA＝，BN⊥AC于點N，CM⊥AB于點M，連接MN，則△AMN面積的最大值是 ．
二十．用樣本估計總體（共1小題）
26．（2022?宜興市二模）葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積．在研究水稻等農(nóng)作物的生長時，經(jīng)常用一個簡潔的經(jīng)驗公式S＝來估算葉面的面積，其中a，b分別是稻葉的長和寬（如圖1），k是常數(shù)，則由圖1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發(fā)現(xiàn)絕大部分稻葉的形狀比較狹長（如圖2），大致都在稻葉的處“收尖”．根據(jù)圖2進行估算，對于此品種的稻葉，經(jīng)驗公式中k的值約為 （結果保留小數(shù)點后兩位）．
2022年江蘇省中考數(shù)學模擬題（二模）精選按題型分層分類匯編-04填空題（提升題）
參考答案與試題解析
一．倒數(shù)（共1小題）
1．（2022?秦淮區(qū)二模）﹣的相反數(shù)是 ，﹣的倒數(shù)是 ﹣3 ．
【解答】解：﹣的相反數(shù)是；
﹣的倒數(shù)是﹣3；
故答案為：，﹣3．
二．一元二次方程的解（共1小題）
2．（2022?常州二模）關于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一個根為1，則k的值等于 2 ．
【解答】解：把x＝1代入方程得1﹣3+k＝0，
解得k＝2．
故答案為2．
三．一次函數(shù)的應用（共1小題）
3．（2022?宜興市二模）某店家進一批應季時裝共400件，要在六周內(nèi)賣完，每件時裝成本500元．前兩周每件按1000元標價出售，每周只賣出20件．為了將時裝盡快銷售完，店家進行了一次調(diào)查并得出每周時裝銷售數(shù)量與時裝價格折扣的關系如下：
為盈利最大，店家選擇將時裝打 7 折銷售，后四周最多盈利 72000 元．
【解答】解：∵400﹣20×2＝360（件），
∴要在六周內(nèi)賣完，后四周每周至少要賣360÷4＝90（件），
∴折扣應該在8折以下．
設后四周的利潤為y，折扣為x（x≤7），依題意得
y＝（1000×﹣500）×360＝36000x﹣180000，
∵36000＞0，
∴y隨著x的增大而增大，
∴當x＝7時，y有最大值，
此時y＝36000×7﹣180000＝72000，
∴當打七折時，后四周的最大盈利為72000元，
故答案為：7；72000．
四．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
4．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，有Rt△AOD，∠A＝90°，AO＝AD，點D在x軸的正半軸上，點C為反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與AD邊的交點，點B在AO邊上，且BC∥OD，若，△ABC的面積為5，則k＝ ．
【解答】解：過點B作BE⊥y軸于點E，過點C作CF⊥OD于點F，
∵OA＝OD，BC∥OD，
∴OB＝CD，AB＝AC，
∵，
∴，
∴BC＝5OB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴BC＝AB，
∴5OB＝AB，
∴AB＝5OB，
∴，
∵BE⊥y軸于點E，CF⊥OD于點F，
∴四邊形OECF的面積＝k，且△OBE的面積＝△CFD的面積，
∴四邊形OBCD的面積＝k，
∵BC∥OD，
∴，
即，
解得k＝．
故答案為：．
五．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）
5．（2022?廣陵區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，則a的取值范圍為 ﹣1＜a＜0 ．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）中的k2＞0，
∴反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。?br>∵y2＞y1，a+1＞a，
∴點A位于第三象限，點B位于第一象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0．
故答案是：﹣1＜a＜0．
六．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）
6．（2022?鼓樓區(qū)二模）已知點（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）的圖象上．若pq＜0，則p，q，m
的大小關系是 m＜q＜p （用“＜”連接）．
【解答】解：∵A（﹣2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）的圖象上．
且pq＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，且對稱性直線x＝a（1＜a＜2），如圖所示，
觀察圖象可知：m＜q＜p．
故答案為：m＜q＜p．
七．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
7．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，分別過點Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x軸的垂線，交的圖象于點Ai，交直線于點Bi．則＝ ．
【解答】解：根據(jù)題意，知A1、A2、A3、…An的點都在函與直線x＝i（i＝1、2、…、n）的圖象上，
B1、B2、B3、…Bn的點都在直線與直線x＝i（i＝1、2、…、n）圖象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案為：．
八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
8．（2022?江都區(qū)二模）如圖，AB＝AC＝3，AD∥BC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，則BD＝ +3 ．
