?山東省2022年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題按題型分層分類(lèi)匯編-07解答題中檔題
一．分式方程的應(yīng)用（共1小題）
1．（2022?菏澤）某健身器材店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球，已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購(gòu)進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè)．
（1）籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷(xiāo)售，最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球？
二．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
2．（2022?泰安）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA＝2，tanA＝，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面積．

三．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）
3．（2022?聊城）如圖，直線y＝px+3（p≠0）與反比例函數(shù)y＝（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（2，q），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)雙曲線上的一點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，交直線y＝px+3于點(diǎn)E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE將四邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

四．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共1小題）
4．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）
5．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買(mǎi)，一箱起售，每人一天購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買(mǎi)1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷(xiāo)售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷(xiāo)售1箱．
（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
6．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會(huì)在北京成功舉辦，我國(guó)選手在跳臺(tái)滑雪項(xiàng)目中奪得金牌．在該項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員首先沿著跳臺(tái)助滑道飛速下滑，然后在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止．本項(xiàng)目主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿態(tài)，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究：
如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過(guò)起跳點(diǎn)A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運(yùn)動(dòng)員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員到x軸的距離y（m）與水平方向移動(dòng)的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在飛行過(guò)程中，其水平方向移動(dòng)的距離x（m）與飛行時(shí)間t（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．
①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？


7．（2022?威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門(mén)）．求雞場(chǎng)面積的最大值．

六．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
8．（2022?濰坊）為落實(shí)“雙減”，老師布置了一項(xiàng)這樣的課后作業(yè)：
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），且不經(jīng)過(guò)第一象限，寫(xiě)出滿足這些條件的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式．
【觀察發(fā)現(xiàn)】
請(qǐng)完成作業(yè)，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出大致圖象．
【思考交流】
小亮說(shuō)：“滿足條件的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸一定在y軸的左側(cè)．”
小瑩說(shuō)：“滿足條件的函數(shù)圖象一定在x軸的下方．”
你認(rèn)同他們的說(shuō)法嗎？若不認(rèn)同，請(qǐng)舉例說(shuō)明．
【概括表達(dá)】
小博士認(rèn)為這個(gè)作業(yè)的答案太多，老師不方便批閱，于是探究了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系，得出了提高老師作業(yè)批閱效率的方法．
請(qǐng)你探究這個(gè)方法，寫(xiě)出探究過(guò)程．


七．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
9．（2022?濰坊）【情境再現(xiàn)】
甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過(guò)證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
請(qǐng)你證明：AG＝BH．

【遷移應(yīng)用】
延長(zhǎng)GA分別交HO，HB所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．
【拓展延伸】
小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．

八．三角形綜合題（共1小題）
10．（2022?青島）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形、
例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性質(zhì)探究】
如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，
則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝　 ?。?br /> （2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝　 ?。?br />
九．菱形的性質(zhì)（共2小題）
11．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．

12．（2022?濱州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證AE＝EF．

一十．矩形的性質(zhì)（共1小題）
13．（2022?威海）（1）將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．
①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；
②求四邊形AGCH的面積．
（2）如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．

一十一．四邊形綜合題（共2小題）
14．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 　 ?。◤囊韵聝蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

15．（2022?臨沂）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，連接AD，CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）在線段AC上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)P在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．
（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）
16．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F．
（1）求證：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求線段BF的長(zhǎng)．

一十三．切線的判定與性質(zhì)（共3小題）
17．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過(guò)⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求AD的長(zhǎng)．

18．（2022?日照）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．

19．（2022?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接OE，連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AOD＝∠EOD．
（1）連接AF，求證：AF是⊙O的切線；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的長(zhǎng)．

一十四．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）
20．（2022?煙臺(tái)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．

一十五．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共1小題）
21．（2022?棗莊）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？


一十六．相似三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）
22．（2022?濟(jì)寧）如圖，在矩形ABCD中，以AB的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓，連接OD交半圓于點(diǎn)E，在上取點(diǎn)F，使＝，連接BF，DF．
（1）求證：DF與半圓相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面積．

23．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F．
（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；
（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說(shuō)明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長(zhǎng)度．

24．（2022?濱州）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M．
求證：（1）PD是⊙O的切線；
（2）AM2＝OM?PM．

一十七．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）
25．（2022?濟(jì)寧）知識(shí)再現(xiàn)
如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫(xiě)出探究過(guò)程．
解決問(wèn)題
如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．

