2022-2023學(xué)年河北省邢臺(tái)市第一中學(xué)高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.2．等差數(shù)列前項(xiàng)和為， ，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化成和的形式，得到二者關(guān)系，求得，利用求得結(jié)果.【詳解】，即故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的式子；（2）化簡(jiǎn)求得數(shù)列的某一項(xiàng)；（3）結(jié)合等差數(shù)列求和公式，得到和與項(xiàng)的關(guān)系，求得結(jié)果.3．在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（    ）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.4．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得出結(jié)論．【詳解】∵，∴，故選：A5．等比數(shù)列中，，，為的前項(xiàng)和．若，則的值是（    ）A．6 B．7 C．8 D．不存在【答案】A【分析】利用基本量代換，求出公比q，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式，即可求出m.【詳解】等比數(shù)列中，，，則，則．當(dāng)時(shí)，若，則有，解得；當(dāng)時(shí)，若，則有，整理可得，無(wú)整數(shù)解．故．故選：A．6．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?/span>729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)n的值為（       ）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由，，可得，再結(jié)合等差中項(xiàng)分析得，進(jìn)而得出，由此得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴.∵，，∴，∴當(dāng)取最大值時(shí).故選：D.8．已知，是雙曲線的兩條漸近線，直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)直線平行，可設(shè)直線的方程，通過聯(lián)立得點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，從而可解不等式組得到的取值范圍.【詳解】由題意可知，，不妨記，，由且經(jīng)過的右焦點(diǎn)可得的方程為，與的方程聯(lián)立可解得，與的方程聯(lián)立得，所以，解得，.故選：B.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）. 二、多選題9．（多選）設(shè)是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，由于奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，可得，因此A正確；若，則，其正負(fù)由確定，因此B不正確；若，則，于是，其正負(fù)由確定，因此C不正確；若，則，可得，，所以，則，即，因此D正確.故選：AD.10．已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（    ）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定有最大項(xiàng)C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列D．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)【答案】BCD【分析】分別代入和計(jì)算判斷AB選項(xiàng)；再利用放縮法計(jì)算判斷C選項(xiàng)；按k的范圍分類，可判斷D；【詳解】當(dāng)時(shí)，，知A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，，所以可判斷一定有最大項(xiàng)，B正確；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，解得，則，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合B，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，故D正確；故選：BCD.11．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，進(jìn)而可以求得和；利用裂項(xiàng)相消法可得和，討論數(shù)列的單調(diào)性，即可得出的范圍.【詳解】A：由可得，所以等比數(shù)列的公比，所以.由是與的等差中項(xiàng)，可得，即，解得，所以，所以A正確；B：，所以B正確；C：，所以C不正確；D：所以數(shù)列是遞增數(shù)列，得，所以，所以D正確.故選：ABD.12．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（    ）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是. 三、填空題13．橢圓上一點(diǎn)P滿足到左焦點(diǎn)的距離為8，則的面積是________.【答案】.【分析】利用橢圓的定義求解，結(jié)合余弦定理和同角關(guān)系求得，利用面積公式可得結(jié)果.【詳解】由橢圓的定義得，，∴，，∴，則.故答案為：.14．在等比數(shù)列中，若，，則______．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算即可求得答案.【詳解】由題意可得， ，故答案為：15．直線被圓O；截得的弦長(zhǎng)最短，則實(shí)數(shù)m=___________.【答案】1【分析】求出直線MN過定點(diǎn)A（1,1），進(jìn)而判斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為-1計(jì)算即可.【詳解】直線MN的方程可化為，由，得，所以直線MN過定點(diǎn)A（1，1），因?yàn)?/span>，即點(diǎn)A在圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，由，得，∴，故答案為：1.16．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【分析】因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題17．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和，.時(shí)，，化為：，時(shí)，，解得.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2..（2）.因?yàn)?/span>，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，所以.18．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)?/span>底面，且底面，所以．又因?yàn)?/span>，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?/span>，所以．所以，于是．所以．所以． [方法三]：幾何法+三角形面積法   如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法  如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.20．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)記，求.【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）由可得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明結(jié)論成立，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】（1）證明：，，，則，即，解得，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.（2）解：，所以，.21．已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點(diǎn)．【答案】(1)y2＝4x(2)證明見解析 【分析】(1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過定點(diǎn)(﹣1，0)．22．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)任意，都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求；②若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）由遞推公式，可得時(shí)，，兩式相減，進(jìn)而可得結(jié)果.（2）①,用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果.②由函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，取最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?/span>，所以.（2）因?yàn)?/span>，令，，所以.①所以.②因?yàn)?/span>在上是遞減函數(shù)，所以在上是遞增的，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.所以原不等式恒成立可得 

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