2022-2023學(xué)年河北省邢臺(tái)市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線斜率為（    ）A．-1 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出對(duì)應(yīng)直線的傾斜角即可計(jì)算作答.【詳解】因直線的斜率為1，傾斜角為45°，則直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)直線的傾斜角為135°，所以對(duì)應(yīng)的直線斜率為.故選：A2．已知空間三點(diǎn)，，，則到直線的距離為（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】首先求出、，再根據(jù)夾角公式求出，從而求出，再根據(jù)距離公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，，所以，，則，，，所以，則，所以到直線的距離為.故選：B3．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則（    ）A．直線的點(diǎn)斜式方程為B．直線的斜截式方程為C．直線的截距式方程為D．直線的一般式方程為【答案】C【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線的點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率.因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的點(diǎn)斜式為，斜截式為，截距式為，一般式為.故選：C4．已知，，，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)空間向量的投影計(jì)算公式求出在上的投影，進(jìn)行計(jì)算在上的投影向量.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，所以故在上的投影向量為故選：B5．如圖，在平行六面體中，E，F分別在棱和上，且.記，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由空間向量的線性運(yùn)算可得，由空間向量基本定理即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，，.因?yàn)?/span>，所以.故選:B.6．若直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系直接求解即可.【詳解】直線的斜率與傾斜角滿足，且，若，則.故選:C.7．在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若，則異面直線與夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求的坐標(biāo)，利用向量垂直坐標(biāo)表示列方程求值，再寫(xiě)出，利用空間向量夾角公式得到向量夾角，最后得到異面直線夾角.【詳解】設(shè)，則，，，，，，，，因?yàn)?/span>，所以，解得.因?yàn)?/span>，，所以，故異面直線與夾角的余值為.故選：B.8．已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，，當(dāng)的面積取得最小值時(shí)，直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)直線：，由題意分別求出，，即可表示出的面積，再由均值不等式即可求出答案.【詳解】由題意可設(shè)直線：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，則，則.不妨假設(shè)在軸上，則，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)榫€段與的長(zhǎng)度分別為，，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C. 二、多選題9．已知向量，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以，故B正確；因?yàn)?/span>，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，，所以，所以，故D正確.故選：BCD10．已知直線：與：，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．若，則，間的距離為D．原點(diǎn)到的距離的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)直線的平行和垂直以及距離公式依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A， ，兩直線重合，錯(cuò)誤；對(duì)于B， ，正確；對(duì)于C，若 ，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，重合，當(dāng)時(shí)， ，∴的方程為，的方程為，，間的距離為，正確；對(duì)于D，由，可得恒過(guò)點(diǎn)，所以原點(diǎn)到的距離的最大值為，正確；故選：BCD.11．已知直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且到的距離與到的距離之比為，則直線的方程可能為（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求得兩直線和的交點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，再依據(jù)題給條件列方程即可求得直線的方程.【詳解】聯(lián)立方程組，解得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，到的距離為2，到的距離為5，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由，解得或所以直線的方程為或.故選：AC12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的是（    ）A．平面 B．平面C．平面截該正方體所得的截面面積為 D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，可以通過(guò)與平面的法向量是否平行進(jìn)行判斷；對(duì)于B，可以通過(guò)與平面的法向量是否垂直進(jìn)行判斷；對(duì)于C，連接和，則，，，，四點(diǎn)共面，即平面截該正方體所得的截面為梯形，求出其面積即可；對(duì)于D，使用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，即三棱錐的高，即可求得三棱錐的體積.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴，對(duì)于A，，與平面的法向量不平行，∴直線與平面不垂直，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，，，∴與平面的法向量不垂直，∴直線與平面不平行，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，連接和，，∴，因此，，，四點(diǎn)共面，即平面截該正方體所得的截面為梯形，直線的單位方向向量，取，則，∴點(diǎn)到直線的距離，∴梯形的面積，即平面截該正方體所得的截面面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，易知三角形與梯形等高，∴，，點(diǎn)到平面的距離，即三棱錐的高，∴三棱錐的體積，故選項(xiàng)D不正確.綜上所述，選項(xiàng)中不正確的有A，B，D.故選：ABD. 三、填空題13．已知，在直線l上，寫(xiě)出直線l的一個(gè)方向向量：______．【答案】 （答案不唯一）【分析】根據(jù)直線方向向量的求法求得.【詳解】由于，，所以直線的一個(gè)方向向量.故答案為：（答案不唯一）14．