26．（2022?威海）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)測(cè)量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設(shè)立A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，然后選定對(duì)岸河邊的一棵樹(shù)記為點(diǎn)M．測(cè)得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請(qǐng)你依據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）．
參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

一十八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共1小題）
27．（2022?煙臺(tái)）如圖，某超市計(jì)劃將門(mén)前的部分樓梯改造成無(wú)障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1°）

（參考數(shù)據(jù)表）
計(jì)算器按鍵順序
計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
一十九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共4小題）
28．（2022?棗莊）為傳承運(yùn)河文明，弘揚(yáng)民族精神，棗莊市政府重建了臺(tái)兒莊古城．某校“綜合與實(shí)踐”小組開(kāi)展了測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓（如圖①）高度的實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告．
測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓高度的實(shí)踐報(bào)告
活動(dòng)課題
測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓高度
活動(dòng)目的
運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
活動(dòng)工具
測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具
方案示意圖

測(cè)量步驟
如圖②
（1）利用測(cè)角儀站在B處測(cè)得城門(mén)樓最高點(diǎn)P的仰角為39°；
（2）前進(jìn)了10米到達(dá)A處（選擇測(cè)點(diǎn)A，B與O在同一水平線上，A，B兩點(diǎn)之間的距離可直接測(cè)得，測(cè)角儀高度忽略不計(jì)），在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為56°．
參考數(shù)據(jù)
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
計(jì)算城門(mén)樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）

29．（2022?日照）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB長(zhǎng)為270m，雪道BC長(zhǎng)為260m．
（1）求該滑雪場(chǎng)的高度h；
（2）據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．

30．（2022?聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱(chēng)為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹(shù)底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．
（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

31．（2022?臨沂）如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)．某學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間測(cè)量主塔頂端到橋面的距離．勘測(cè)記錄如下表：

活動(dòng)內(nèi)容
測(cè)量主塔頂端到橋面的距離
成員
組長(zhǎng)：×××組員××××××××××××
測(cè)量工具
測(cè)角儀，皮尺等
測(cè)量示意圖

說(shuō)明：圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線上，EF⊥AB，點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)．
測(cè)量數(shù)據(jù)
∠A的大小
28°
AC的長(zhǎng)度
84m
CD的長(zhǎng)度
12m
請(qǐng)利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

二十．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）
32．（2022?青島）孔子曾說(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”興趣是最好的老師．閱讀、書(shū)法、繪畫(huà)、手工、烹飪、運(yùn)動(dòng)、音樂(lè)…各種興趣愛(ài)好是打開(kāi)創(chuàng)新之門(mén)的金鑰匙．某校為了解學(xué)生興趣愛(ài)好情況，組織了問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)，從全校2200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查內(nèi)容是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好的時(shí)長(zhǎng)，對(duì)這項(xiàng)調(diào)查結(jié)果使用畫(huà)“正”字的方法進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)，得到下表：
學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)分布統(tǒng)計(jì)表
組別
時(shí)長(zhǎng)t（單位：h）
人數(shù)累計(jì)
人數(shù)
第一組
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二組
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三組
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四組
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在第 　 　組；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為 　 　，對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 　 　°；
（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)應(yīng)不少于2h，請(qǐng)你估計(jì)，該校學(xué)生中有多少人需要增加自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)間？

33．（2022?臨沂）省農(nóng)科院為某縣選育小麥種子，為了解種子的產(chǎn)量及產(chǎn)量的穩(wěn)定性，在該縣的10個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)選擇兩塊自然條件相近的實(shí)驗(yàn)田分別種植甲、乙兩種小麥，得到其畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下（單位：kg）：
甲種小麥：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙種小麥：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
畫(huà)以上甲種小麥數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖，甲乙兩種小麥數(shù)據(jù)的折線圖，得到圖1，圖2

（1）圖1中，a＝　 　，b＝　 ??；
（2）根據(jù)圖1，若該縣選擇種植甲種小麥，則其畝產(chǎn)量W（單位：kg）落在 　 　內(nèi)的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）觀察圖2，從小麥的產(chǎn)量或產(chǎn)量的穩(wěn)定性的角度，你認(rèn)為農(nóng)科院應(yīng)推薦種植哪種小麥？簡(jiǎn)述理由．
二十一．折線統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
34．（2022?聊城）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，學(xué)校團(tuán)委在八、九年級(jí)各抽取50名團(tuán)員開(kāi)展團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽，為便于統(tǒng)計(jì)成績(jī)，制定了取整數(shù)的計(jì)分方式，滿分10分．競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：