【解答】解：如圖，延長BA至F，使AF＝AB，過點F作FE⊥BD于點E，連接AE，
設∠DBC＝α，
∵FE⊥BD，
∴∠FEB＝90°，
又∵AB＝AF＝3，
∴AB＝AE＝AF＝3，
∴∠ABE＝∠AEB＝2α，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝α，
∴∠EAD＝∠BEA﹣∠BDA＝α，
∴AE＝DE＝3，
∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝3α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAD＝3α，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，AF＝AC，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴DF＝CD＝5，
∴EF2＝DF2﹣DE2＝52﹣32＝16，
在Rt△BEF中，BE＝＝，
∴BD＝BE+DE＝+3．
故答案為：+3．
九．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2022?武進區(qū)二模）如圖、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，連接AD，DC．則∠BDC的度數(shù)為 130 °．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∵BD＝AB，
∴∠ADB＝∠DAB＝80°，
延長AD到點E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°，
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°，
故答案為：130．
一十．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是等邊三角形，點B在x軸上，C，D分別是邊AO，AB上的點，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，則點A的坐標是 （3，3） ．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴△ACD∽△AOB，
∴，
∵OC＝2AC，CD＝2，
∴AO＝3AC，
∴，
解得OB＝6，
作AE⊥OB于點E，
∵△AOB是等邊三角形，
∴OE＝OB＝3，OA＝OB＝6，
∴AE＝＝＝3，
∴點A的坐標為（3，3），
故答案為：（3，3）．
一十一．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
11．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長為 ．（用含a，b的代數(shù)式表示）
【解答】解：過點E作EH∥AB交BC于H，連接AH，AH交BE于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠EBH，
四邊形ABHE是平行四邊形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBH，
∴AB＝AE，
∴四邊形ABHE是菱形，
∴AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，
∴∠AHB＝∠HAD＝∠BAD，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB＝∠BCD，
∴∠AHB＝∠FCB，
∴AH∥CF，
∴四邊形AHCF是平行四邊形，
∴AH＝CF＝b，
∴OA＝AH＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∴BE＝2OB＝，
故答案為：．
12．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是 41 °．
【解答】解：∵四邊形GHMN是平行四邊形，
∴GH∥MN，
∴∠NMD＝∠H，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×＝120°，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，
∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，
∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，
∴∠NMD＝41°，
故答案為：41．
一十二．菱形的性質(zhì)（共2小題）
13．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝ 36 °．
【解答】解：如圖，過M作EM∥BC，
∵五邊形AEFGH是正五邊形，
∴∠AEF＝∠EAH＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AD∥EM，
∴∠AEM+∠DAE＝180°，
即∠AEM+∠2+∠EAH＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠AEM﹣∠EAH＝180°﹣∠AEM﹣108°＝72°﹣∠AEM，
∵EM∥BC，
∴∠1+∠AEM＝108°，
∴∠1＝108°﹣∠AEM，
∴∠1﹣∠2＝108°﹣∠AEM﹣（72°﹣∠AEM）＝108°﹣∠AEN﹣72°+∠AEM＝36°，
故答案為：36．
14．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O、H為AD邊上的中點，若OH的長為2，則菱形ABCD的周長等于 16 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，
∵AC⊥BD．
∵為AD邊上的中點，OH＝2，
∴AD＝2OH＝4，
∴菱形ABCD的周長＝4×4＝16．
故答案為：16．
一十三．矩形的性質(zhì)（共1小題）
