注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考號、班級用簽字筆填寫在答題卡相應位置．
2．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．不能答在試題卷上．
3．非選擇題用簽字筆將答案直接答在答題卡相應位置上．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)的對應點坐標為，則的共軛復數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
2 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知兩個向量，，且，則值為（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為，一個次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（ ）
A. B. C. D.
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若、，且，則（ ）
A. B. C. D.
7. 年月日是第個植樹節(jié)，為加快建設美麗內(nèi)江、筑牢長江上游生態(tài)屏障貢獻力量，我市積極組織全民義務植樹活動．現(xiàn)有一學校申領到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相同），該校個志愿小組依次領取這批樹苗開展植樹活動．已知第組領取所有樹苗的一半又加半包，第組領取所剩樹苗的一半又加半包，第組也領取所剩樹苗的一半又加半包．以此類推，第組也領取所剩樹苗的一半又加半包，此時剛好領完所有樹苗．請問該校共申領了樹苗多少包？（ ）
A. B. C. D.
8. 已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點、，且，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，記隨機事件“點數(shù)為”，其中，則下列論述正確的是（ ）
A.
B. 若“點數(shù)大于”，則
C. 若連續(xù)拋擲骰子次，記“點數(shù)之和為”，則
D. 若重復拋擲骰子，則事件發(fā)生的頻率等于事件發(fā)生的概率
10. 已知，則下列不等關系正確的有（ ）
A B.
C. D.
11. 給定函數(shù)，．分別用、表示、中的最小者、最大者，記為,．下列說法正確的是（ ）
A.
B. 當直線與曲線有三個不同交點時，
C. 當時，曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個交點
D. 函數(shù)的值域為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中，常數(shù)項為___________.
13. 在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，與相交于點，則余弦值為______．
14. 已知函數(shù)（，且）的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，且在上單調(diào)遞增，請寫出一個滿足條件的的解析式______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，，，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足．
（1）求；
（2）若，求周長的最大值．
16. 已知數(shù)列、滿足，，，，其中、、．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和．
17. 已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
18. 某市為全面提高青少年健康素養(yǎng)水平，舉辦了一次“健康素養(yǎng)知識競賽”，分預賽和復賽兩個環(huán)節(jié)，預賽成績采用百分制，排名前三百名的學生參加復賽．已知共有名學生參加了預賽，現(xiàn)從參加預賽的全體學生中隨機地抽取人的預賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：
（1）規(guī)定預賽成績不低于分為優(yōu)良，若從上述樣本中預賽成績不低于分的學生中隨機地抽取人，求至少有人預賽成績優(yōu)良的概率；
（2）由頻率分布直方圖，可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績近似服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的名學生預賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預賽成績?yōu)榉?，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復賽？
（3）復賽規(guī)則如下：①復賽題目由、兩類問題組成，答對類問題得分，不答或答錯得分；答對類問題得分，不答或答錯得分；②、兩類問題的答題順序可由參賽學生選擇，但只有在答對第一類問題的情況下，才有資格答第二類問題．已知參加復賽的學生甲答對類問題的概率為，答對類問題的概率為，答對每類問題相互獨立，且與答題順序無關．為使累計得分的期望最大，學生甲應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
附：若，則，，；．
19. 已知函數(shù)，??；過點作曲線的切線，該切線與軸的交點記作．若，則過點作曲線的切線，該切線與軸的交點記作．以此類推得，直至停止，由這些數(shù)構(gòu)成數(shù)列．
（1）若正整數(shù)，證明：；
（2）若正整數(shù)，證明：；
（3）若正整數(shù)，是否存在使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請說明理由．
內(nèi)江市高中2025屆第一次模擬考試題
數(shù)學
本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考號、班級用簽字筆填寫在答題卡相應位置．
2．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．不能答在試題卷上．
3．非選擇題用簽字筆將答案直接答在答題卡相應位置上．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)的對應點坐標為，則的共軛復數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，再根據(jù)復數(shù)的乘法以及共軛復數(shù)的定義分析判斷.
【詳解】因為復數(shù)的對應點坐標為，則，
可得，
所以的共軛復數(shù)為.
故選：A.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、，再利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因為，
，
所以，.
故選：D.
3. 已知兩個向量，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直可得，再結(jié)合向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為，則，即，
又因為，，則，解得.
故選：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義研究條件的充分性和必要性.
【詳解】若，假設，則由可知，矛盾，所以，這表明條件是必要的；
對，有，，這表明條件不是充分的.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為，一個次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】記事件抽取的一個產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個產(chǎn)品被判為合格品，利用全概率公式可求得的值.
【詳解】記事件抽取的一個產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個產(chǎn)品被判為合格品，
則，，，
由全概率公式可得.
所以，任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為.
故選：B.
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若、，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求出的值，代值計算可得出的值.
【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
所以，，
因為，且函數(shù)在附近單調(diào)遞減，
所以，，解得，
又因為，所以，，則，
因為，可得，
所以，，
因為、，則，，
因為，則，所以，，
故.
故選：C.