（1）你能用成績(jī)的平均數(shù)判斷哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)比較好嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
（2）請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，回答下列問(wèn)題．

眾數(shù)
中位數(shù)
方差
八年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)
7
8
1.88
九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)
a
8
b
①表中的a＝　 　，b＝　 ??；
②現(xiàn)要給成績(jī)突出的年級(jí)頒獎(jiǎng)，如果分別從眾數(shù)和方差兩個(gè)角度來(lái)分析，你認(rèn)為應(yīng)該給哪個(gè)年級(jí)頒獎(jiǎng)？
（3）若規(guī)定成績(jī)10分獲一等獎(jiǎng)，9分獲二等獎(jiǎng)，8分獲三等獎(jiǎng)，則哪個(gè)年級(jí)的獲獎(jiǎng)率高？

二十二．列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）
35．（2022?濟(jì)寧）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．
學(xué)生成績(jī)分布統(tǒng)計(jì)表
成績(jī)/分
組中值
頻率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
請(qǐng)根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：n＝　 　，a＝　 　；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）求這n名學(xué)生成績(jī)的平均分；
（4）從成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的學(xué)生中任選兩名學(xué)生．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．

36．（2022?日照）今年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校組織學(xué)生觀看慶祝大會(huì)實(shí)況并進(jìn)行團(tuán)史學(xué)習(xí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，并將競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行整理（成績(jī)得分用a表示），其中60≤a＜70記為“較差”，70≤a＜80記為“一般”，80≤a＜90記為“良好”，90≤a≤100記為“優(yōu)秀”，繪制了不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖．

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，回答如下問(wèn)題：
（1）x＝　 　，y＝　 　，并將直方圖補(bǔ)充完整；
（2）已知90≤a≤100這組的具體成績(jī)?yōu)?3，94，99，91，100，94，96，98，則這8個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 　 　，眾數(shù)是 　 ??；
（3）若該校共有1200人，估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)；
（4）本次知識(shí)競(jìng)賽超過(guò)95分的學(xué)生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機(jī)抽取2人去參加全市的團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識(shí)競(jìng)賽的概率．
37．（2022?泰安）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課開(kāi)講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站為廣大青少年又一次帶來(lái)了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分為如下5組（滿分100分），A組：75≤x＜80，B組：80≤x＜85，C組：85≤x＜90，D組：90≤x＜95，E組：95≤x≤100，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了 　 　名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中m＝　 　，所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在 　 　組；
（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；
（3）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？
（4）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國(guó)旗下的演講，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．



山東省2022年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題按題型分層分類(lèi)匯編-07解答題中檔題
參考答案與試題解析
一．分式方程的應(yīng)用（共1小題）
1．（2022?菏澤）某健身器材店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球，已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購(gòu)進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè)．
（1）籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷(xiāo)售，最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球？
【解答】解：（1）設(shè)排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，則籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)1.5x元，
依題意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)120元，排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)籃球，則購(gòu)買(mǎi)排球（300﹣m）個(gè)排球，
依題意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤10，
答：最多可以購(gòu)買(mǎi)10個(gè)籃球．
二．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
2．（2022?泰安）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA＝2，tanA＝，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面積．

【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中點(diǎn)，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
三．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）
3．（2022?聊城）如圖，直線y＝px+3（p≠0）與反比例函數(shù)y＝（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（2，q），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)雙曲線上的一點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，交直線y＝px+3于點(diǎn)E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE將四邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵直線y＝px+3與y軸交點(diǎn)為B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
設(shè)C（m，），
∴m?＝4，
解得k＝8，
∵點(diǎn)A（2，q）在雙曲線y＝上，
∴q＝4，
把點(diǎn)A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE將四邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）．
四．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共1小題）
4．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．
五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）
5．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買(mǎi)，一箱起售，每人一天購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買(mǎi)1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷(xiāo)售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷(xiāo)售1箱．
（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2x+8.4；
（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元，
由題意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x為正整數(shù)，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7時(shí)，w取最大值，最大值為﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)140元．
6．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會(huì)在北京成功舉辦，我國(guó)選手在跳臺(tái)滑雪項(xiàng)目中奪得金牌．在該項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員首先沿著跳臺(tái)助滑道飛速下滑，然后在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止．本項(xiàng)目主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿態(tài)，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究：
如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過(guò)起跳點(diǎn)A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運(yùn)動(dòng)員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員到x軸的距離y（m）與水平方向移動(dòng)的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在飛行過(guò)程中，其水平方向移動(dòng)的距離x（m）與飛行時(shí)間t（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．
①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？