已知空間有三點(diǎn)，，，若在直線上存在一點(diǎn)，使得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】##【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列出關(guān)于的方程組，解之即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】設(shè)，則， 又，，則解得即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：15．已知，，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則的最小值為______.【答案】9【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值9.故答案為：9. 四、雙空題16．一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，然后被直線反射，則入射點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，反射光線所在直線在軸上的截距為______.【答案】          ##0.5【分析】求出直線的方程，將其與聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；然后求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求反射光線方程，再起其在軸上的截距.【詳解】入射光線所在直線的方程為即，聯(lián)立方程組解得    即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得即.因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在直線的方程為，令，得即反射光線所在直線在軸上的截距為.故答案為：；. 五、解答題17．如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，且，設(shè).(1)試用表示；(2)已知是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法運(yùn)算法則，即可求解．（2）O為的中點(diǎn)，求DO的長(zhǎng)，只需求出的長(zhǎng)，利用（1）中所求的結(jié)果，求的模即可．【詳解】（1）.（2）由題意知，.，18．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先求出直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解.（2）先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式即可求出方程.【詳解】（1）因?yàn)?/span>邊上的高所在直線的方程為，所以所在直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即因?yàn)?/span>邊上的中線所在直線的方程為，所以直線與的交點(diǎn)為點(diǎn),聯(lián)立方程組解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為;（2）設(shè)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)為,由解得,所以直線的方程為,即.19．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)，平面平面，且.(1)證明：.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）由線面平行的判定和性質(zhì)，推得，再由和圓的對(duì)稱性，求出相關(guān)的角的大小，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可得所求值．【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面平面，所以平面.因?yàn)?/span>平面，且平面平面，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，即.（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離為.20．已知直線：，.(1)證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)或(3) 【分析】（1）化簡(jiǎn)方程為直線系方程的形式，組成方程組解出直線過(guò)的點(diǎn)；（2）根據(jù)題意分直線過(guò)原點(diǎn)、不過(guò)原點(diǎn)討論，分析解決即可；（3）分①，②，③，且三種情況進(jìn)行討論分析解決.【詳解】（1）證明：整理直線的方程，得，所以直線過(guò)直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或.（3）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，不符合題意；當(dāng)，且時(shí)，， 所以解得或，綜上所述，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)第四象限時(shí)，的取值范圍是：.21．如圖①，在平面多邊形ABCDE中，，為等腰直角三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且，沿AD將折起，使得，M為BC的中點(diǎn)，連接AM，BD，如圖②.(1)證明：；(2)求直線DE與平面BEM所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）由題可得，然后結(jié)合條件利用線面垂直的判定定理可得平面，平面，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，求出平面的法向量，然后利用線面角的向量求法即得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，所以，又為等腰直角三角形，，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，連接AC，MD，由，且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，所以，又因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，又平面，故；（2）由（1）可知四邊形為菱形，，因此為正三角形，因?yàn)?/span>，，，，所以AB，AE，AC兩兩垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線DE與平面BEM所成的角為，則，故直線DE與平面BEM所成角的正弦值為.22．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：為等腰三角形.(2)若平面平面，求二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由題意可得，，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得答案； （2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法和的范圍可得答案.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，所以為等邊三角形，則，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，平面，所以，故為等腰三角形；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，，令，則，因?yàn)?/span>，所以，二面角的大小等于二面角與二面角的大小之和，因?yàn)槎娼?/span>為直角，所以二面角為鈍角，故二面角的余弦值的取值范圍為. 

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