注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列求導(dǎo)運算結(jié)果不正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則求解可判斷每個選項的正誤.
【詳解】，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：A.
2. 如圖，直線和圓，當(dāng)從開始在平面上按順時針方向繞點勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時間的函數(shù)．這個函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，根據(jù)面積函數(shù)的變化趨勢，結(jié)合圖象的變化率先變大在變小，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，可得面積隨著的增大而增加，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
且增長趨勢先慢后快，過圓心后逐漸變慢，即函數(shù)圖象的變化率先變大在變小，
結(jié)合選項，可得選項D復(fù)合題意.
故選：D.
3. 曲線在原點處的切線斜率為（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】因為，則，
故選：D.
4. 已知函數(shù) 的圖象如圖所示， 是 的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)增長速度即可得解.
【詳解】由圖可知，的增長速度越來越慢，所以，
表示在上的平均變化率，
由圖可知.
故選：A
5. 若，則（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得；
【詳解】.
故選：C.
6. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求導(dǎo)，可得對恒成立，可得對恒成立，求得的最大值即可.
【詳解】由，可得，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，即對恒成立，
即對恒成立，
令，則，因為，所以，
所以，所以，
所以實數(shù)k的取值范圍是.
故選：D.
7. 已知函數(shù)（）有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知與有三個不同交點，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.
【詳解】令，可得，
構(gòu)建，
若函數(shù)有三個不同零點，即與有三個不同交點，
因為，
令，解得；令，解得或；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，極大值，
且當(dāng)趨近于，趨近于；當(dāng)趨近于，趨近于0，
可得圖象，如圖所示：

由函數(shù)圖象可得.
故選：A.
8. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且在上，若，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件判斷的單調(diào)性，奇偶性進而解不等式即可.
【詳解】設(shè)，則，
又上，，則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又是定義在R上奇函數(shù)，則函數(shù)為R上的奇函數(shù)，
故在R上單調(diào)遞減，又，
即，可得，解得．
故選：B.
二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．
9. 判斷下列命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)的極小值一定比極大值小．
B. 對于可導(dǎo)函數(shù)，若，則為函數(shù)的一個極值點．
C. 函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，則函數(shù)在內(nèi)一定沒有極值．
D. 三次函數(shù)在R上可能不存在極值．
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系依次判定即可.
【詳解】對于A選項，根據(jù)極值定義，函數(shù)的極小值不一定比極大值小，則A選項錯誤；
對于B選項，若或恒成立，則無極值點，此時導(dǎo)函數(shù)的零點為函數(shù)拐點，則B選項錯誤；
對于C選項，在內(nèi)單調(diào)，因為區(qū)間為開區(qū)間，所以取不到極值，則C選項正確；
對于D選項，三次函數(shù)求導(dǎo)以后為二次函數(shù)，若或恒成立，則無極值點，故D選項正確；
故選：CD.
10. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列命題中正確的是（ ）
A. 是函數(shù)的極值點B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 是函數(shù)的最小值點D. 在處切線的斜率小于零
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合極值的定義，逐一求解.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時，，在時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；
則是函數(shù)的極小值點，故A正確；
在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點，故C不正確；
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于切線的斜率大于零，故D不正確．
故選：AB
11. 函數(shù) ，則下列說法正確的是 （ ）
A. 當(dāng) 時， 的極小值為
B. 為奇函數(shù)
C. 當(dāng) 時， 一定有三個零點
D. 若直線 與 有三個交點 ，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定極值判斷A；利用奇函數(shù)的定義判斷B；由極大值、極小值的正負(fù)判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，為極大值，A錯誤；
對于B，令，則，
函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；
對于C，，當(dāng)時，令的二根，
，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，，
由三次函數(shù)的圖象特征知，函數(shù)的圖象與軸有3個交點，C正確；
對于D，由選項B知，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，而直線關(guān)于點對稱，
因此函數(shù)的圖象與直線的3個交點關(guān)于點對稱，
其交點的橫坐標(biāo)滿足，D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分
12. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)切點在切線上以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】由已知得，，
.