【解答】解：（1）作BE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵OA＝65m，著陸坡AC的坡角為30°，AB＝100m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（50，15），
∵點(diǎn)A（0，65），點(diǎn)B（50，15）在二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①設(shè)x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝kt+m，
因?yàn)辄c(diǎn)（0，0），（5，50）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝10t；
②設(shè)直線AB的解析式為y＝px+q，
∵點(diǎn)A（0，65），點(diǎn)B（50，15）在該直線上，
∴，
解得，
即直線AB的解析式為y＝﹣x+65，
則h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴當(dāng)x＝﹣＝25時(shí)，h取得最值，此時(shí)h＝，
∵25＜50，
∴x＝25時(shí)，h取得最值，符合題意，
將x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即當(dāng)t為2.5時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是m．

7．（2022?威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門(mén)）．求雞場(chǎng)面積的最大值．

【解答】解：設(shè)矩形雞場(chǎng)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（47﹣2x+1）m，由題意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝12時(shí)，y有最大值為288，
當(dāng)x＝12時(shí)，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合題意），
∴雞場(chǎng)的最大面積為288m2．
六．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
8．（2022?濰坊）為落實(shí)“雙減”，老師布置了一項(xiàng)這樣的課后作業(yè)：
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），且不經(jīng)過(guò)第一象限，寫(xiě)出滿足這些條件的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式．
【觀察發(fā)現(xiàn)】
請(qǐng)完成作業(yè)，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出大致圖象．
【思考交流】
小亮說(shuō)：“滿足條件的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸一定在y軸的左側(cè)．”
小瑩說(shuō)：“滿足條件的函數(shù)圖象一定在x軸的下方．”
你認(rèn)同他們的說(shuō)法嗎？若不認(rèn)同，請(qǐng)舉例說(shuō)明．
【概括表達(dá)】
小博士認(rèn)為這個(gè)作業(yè)的答案太多，老師不方便批閱，于是探究了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系，得出了提高老師作業(yè)批閱效率的方法．
請(qǐng)你探究這個(gè)方法，寫(xiě)出探究過(guò)程．


【解答】解：y＝﹣x2（答案不為唯一）；
【觀察發(fā)現(xiàn)】
如圖：
【思考交流】
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣，a＜0，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸可以在y軸的左側(cè)，也可以在y軸的右側(cè)，或者是y軸，
例如：y＝﹣x2；
∴小亮的說(shuō)法不正確；
∵拋物線不經(jīng)過(guò)第一象限，
∴拋物線的圖象一定在x軸的下方，
∴小瑩的說(shuō)法不正確；
【概括表達(dá)】
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1且a＜0，
①當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)時(shí)，即b＞0，此時(shí)頂點(diǎn)在x軸上或x軸下方，
∴Δ＝b2﹣4ac≤0，即b2≤4ac，
∴ac≥0，
∵a＜0，
∴c≤0，
∵2ac≤a2+c2，
∴4ac≤（a+c）2＝（b﹣1）2，
∴b2≤（b﹣1）2，
解得b≤；
②當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)或y軸上時(shí)，b≤0，只需保證與y軸交點(diǎn)在x軸上或x軸下方，
∴c≤0；
綜上所述：a＜0，b≤，c≤0，且a﹣b+c＝﹣1．

七．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
9．（2022?濰坊）【情境再現(xiàn)】
甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過(guò)證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
請(qǐng)你證明：AG＝BH．

【遷移應(yīng)用】
延長(zhǎng)GA分別交HO，HB所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．
【拓展延伸】
小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．

【解答】【情境再現(xiàn)】
證明：由閱讀材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OG，
∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【遷移應(yīng)用】
解：猜想：DG⊥BH；證明如下：
由【情境再現(xiàn)】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HOG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝AG，證明如下：
設(shè)AB交OH于T，OG交AC于K，如圖：