15．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為E．若BC＝5，tan∠DAE＝，則AB＝ ．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BC＝AD＝5，
∵，
∴AB＝CD＝，
故答案為：．
一十四．正方形的性質(zhì)（共1小題）
16．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是CD邊上的一點，連接BP，以BP為一邊在正方形內(nèi)部作∠PBQ＝45°，過點A作AE∥BP，交BQ的延長線于點E，則BP?BE＝ 16 ．
【解答】解：如圖，連接AP，作EM⊥PB于M，
∵AE∥PB，
∴S△PBE＝S△ABP＝S正方形ABCD＝8，
∴?PB?EM＝8，
∵∠EBM＝45°，∠EMB＝90°，
∴EM＝BE，
∴?PB?BE＝8，
∴PB?BE＝16．
故答案為：16．
一十五．三角形的外接圓與外心（共1小題）
17．（2022?儀征市二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，AD是⊙O的直徑．若∠DAB＝60°，則∠DBC＝ 30 °．
【解答】解：∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠D＝∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
故答案為：30．
一十六．正多邊形和圓（共1小題）
18．（2022?海陵區(qū)二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的內(nèi)角和為 540° ．
【解答】解：多邊形的邊數(shù)為：360°÷72°＝5，
正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是：（5﹣2）?180°＝540°．
故答案為：540°．
一十七．翻折變換（折疊問題）（共2小題）
19．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，D是邊BC的中點，點E在AB邊上，將△BDE沿直線DE翻折，使點B落在同一平面內(nèi)點F處，線段FD交邊AB于點G，若FD⊥AB時，則＝ 4 ．
【解答】解：過點B作BH∥DE，交GD的延長線于點H，
∵FD⊥AB，
∴∠DGB＝90°，
∵sinB＝，
設DG＝3x，
∴BD＝5x，BC＝2BD＝10x，
∴BG＝＝4x，
由翻折可得∠BDE＝∠EDF，
∵DE∥BH，
∴∠FDE＝∠BHF，∠BDE＝∠DBH，
∴∠BHF＝∠DBH，
∴DH＝DB＝5x，
∵∠DGE＝∠BGH，
∴△DEG∽△HBG，
∴，
∴EG＝，
則BE＝4x﹣＝，
∵∠BGD＝∠C＝90°，∠DBG＝∠ABC，
∴△BDG∽△BAC，
∴，
即，
∴AB＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝10x，
∴＝4．
故答案為：4．
20．（2022?宿城區(qū)二模）如圖，點P在平行四邊形ABCD的邊BC上，將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線MN上，如果AB＝10，AD＝16，tanB＝，那么BP的長為 或14 ．
【解答】解：①如圖1，過A作AH⊥BC于H，連接DB′，
設BB′與AP交于E，AD的垂直平分線交AD于M，BC于N，
∵tanB＝＝，
設AH＝4x，BH＝3x，
∴AB＝＝5x＝10，
∴x＝2，
∴AH＝8，BH＝6，
∵將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線MN上，
∴AB′＝AB＝10，AM＝DM＝AD＝8，∠AMN＝∠HNM＝90°，
∴四邊形AHNM是正方形，MB′＝＝＝6，
∴HN＝MN＝8，
∴BN＝14，B′N＝2，
∴BB′＝＝10，
∴BE＝BB′＝5，
∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，
∴△BPE∽△BB′N，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝；
②如圖2，由①知，MN＝8，MB′＝6，BN＝14，
∴NB＝NB′，
∴點N在BB′的垂直平分線上，
∵將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線上，
∴點P也在BB′的垂直平分線上，
∴點P與N重合，
∴BP＝BN＝14，
綜上所述，BP的長為或14．
故答案為：或14．
一十八．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）
21．（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點G，∠BAD的平分線交CD于點E，點F為CD上一點，且DF＝2CF，則∠AEC＝ 60 °；連接AF，則AF+2BF的最小值為 6 ．
【解答】解：∵將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，如圖1，
∴∠BAD＝α，AB＝AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝60°，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠BAE＝∠CDA+∠DAE＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠ACD+∠BAE+∠BAC＝180°，
∴∠AEC＝60°；
如圖2，過F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中點M，連接FM，則AM＝CM＝3，
∴△CFH∽△CDA，
∴＝＝，
∵DF＝2FC，
∴＝＝，
∴CH＝FH＝2，
∴MH＝3﹣2＝1，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠FHM＝∠AHF，
∴△FHM∽△AHF，
∴＝＝，
∴FM＝AF，
∴當B、F、M三點共線時，BF+FM＝BF+AF的長最小，如圖3，此時BM⊥AC，
