說明：1．本試卷共4頁(yè)，滿分150分．
2．請(qǐng)將所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上無(wú)效．
一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．B．3C．D．1
2．若空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）
A．B．
C．D．
3．雙曲線的左焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（ ）
A．2B．C．1D．
4．已知點(diǎn)是直線：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，過拋物線：的焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使得四邊形PAQB為平行四邊形，則．（ ）
A．是定值B．有最大值
C．有最小值D．以上說法均不正確
6．已知橢圓：，，是左右頂點(diǎn)，，在橢圓上，滿足，則直線PQ恒過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
7．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．C．D．
8．吹奏樂器“塤”（如圖1）在古代通常是用陶土燒制的，一種“塤”的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓，已知半橢圓（，且為常數(shù)）和半圓組成的曲線如圖2所示，曲線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積最大，則半橢圓的方程是（ ）
圖1圖2
A．B．
C．D．
二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．以下說法正確的有（ ）
A．若，，且，則一定有，，，四點(diǎn)共面；
B．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底；
C．若，，則；
D．正方體，棱長(zhǎng)為1，如圖所示建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)在平面上．
10拋物線：的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過作：的一條切線，為切點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則（ ）
A．與相切
B．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
11．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過左焦點(diǎn)．若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．當(dāng)過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為13
C．射線所在直線的斜率為，則
D．若點(diǎn)，直線PT與相切，則
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．設(shè)雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為、，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為______．
13．過點(diǎn)與圓相切的直線方程為______
14．伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654—1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)，的距離之積為的點(diǎn)的軌跡就是伯努利雙紐線，的方程為，其形狀類似于符號(hào)，若點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②恒成立；
③曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過；④當(dāng)時(shí)，取得最大值或最小值．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．（13分）已知圓過原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在軸上．
（1）求圓的方程；
（2）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
16．（15分）如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面與直線的交點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值．
17．（15分）拋物線：上的點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為5．
（1）求的方程；
（2）已知直線與交于，兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），交AB于點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，證明的長(zhǎng)度為定值，并求出該定值．
18．（17分）已知雙曲線和橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線PM，PN分別交雙曲線于不同于點(diǎn)的、兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線MN距離的最大值．
19．（17分）已知為橢圓：的左焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，且直線PF的斜率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)，在橢圓上，且，過，分別作橢圓的切線，，與相交于點(diǎn)．
（?。┣簏c(diǎn)的軌跡方程；
（ⅱ）求周長(zhǎng)的最小值．
邢臺(tái)一中2024—2025學(xué)年第一學(xué)期第三次月考
高二數(shù)學(xué)參考答案
一、
二、
12．13．或14．①②③
三、15．（1）解；設(shè)圓心為，由題意可得，
則，解得，所以，圓的半徑為，
故圓的方程為．
（2）解：設(shè)點(diǎn)，共中，則，設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
可得，可得，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，即．
故點(diǎn)的軌跡方程為．
16（1）因，平面，平面，則平面，
又因平面．平面平面，故，
故；
（2）
因平面，，，可得，
故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可取，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成的角的正弦值為．
17．（1）根據(jù)題意利用拋物線定義可知，解得；
所以拋物線的方程為；
（2）如下圖所示：
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立整理可得，
設(shè)，，則可得，；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直線OD的方程為，
聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；
又，所以可得
；
即的長(zhǎng)度為定值2．
18．（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的，又因?yàn)椋?，，所以雙曲線的方程為．
（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，，，依題意，，即，由解得或（舍去），
所以，，此時(shí)到直線MN的距離為．
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)，，設(shè)直線MN的方程為．
由消去并化簡(jiǎn)得：，
，①，
，，
依題意，所以
，
整理得，即，
由于直線MN，，所以，，
函數(shù)的開口向上，
判別式為，故①成立．
所以直線MN的方程為，即，
所以到MN的距離，，
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．
所以，，．綜上所述，點(diǎn)到直線MN的距離的最大值為．
19．（17分）
【解析】（1）由題意得，直線PF的方稱為，即，
當(dāng)時(shí)，，故，由解得或（舍去），
橢圓的方程．
（2）（ⅰ）設(shè)直線MN：，，，，
與聯(lián)立，
所以，，
由可得
；化簡(jiǎn)可得①
設(shè)的方程為，即，與聯(lián)立
，令
，結(jié)合，解得，
所以切線方程為，即直線方程為：，
不存在時(shí)也滿足此直線方程，同理可得方程為：，
由在直線，上，則，即，在直線上，
所以直線MN方程為：，即②，
由①②可得，時(shí)也滿足此方程，所以的軌跡方程為．
（ⅱ）由（?。┛芍谝詾榻裹c(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，過，分別向直線作垂線，垂足分別為，，
由拋物線定義可得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等，所以周長(zhǎng)的最小值為．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
B
D
A
C
B
D
ACD
ABD
CD

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