由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝GO，
∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，
∴＝＝，
∴△BTH∽△AKG，
∴＝＝，
∴BH＝AG．
八．三角形綜合題（共1小題）
10．（2022?青島）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形、
例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性質(zhì)探究】
如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，
則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝　3：4　；
（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝　　，S△CDE＝　??；
（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝　　．

【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案為：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案為：，；

（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，
故答案為：．
九．菱形的性質(zhì)（共2小題）
11．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
12．（2022?濱州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證AE＝EF．

【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，如圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB?sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面積是：BC?AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面積是50；
（2）證明：連接EC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．

一十．矩形的性質(zhì)（共1小題）
13．（2022?威海）（1）將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．
①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；
②求四邊形AGCH的面積．
（2）如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．

【解答】解：（1）①四邊形AGCH是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∵S平行四邊形AGCH＝GC?AB＝AG?CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，
∴平行四邊形AGCH是菱形；
②由①可知，GC＝AG，
設(shè)GC＝AG＝x，則BG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴GC＝5，
∴S菱形AGCH＝GC?AB＝5×4＝20；
（2）設(shè)GC＝a，則BG＝7﹣a，
∵四邊形ABCD和四邊形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∵∠AGB＝∠CGF，∠B＝∠F，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝，
即＝，
解得：AG＝2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：（2）2+（7﹣a）2＝（2a）2，
解得：a＝3或a＝﹣（不合題意舍去），
∴CG＝3，
∴S平行四邊形AGCH＝CG?AB＝3×2＝6．
一十一．四邊形綜合題（共2小題）
14．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 ?、佟。◤囊韵聝蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

【解答】（1）證明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若選擇條件①：
四邊形AECF是菱形，理由如下：

由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴?AECF是菱形；
若選擇條件②：
四邊形AECF是菱形，理由如下：
連接AC交BD于點(diǎn)O，

由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴?AECF是菱形．
故答案為：①（答案不唯一）．
15．（2022?臨沂）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，連接AD，CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）在線段AC上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)P在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．
（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【解答】（1）證明：連接BD，
等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵點(diǎn)B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：
∵將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處，
∴PQ＝PD，
等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
連接PB，過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥CB交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，如圖
則∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在線段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PD，
而PF⊥AB，
∴∠QPF＝∠BPF，
∴∠QPF﹣∠APF＝∠BPF﹣∠EPF，
即∠QPA＝∠BPE，
∴∠DPQ＝∠DPA﹣∠QPA＝∠BPA﹣∠BPE＝∠APE＝60°；
（3）解：在滿足（2）的條件下，線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系是AQ＝CP，證明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PD，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．


一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）
16．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F．
（1）求證：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求線段BF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BC＝AB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC?sin45°＝6×＝3，
∴線段BF的長(zhǎng)為3．

一十三．切線的判定與性質(zhì)（共3小題）
17．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過(guò)⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求AD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即＝，
∴AD＝cm．
18．（2022?日照）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．

【解答】（1）證明：連接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD過(guò)圓心O，
∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），
所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
19．（2022?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接OE，連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AOD＝∠EOD．
（1）連接AF，求證：AF是⊙O的切線；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC與⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AF是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，F(xiàn)C＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，則，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的長(zhǎng)為﹣．
一十四．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）
20．（2022?煙臺(tái)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）如圖，切線AD即為所求；


（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，連接OB，OC．
∵AD是切線，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC?cos30°＝，
∴BC＝2．
一十五．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共1小題）
21．（2022?棗莊）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？


【解答】解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝＝4（cm），
由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
則BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝2，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如圖②，
AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD為等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，
∵四邊形PECD為矩形，
∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，
∴BD＝（4﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∵四邊形QPCP′為菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∴t1＝，t2＝4（舍去）．
∴當(dāng)t的值為時(shí)，四邊形QPCP′為菱形．


一十六．相似三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）
22．（2022?濟(jì)寧）如圖，在矩形ABCD中，以AB的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓，連接OD交半圓于點(diǎn)E，在上取點(diǎn)F，使＝，連接BF，DF．
（1）求證：DF與半圓相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面積．