∴BM＝＝3，
∵AF+2BF＝2（AF+BF）＝2BM，
∴AF+2BF的最小值是6．
故答案為：60，6．
一十九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
22．（2022?武進區(qū)二模）如圖、正六邊形ABCDEF中，G是邊AF上的點，GF＝AB＝1，連接GC，將GC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得G'C、G′C交DE于點H，則線段HG′的長為 ．
【解答】解：∵GF＝AB＝1，
∴AB＝3，AG＝2
如圖，過點G作GP∥AB交BC于點P，過點A作AN∥BC交GP于點N，則四邊形ABPN是平行四邊形，
∴BP＝AN，PN＝AB＝3，
∵正六邊形ABCDEF，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝3，
∴AG＝AB﹣GF＝3﹣1＝2，
∵AN∥BC，
∴∠BAN＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠NAG＝∠BAF﹣∠BAN＝120°﹣60°＝60°，
∴△ANG為等邊三角形，
∴NG＝AN＝AG＝2，
∴PG＝PN+NG＝3+2＝5，
過點G作GJ⊥CD于點J，則CJ＝AG＝2，
連接DF，過點E作EK⊥DF于點K，則DF＝2DK，∠DEK＝120°÷2＝60°，
在Rt△DEK中，DK＝DE?sin60°＝3×＝，
∴DF＝2×＝，
∴GJ＝DF＝，
在Rt△CGJ中，CG＝＝．
∵∠GCH＝60°，
∴∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∵∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG+∠DCH＝∠DHC+∠DCH，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴，即，
∴HC＝，
∴HG'＝CG'﹣CH＝CG﹣CH＝＝．
故答案為：．
23．（2022?灌南縣二模）如圖，⊙O半徑為4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點A，B在⊙O上，點C在⊙O內(nèi)，且tanA＝．當點A在圓上運動時，則線段OC的最小值為 2 ．
【解答】解：延長BC交⊙O于點F，連接AF，
∵∠B＝90°，
∴AF是⊙O的直徑，且AF＝2×4＝8，
∵tan∠A＝，
∴∠CAB和∠ACB的大小為定值，
當OC⊥AF時，OC最小，
設BC＝3x，則AB＝4x，
∴AC＝＝5x，
∵CO⊥AF，點O是AF的中點，
∴CF＝AF＝5x，
∴BF＝CF+CB＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴（4x）2+（8x）2＝82，
解得：x＝，
∴AC＝5x＝2，
在Rt△AOC中，OC2+OA2＝AC2，
∴OC2＝（2）2﹣42＝4，
∴OC＝2，
∴OC的最小值為2，
故答案為：2．
24．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖①，是形如“T”形的拼塊，其每個拐角都是直角，各邊長度如圖所示．如圖②，用4個同樣的拼塊拼成的圖案，恰好能放入一個邊長為6的正方形中，則a的值為 ．
【解答】解：如圖：
由題意得：
BC＝EF＝2a，CD＝a，DE＝3a，∠DEF＝∠BCD＝∠CDE＝90°，
∴CE＝＝＝a，
∵四邊形AGHM是正方形，
∴∠A＝∠G＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝＝＝，
∴AC＝3AB，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴AB2+9AB2＝（2a）2，
∴AB＝a，
∴AC＝3AB＝a，
∵∠DEF＝∠CDE＝90°，
∴DC∥EF，
∴∠DCE＝∠FEG，
∴∠ABC＝∠FEG，
∴△ABC≌△GEF（AAS），
∴EG＝AB＝a，
∴AC+CE+EG＝6，
∴a+a+a＝6，
∴a＝，
故答案為：．
25．（2022?儀征市二模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝8，sinA＝，BN⊥AC于點N，CM⊥AB于點M，連接MN，則△AMN面積的最大值是 ．
【解答】解：畫出△ABC的外接圓⊙O，連接OB，
∵BC＝8，sinA＝，
∴點A在優(yōu)弧BC上運動，
當A'O⊥BC時，△A'BC的面積最大，
∴BH＝4，
∵∠BOH＝∠BAC，
∴BO＝5，OH＝3，
∴AH＝8，cs∠BOH＝，
∴S△ABC最大為＝32，
由勾股定理得，A'B＝A'C＝4，
∵CM⊥AB，
∴cs∠MAC＝，
∴AM＝，
同理AN＝，
∴AM＝AN，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴S△AMN＝，
故答案為：．
二十．用樣本估計總體（共1小題）
26．（2022?宜興市二模）葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積．在研究水稻等農(nóng)作物的生長時，經(jīng)常用一個簡潔的經(jīng)驗公式S＝來估算葉面的面積，其中a，b分別是稻葉的長和寬（如圖1），k是常數(shù)，則由圖1可知k ＞ 1（填“＞”“＝”或“＜”）．試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發(fā)現(xiàn)絕大部分稻葉的形狀比較狹長（如圖2），大致都在稻葉的處“收尖”．根據(jù)圖2進行估算，對于此品種的稻葉，經(jīng)驗公式中k的值約為 1.27 （結果保留小數(shù)點后兩位）．
【解答】解：由圖1可知，矩形的面積大于葉的面積，即S＜ab，
∴S＝＜ab，
∴k＞1，
由圖2可知，葉片的尖端可以近似看作等腰三角形，
∴稻葉可以分為等腰三角形及矩形兩部分，
∴矩形的長為4t，等腰三角形的高為3t，稻葉的寬為b，
∴k＝＝≈1.27，
故答案為：＞，1.27．
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