注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第二節(jié).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A. 10B. 13C. 37D. 118
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>所以，
所以.
故選：.
2. 直線與直線平行，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由兩直線平行可知，
即，
此時(shí)兩直線方程分別為，，
滿足兩直線平行，綜上所述，
故選：A.
3. 拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
所以，解得，
故，解得或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
故選：B.
4. 在三棱臺中，，為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
故選：.
5. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)到直線的距離為，且點(diǎn)到直線的距離為，則滿足條件的直線共有（ ）
A. 條B. 條C. 條D. 條
【答案】D
【解析】與原點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即；
與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，
即；
因?yàn)閳A心距，
所以圓與圓外離，這兩圓共有條公切線，
所以適合條件的直線共有條，
故選：D.
6. 已知點(diǎn)，，，，則三棱錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易得，，，，
則，
所以的面積，
設(shè)平面的法向量為，則，
可取，
所以點(diǎn)到平面的距離，
則三棱錐的體積是.故選：.
7. 如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為邊作等邊三角形,的兩邊,分別交該橢圓于兩點(diǎn).若，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】連接，則，
得
，
由，得，
故該橢圓的離心率為.
故選：D.
8. 已知點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，直線與互相垂直，
當(dāng)時(shí)，，直線與互相垂直，
且直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以.
設(shè)，則，即，
則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓（挖去與）上，
所以的最大值為，
最小值為.
故的取值范圍是，
故選：C
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則下列命題是真命題的是（ ）
A. 是直線的一個(gè)方向向量
B. 若平面的一個(gè)法向量是，則
C. 若平面的一個(gè)法向量是，且，則
D. 若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，即?br>又，所以，C選項(xiàng)正確；
若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?br>所以，
即，
則，，，四點(diǎn)共面，D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
10. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（，）是雙曲線上的點(diǎn)，直線，的傾斜角分別為，，則（ ）
A. 雙曲線的實(shí)軸長為16
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 的最小值為3
D. 當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為16
【答案】BCD
【解析】由雙曲線方程知，.
對于選項(xiàng)A，易得雙曲線實(shí)軸長為，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B，.由題意知，，
又由，得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，故B正確；
對于選項(xiàng)C，D，由圖形得，則,
又同號，所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號成立，
此時(shí)的面積為，故C，D正確.
故選：BCD
11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（，且）.若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列
B. 數(shù)列中的最小項(xiàng)為
C.
D. 若，，則
【答案】ACD
【解析】對A，由，得，
則，即，
即為，且，
又，滿足上式，
則，，，，
等式左右分別相乘可得，即，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差中項(xiàng)，A選項(xiàng)正確；
對B，，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
又，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，
即數(shù)列的最小項(xiàng)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對C，因?yàn)閍n2an+1=12n>1n+1+n=n+1-n，
所以a12a1+1+a22a2+1+?+a82a8+1>2-1+?+9-8=2，C選項(xiàng)正確；
對D，因?yàn)?br>=14n+34n+12n+1>0，
所以數(shù)列，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
則，得，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______，準(zhǔn)線方程為______.
【答案】；
【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
故答案為：；.
13. “物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”此即著名的“孫子問題”，最早載于《孫子算經(jīng)》，研究的是整除與同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將到這個(gè)數(shù)中，被除余且被除余的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有__________項(xiàng).
【答案】
【解析】由題意可知，既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，
即，所以，
令，即，解得，
因?yàn)?，所以?br>故該數(shù)列共有項(xiàng)，
故答案為：.
14. 在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若與底面所成角的正弦值為，則的最大值是______.
【答案】
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則A0,0,0，，，，
所以，，，
，，
則.
由已知可得是平面的一個(gè)法向量.
，
平方得：，整理得：.
因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立
令，則不等式可轉(zhuǎn)化為，
解得或（舍去），
則，
故的最大值為.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是，的等差中項(xiàng)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由是，的等差中項(xiàng)，得，
即，解得，
由，得，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）得，，
所以.
16. 如圖，在直三棱柱中，為線段的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的大小.
解：（1）由直三棱柱性質(zhì)以及可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又可得
則,
所以，
可得，即；
所以，又平面，
可得平面
（2）易知，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，解得，
即；
由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，
所以，又，
可得.
所以平面與平面夾角的大小為.
17. 已知圓的圓心在直線上,直線.
（1）求的值；
（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）過（2）中的點(diǎn)作圓的切線，求直線的一般式方程.
解：（1）由已知圓，
則圓心，
又圓心在直線上，
即，解得；
（2）由（1）得圓，
即，
即，半徑，
設(shè)，
則中點(diǎn)為，且，
所以由對稱可知，
解得，
即，
所以圓；
（3）根據(jù)題意可得直線的斜率存在，
則可設(shè)直線的方程為，
即，
則，
解得或，
故直線的方程為或，
即一般式方程為或.
18. 已知橢圓的焦距為4,點(diǎn)在上，直線與交于，兩點(diǎn).
（1）求的方程.
（2）若，求的最大值.
（3）若點(diǎn)與重合，過作斜率與互為相反數(shù)的直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
解：（1）依題意可得
解得
故的方程為.
（2）依題意可得直線的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立可得，
則，，，，
由弦長公式可得，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.
（3）根據(jù)題意可得直線的方程為，設(shè)，
由得，
則，得，，
設(shè)直線的方程為，.
由得，
則，
得，，
直線的斜率為，
故直線的斜率是定值，且定值為.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，利用公式，可得到點(diǎn)（到原點(diǎn)的距離不變）.現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)的距離不變）得到雙曲線.
（1）求雙曲線的方程.
（2）若點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作斜率為的直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).
（3）過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率不為0的直線，與雙曲線的兩支交于，兩點(diǎn).試問是否存在定直線，與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該定直線；若不存在，請說明理由.
解：（1）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，
則，
即，
得，
則，
故所求雙曲線的方程為；
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
根據(jù)題意可得，
兩式作差，可得，
因?yàn)?，，所以，得?br>經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3；
（3）根據(jù)題意易得直線的斜率存在，且不為，
設(shè)直線的方程為，其中或，
因?yàn)楹愠闪?，所以為的角平分線，
設(shè)，，假設(shè)存，
由，得，
，，，
因?yàn)?，所以?br>即，，
即，因?yàn)?，整理可得，即?br>所以存在定直線，使得恒成立.

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