【解答】（1）證明：連接OF，如圖：

∵＝，
∴∠DOA＝∠FOD，
∵OA＝OF，OD＝OD，
∴△DAO≌△DFO（SAS），
∴∠DAO＝∠DFO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°＝∠DFO，
∴OF⊥DF，
又OF是半圓O的半徑，
∴DF與半圓O相切；
（2）解：連接AF，如圖：

∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB為半圓直徑，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF，
∴∠AOD＝∠ABF，
∵∠OAD＝∠AFB＝90°，
∴△AOD∽△FBA，
∴＝，即＝，
∴DO＝，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∴矩形ABCD的面積為AD?AB＝×10＝，
答：矩形ABCD的面積是．
23．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE與AC相交于點(diǎn)F．
（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；
（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說(shuō)明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長(zhǎng)度．

【解答】（1）證明：如圖，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△BOF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△BOF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BFA．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF?AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
聯(lián)立①②，可得BF＝1±（負(fù)值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
24．（2022?濱州）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M．
求證：（1）PD是⊙O的切線；
（2）AM2＝OM?PM．

【解答】證明：（1）連接OB，如圖所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是⊙O的切線；
（2）由（1）知PD是⊙O的切線，直線PA與⊙O相切，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴，
∴AM2＝OM?PM．

一十七．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）
25．（2022?濟(jì)寧）知識(shí)再現(xiàn)
如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．
請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫(xiě)出探究過(guò)程．
解決問(wèn)題
如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．

【解答】解：拓展探究
如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，

在Rt△ABE中，sinB＝，
同理：sinB＝，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解決問(wèn)題
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為30．
26．（2022?威海）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)測(cè)量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設(shè)立A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，然后選定對(duì)岸河邊的一棵樹(shù)記為點(diǎn)M．測(cè)得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請(qǐng)你依據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）．
參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，

設(shè)MN＝x米，
在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，
∴AN＝≈＝x（米），
在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，
∴BN＝≈＝x（米），
∵AB＝50米，
∴AN+BN＝50，
∴x+x＝50，
∴x≈17.1，
∴這段河流的寬度約為17.1米．

一十八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共1小題）
27．（2022?煙臺(tái)）如圖，某超市計(jì)劃將門(mén)前的部分樓梯改造成無(wú)障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1°）

（參考數(shù)據(jù)表）
計(jì)算器按鍵順序
計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
【解答】解：如圖：

由題意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比為1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°，
∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于12度．
一十九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共4小題）
28．（2022?棗莊）為傳承運(yùn)河文明，弘揚(yáng)民族精神，棗莊市政府重建了臺(tái)兒莊古城．某校“綜合與實(shí)踐”小組開(kāi)展了測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓（如圖①）高度的實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告．
測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓高度的實(shí)踐報(bào)告
活動(dòng)課題
測(cè)量臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓高度
活動(dòng)目的
運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題
活動(dòng)工具
測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具
方案示意圖

測(cè)量步驟
如圖②
（1）利用測(cè)角儀站在B處測(cè)得城門(mén)樓最高點(diǎn)P的仰角為39°；
（2）前進(jìn)了10米到達(dá)A處（選擇測(cè)點(diǎn)A，B與O在同一水平線上，A，B兩點(diǎn)之間的距離可直接測(cè)得，測(cè)角儀高度忽略不計(jì)），在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為56°．
參考數(shù)據(jù)
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
計(jì)算城門(mén)樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）

【解答】解：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），
答：臺(tái)兒莊古城城門(mén)樓的高度約為17米．
29．（2022?日照）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB長(zhǎng)為270m，雪道BC長(zhǎng)為260m．
（1）求該滑雪場(chǎng)的高度h；
（2）據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．

【解答】解：（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)D過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，如圖：

根據(jù)題知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF＝AB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
設(shè)BE＝tm，則CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（負(fù)值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：該滑雪場(chǎng)的高度h為235m；
（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是（x+35）m3，
根據(jù)題意得：＝，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，也符合題意，
∴x+35＝50，
答：甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．
30．（2022?聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱(chēng)為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹(shù)底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．
（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EH于N，
由題意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，
在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，
∴tan∠EAM＝，
∴AM＝＝≈＝12米，
∴BH＝AM＝12米，
∵BD＝20，
∴DH＝BD﹣BH＝8米，
∴CN＝8米，
在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，
∴tan∠ECN＝，
∴EN＝CN?tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，
∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），
即古槐的高度約為13米．