故答案為：.
13. 若函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則先求，再計算即可.
【詳解】因為，所以，
得到，解得，
故答案為：.
14. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】求，根據(jù)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
∵在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，
∴在上有解，故在上有解，
令，則，
∵，∴，即在上為減函數(shù)，
∴，故．
故答案為：.
四、解答題：本題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)在x＝1處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[－4，4]上最大值和最小值．
【答案】（1）9；（2）最大值為76，最小值為－5.
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用在處取得極值，，求解即可．
（2）求出．判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值，求解端點值，推出最值即可．
【詳解】解：（1）因為，
所以．
因為在x＝1處取得極值，
所以，即，解得
經(jīng)檢驗，符合題意．
（2）由（1）得．
所以．
令，得或；
令，得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
所以極大值為，極小值為
又， ，
所以
所以的最大值為76，最小值為
16. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，求和；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）
（2）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
【解析】
【分析】（1）求得，得到且，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；
（2）求得，結(jié)合和的解集和定義域，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，可得，則且，
因為函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，
可得 解得.
【小問2詳解】
解：由函數(shù)的定義域為，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
17. 2023年我國汽車出口躍居世界首位.整車出口491萬輛，同比增長.作為中國外貿(mào)“新三樣”之一，新能源汽車成為出口增長新動能.已知某款新能源汽車在勻速行駛狀態(tài)下每千米的耗電量（單位：）與速度（單位：）在的函數(shù)關(guān)系為.假設(shè)電價是1元.
（1）當(dāng)車速為多少時，車輛每千米的耗電量最低？
（2）已知司機的工資與開車時間成正比例關(guān)系，若總費用=電費+司機的工資，甲地到乙地的距離為，最經(jīng)濟的車速是，則司機每小時的工資為多少元？
【答案】（1）
（2）150元.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值；
（2）首先計算汽車行駛總費用，并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知，是函數(shù)的極值點，代入即可求解.
小問1詳解】
由
有，令，得或（舍），
當(dāng)時，,單調(diào)遞減，
當(dāng)時，,單調(diào)遞增，
所以當(dāng)車速為時，車輛每千米的耗電量最低；
【小問2詳解】
設(shè)司機的工資為元，則行車的總費用為
，由題意知時，，
得，即司機每小時的工資為150元.
18. 設(shè)函數(shù)．
（1）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.
（2）利用導(dǎo)數(shù)按分類討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并求出最小值即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，不等式，
令，依題意，恒成立，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
【小問2詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，解得，無解；
當(dāng)時，由，得；由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，符合題意，
所以存在實數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2，.
19. 已知函數(shù)，
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，求證；
（3）若函數(shù)有兩個極值點，（）且恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明見解析； （3）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將條件代入，得到函數(shù)的不等式，通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的應(yīng)用得到最值，即可得證；
（3）將函數(shù)的極值點轉(zhuǎn)化成方程的根，根據(jù)和韋達定理求出的關(guān)系式及取值范圍，利用分離參數(shù)將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可求得其最小值，從而得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意，當(dāng)時，，定義域為，
則，
令，得，解得
所以，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
當(dāng)時，則，即.
令函數(shù)，則，
令函數(shù)
易知為增函數(shù)，令則，
，根據(jù)零點存在定理，則有.
又時，，即，則在上單調(diào)遞減；
時，，即，則在上單調(diào)遞增.
.
故，即.
【小問3詳解】
由題意，的定義域為，，
有兩個極值點，（）即方程有兩個不相等正數(shù)根，
則有，解得
因為恒成立，所以對恒成立，
分離參數(shù)可得對恒成立，
令，則
令則解得或（舍去）.
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故即，是減函數(shù).
所以，
故實數(shù)的取值范圍是

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