7. 年月日是第個植樹節(jié)，為加快建設美麗內(nèi)江、筑牢長江上游生態(tài)屏障貢獻力量，我市積極組織全民義務植樹活動．現(xiàn)有一學校申領到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相同），該校個志愿小組依次領取這批樹苗開展植樹活動．已知第組領取所有樹苗的一半又加半包，第組領取所剩樹苗的一半又加半包，第組也領取所剩樹苗的一半又加半包．以此類推，第組也領取所剩樹苗的一半又加半包，此時剛好領完所有樹苗．請問該校共申領了樹苗多少包？（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設原有樹苗有包，求出第組到第組所領取樹苗的包數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得出關于的等式，解之即可.
【詳解】設原有樹苗有包，第組領取包，
第組領取包，
第組領取包，
，
以此類推可知，第組領取包，
由題意可得，
即，解得.
故選：B
8. 已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點、，且，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合得出，計算得出，，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導數(shù)求該函數(shù)的值域，即可得出合適的選項.
【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，
，
由題意可知，、為方程的兩根，
由可得，令，其中，
由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為0,+∞，
故，
且當時，gx0，如下圖所示：
由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
且，由題意可得，
所以，，
，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則，即，
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于確定、的取值范圍，再結(jié)合極值點所滿足的條件消去參數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求值域的問題.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，記隨機事件“點數(shù)為”，其中，則下列論述正確的是（ ）
A.
B. 若“點數(shù)大于”，則
C. 若連續(xù)拋擲骰子次，記“點數(shù)之和為”，則
D. 若重復拋擲骰子，則事件發(fā)生的頻率等于事件發(fā)生的概率
【答案】AC
【解析】
【分析】分析可知，，可判斷A選項；利用對立事件的概率公式可判斷B選項；利用古典概型的概率公式可判斷C選項；利用頻率與概率的關系可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，則，A對；
對于B選項，若“點數(shù)大于”，則，B錯；
對于C選項，若連續(xù)拋擲骰子次，記“點數(shù)之和為”，
基本事件總數(shù)為，若拋擲骰子，第一次向上的點數(shù)為，第二次向上的點數(shù)為，
以作為一個基本事件，則事件包含的基本事件有：、、，共個基本事件，
由古典概型的概率公式可得，C對；
對于D選項，若重復拋擲骰子，則事件發(fā)生的頻率在事件發(fā)生的概率值附近波動，D錯.
故選：AC.
10. 已知，則下列不等關系正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項；推導出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因，則，
所以，，故，A對；
對于B選項，因為，則，所以，，
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，，即，B對；
對于C選項，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，
即，即，故，C對；
對于D選項，因為，
所以，，D錯.
故選：ABC.
11. 給定函數(shù)，．分別用、表示、中的最小者、最大者，記為,．下列說法正確的是（ ）
A.
B. 當直線與曲線有三個不同交點時，
C. 當時，曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個交點
D. 函數(shù)的值域為
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函數(shù)、的解析式，可判斷A選項；數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；求出切線方程，將切線方程與函數(shù)的解析式聯(lián)立，求出交點個數(shù)，可判斷C選項；化簡函數(shù)的解析式，并求其值域，可判斷D選項.
【詳解】函數(shù)、的定義域均為，且，
所以，，
，
對于A選項，當時，，則，此時，，
當時，，則，此時，，A對；
對于B選項，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，B錯；
對于C選項，當時，，則，
因為，則，
所以，曲線在點處的切線方程為，
即，
當時，由，
整理可得，可得（舍去），
當時，由可得，
解得或（舍去），
綜上所述，當時，曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個交點，C對；
對于D選項，當時，，
當時，.
綜上所述，函數(shù)的值域為，D對.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中，常數(shù)項為___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出通項，然后令的指數(shù)為零即可．
【詳解】解：由題意得：，
令得，
故常數(shù)項為．
故答案為：．
13. 在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，與相交于點，則的余弦值為______．
【答案】
【解析】
【分析】以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出，即可得解.
【詳解】以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，
則、、、，則，，
所以，.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)（，且）的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，且在上單調(diào)遞增，請寫出一個滿足條件的的解析式______．
【答案】（答案不唯一，滿足且均可）
【解析】
【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析可知，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域可得，即可得結(jié)果.
【詳解】當時，在0,+∞上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞減，
且在R上單調(diào)遞減，
可知在0,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
若在0,+∞上單調(diào)遞增，則，
可得，
若函數(shù)圖象無限接近直線但又不與該直線相交，可知，
綜上所述：且.
例如，可得.
故答案為：（答案不唯一，滿足且均可）.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，，，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足．
（1）求；
（2）若，求周長的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運算求解即可；
（2）利用余弦定理可得，再結(jié)合不等式可得，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理可得，
且，即，
又因為，則，
可得，即，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理可得：，
即，可得，
又因為，可得，即，
當且僅當時，等號成立，
所以周長的最大值為.
16. 已知數(shù)列、滿足，，，，其中、、．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可得對任意，，利用前項和與通項的關系可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由題意得出，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式，利用裂項求和法可求得.
【小問1詳解】
由題意可知，對任意的，，
當時，由，可得，
上述兩個等式作差可得，可得，
也滿足，故對任意的，.
【小問2詳解】
由題意可知，，所以，.
所以，，
所以，.
17. 已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實數(shù)取值范圍．
【答案】（1）答案見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，分和兩種情況，結(jié)合導數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；
（2）由題意可得：，分和兩種情況，結(jié)合（1）中單調(diào)性分析求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知：的定義域為，且，
若，則f′x

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