31．（2022?臨沂）如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)．某學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間測(cè)量主塔頂端到橋面的距離．勘測(cè)記錄如下表：

活動(dòng)內(nèi)容
測(cè)量主塔頂端到橋面的距離
成員
組長(zhǎng)：×××組員××××××××××××
測(cè)量工具
測(cè)角儀，皮尺等
測(cè)量示意圖

說(shuō)明：圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線上，EF⊥AB，點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)．
測(cè)量數(shù)據(jù)
∠A的大小
28°
AC的長(zhǎng)度
84m
CD的長(zhǎng)度
12m
請(qǐng)利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【解答】解：延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，
∵EF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵點(diǎn)A，C分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，
解得EG≈47.7，
即主塔頂端E到AB的距離約為47.7m．

二十．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）
32．（2022?青島）孔子曾說(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”興趣是最好的老師．閱讀、書(shū)法、繪畫(huà)、手工、烹飪、運(yùn)動(dòng)、音樂(lè)…各種興趣愛(ài)好是打開(kāi)創(chuàng)新之門(mén)的金鑰匙．某校為了解學(xué)生興趣愛(ài)好情況，組織了問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)，從全校2200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查內(nèi)容是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好的時(shí)長(zhǎng)，對(duì)這項(xiàng)調(diào)查結(jié)果使用畫(huà)“正”字的方法進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)，得到下表：
學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)分布統(tǒng)計(jì)表
組別
時(shí)長(zhǎng)t（單位：h）
人數(shù)累計(jì)
人數(shù)
第一組
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二組
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三組
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四組
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在第 　三　組；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為 　30%　，對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 　108　°；
（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)應(yīng)不少于2h，請(qǐng)你估計(jì)，該校學(xué)生中有多少人需要增加自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)間？

【解答】解：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在第三組，
故答案為：三；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為：；
對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×30%＝108°，
故答案為：30%；108；
（4）2200×＝330（人），
答：估計(jì)該校學(xué)生中有330人需要增加自主發(fā)展興趣愛(ài)好時(shí)間．
33．（2022?臨沂）省農(nóng)科院為某縣選育小麥種子，為了解種子的產(chǎn)量及產(chǎn)量的穩(wěn)定性，在該縣的10個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)選擇兩塊自然條件相近的實(shí)驗(yàn)田分別種植甲、乙兩種小麥，得到其畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下（單位：kg）：
甲種小麥：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙種小麥：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
畫(huà)以上甲種小麥數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖，甲乙兩種小麥數(shù)據(jù)的折線圖，得到圖1，圖2

（1）圖1中，a＝　2　，b＝　3　；
（2）根據(jù)圖1，若該縣選擇種植甲種小麥，則其畝產(chǎn)量W（單位：kg）落在 　D　內(nèi)的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）觀察圖2，從小麥的產(chǎn)量或產(chǎn)量的穩(wěn)定性的角度，你認(rèn)為農(nóng)科院應(yīng)推薦種植哪種小麥？簡(jiǎn)述理由．
【解答】解：（1）由題意a＝2，b＝3，
故答案為：2，3；

（2）由頻數(shù)分布直方圖可知落在815≤W＜820的可能性最大，
故選：D；

（3）從小麥的產(chǎn)量或產(chǎn)量的穩(wěn)定性的角度，應(yīng)推薦種植乙種小麥．
理由：從折線圖可以看出乙的離散程度比較小．
二十一．折線統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
34．（2022?聊城）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，學(xué)校團(tuán)委在八、九年級(jí)各抽取50名團(tuán)員開(kāi)展團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽，為便于統(tǒng)計(jì)成績(jī)，制定了取整數(shù)的計(jì)分方式，滿分10分．競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：

（1）你能用成績(jī)的平均數(shù)判斷哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)比較好嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
（2）請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，回答下列問(wèn)題．

眾數(shù)
中位數(shù)
方差
八年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)
7
8
1.88
九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)
a
8
b
①表中的a＝　8　，b＝　1.56??；
②現(xiàn)要給成績(jī)突出的年級(jí)頒獎(jiǎng)，如果分別從眾數(shù)和方差兩個(gè)角度來(lái)分析，你認(rèn)為應(yīng)該給哪個(gè)年級(jí)頒獎(jiǎng)？
（3）若規(guī)定成績(jī)10分獲一等獎(jiǎng)，9分獲二等獎(jiǎng)，8分獲三等獎(jiǎng)，則哪個(gè)年級(jí)的獲獎(jiǎng)率高？

【解答】解：（1）由題意得：
八年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均數(shù)無(wú)法判定哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)比較好；
（2）①九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)中8分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝8分；
九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的方差為：s2＝×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×（10﹣8）2]＝1.56，
故答案為：8；1.56；
②如果從眾數(shù)角度看，八年級(jí)的眾數(shù)為7分，九年級(jí)的眾數(shù)為8分，所以應(yīng)該給九年級(jí)頒獎(jiǎng)；如果從方差角度看，八年級(jí)的方差為1.88，九年級(jí)的方差為1.56，又因?yàn)閮蓚€(gè)年級(jí)的平均數(shù)相同，九年級(jí)的成績(jī)的波動(dòng)小，所以應(yīng)該給九年級(jí)頒獎(jiǎng)；
綜上所述，應(yīng)該給九年級(jí)頒獎(jiǎng)．
（3）八年級(jí)的獲獎(jiǎng)率為：（10+7+11）÷50＝56%，
九年級(jí)的獲獎(jiǎng)率為：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年級(jí)的獲獎(jiǎng)率高．
二十二．列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）
35．（2022?濟(jì)寧）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．
學(xué)生成績(jī)分布統(tǒng)計(jì)表
成績(jī)/分
組中值
頻率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
請(qǐng)根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：n＝　40　，a＝　0.25　；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）求這n名學(xué)生成績(jī)的平均分；
（4）從成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的學(xué)生中任選兩名學(xué)生．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．

【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案為：40，0.25；
（2）頻數(shù)分布直方圖如圖示：

（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125，
所以這n名學(xué)生成績(jī)的平均分為88.125分；
（4）用a，b表示成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5的學(xué)生，用m，n表示成績(jī)?cè)?5.5≤x＜100.5的學(xué)生，樹(shù)狀圖如下：

選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?5.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率為：＝．
36．（2022?日照）今年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校組織學(xué)生觀看慶祝大會(huì)實(shí)況并進(jìn)行團(tuán)史學(xué)習(xí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，并將競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行整理（成績(jī)得分用a表示），其中60≤a＜70記為“較差”，70≤a＜80記為“一般”，80≤a＜90記為“良好”，90≤a≤100記為“優(yōu)秀”，繪制了不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖．

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，回答如下問(wèn)題：
（1）x＝　30%　，y＝　16%　，并將直方圖補(bǔ)充完整；
（2）已知90≤a≤100這組的具體成績(jī)?yōu)?3，94，99，91，100，94，96，98，則這8個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 　95　，眾數(shù)是 　94　；
（3）若該校共有1200人，估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)；
（4）本次知識(shí)競(jìng)賽超過(guò)95分的學(xué)生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機(jī)抽取2人去參加全市的團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識(shí)競(jìng)賽的概率．
【解答】解：（1）被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4÷8%＝50（人），
∴優(yōu)秀對(duì)應(yīng)的百分比y＝×100%＝16%，
則一般對(duì)應(yīng)的人數(shù)為50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其對(duì)應(yīng)的百分比x＝×100%＝30%，
補(bǔ)全圖形如下：

故答案為：30%，16%．
（2）將這組數(shù)據(jù)重新排列為91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位數(shù)為＝95，眾數(shù)為94，
故答案為：95、94；
（3）估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為1200×16%＝192（人）；
（4）畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是女生的有6種結(jié)果，
所以恰好抽中2名女生參加知識(shí)競(jìng)賽的概率為＝．
37．（2022?泰安）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課開(kāi)講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站為廣大青少年又一次帶來(lái)了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分為如下5組（滿分100分），A組：75≤x＜80，B組：80≤x＜85，C組：85≤x＜90，D組：90≤x＜95，E組：95≤x≤100，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了 　400　名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中m＝　60　，所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在 　D　組；
（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；
（3）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？
（4）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國(guó)旗下的演講，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．


【解答】解：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：96÷24%＝400（名），
∴B組的人數(shù)為：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是第200個(gè)和第201個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，20+96+60＝176，
∴所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在D組，
故答案為：400，60，D；
（2）E組的人數(shù)為：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖如下：

（3）3000×＝1680（人），
答：估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有1680人；
（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，
∴抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率為＝．


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