專題25 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運動-2025高考物理模型與方法熱點題型歸類訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4541" 題型一帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運動 PAGEREF _Tc4541 1
\l "_Tc3411" 類型1 帶電粒子在直線邊界磁場中運動 PAGEREF _Tc3411 3
\l "_Tc7596" 類型2 帶電粒子在圓形邊界磁場中運動 PAGEREF _Tc7596 10
\l "_Tc5251" 類型3 帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動 PAGEREF _Tc5251 16
\l "_Tc25804" 類型4 帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場 PAGEREF _Tc25804 24
\l "_Tc4147" 題型二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界問題 PAGEREF _Tc4147 36
\l "_Tc18724" 類型1 帶電粒子在磁場中運動的臨界問題 PAGEREF _Tc18724 37
\l "_Tc32015" 類型2 帶電粒子在磁場中運動的極值問題 PAGEREF _Tc32015 46
\l "_Tc21641" 題型三帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運動的多解問題 PAGEREF _Tc21641 53
題型一帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運動
一、粒子軌跡圓心的確定，半徑、運動時間的計算方法
1．圓心的確定方法
(1)若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，分別確定兩點處洛倫茲力F的方向，其交點即為圓心，如圖甲．
(2)若已知粒子運動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點即為圓心，如圖乙．
(3)若已知粒子軌跡上某點速度方向，又能根據(jù)r＝eq \f(mv,qB)計算出軌跡半徑r，則在該點沿洛倫茲力方向距離為r的位置為圓心，如圖丙．
2．半徑的計算方法
方法一由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二連半徑構(gòu)出三角形，由數(shù)學(xué)方法解三角形或勾股定理求得
例如：如圖甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的幾何關(guān)系
①粒子的偏轉(zhuǎn)角等于半徑掃過的圓心角，如圖乙，φ＝α
②弦切角等于弦所對應(yīng)圓心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．時間的計算方法
方法一利用圓心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二利用弧長、線速度求得t＝eq \f(l,v)
二、帶電粒子在有界磁場中的運動
1．直線邊界(進(jìn)出磁場具有對稱性，如圖所示)
2．平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)
3．圓形邊界(進(jìn)出磁場具有對稱性)
(1)沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示．
(2)不沿徑向射入時，如圖乙所示．
射入時粒子速度方向與半徑的夾角為θ，射出磁場時速度方向與半徑的夾角也為θ.

類型1 帶電粒子在直線邊界磁場中運動
【例1】一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，，，一束粒子，在紙面內(nèi)從a點垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為3m，電荷量為q。以下正確的為（）
A．粒子能到達(dá)de中點
B．從bc邊界出的粒子運動時間相等
C．在磁場中運動時間最長的粒子，其運動率為
D．粒子在磁場中運動的最長時間為
【答案】C
【詳解】A．粒子在磁場中做勻圓周運動軌跡圖如圖所示，由圖可知，粒子要在區(qū)域運動，在經(jīng)點時軌道半徑最大，此時粒子沒能到達(dá)de中點，因此粒子不能到達(dá)de中點，A錯誤；
BC．設(shè)粒子的運動軌跡過bcde上的某一點g，O為粒子做圓周運動軌跡的圓心，當(dāng)最大時，粒子運動軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運動時間最長，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)c點與g點重合時，粒子運動時間最長，即從bc邊界出的粒子運動時間不相等。如圖所示，設(shè)運動半徑為R，由幾何關(guān)系則有
解得
已知粒子的質(zhì)量為3m，電荷量為q，其在磁場中做勻速圓周運動，有
解得
B錯誤，C正確；
D．粒子在磁場中運動的周期為
在中，設(shè)為，為θ，由幾何關(guān)系可得
可得
則粒子在磁場中運動的最長時間為
D錯誤。
故選C。
【例2】如圖所示，在xOy平面的的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，速率相等的大量質(zhì)子從原點O朝各個方向均勻發(fā)射到第一象限內(nèi)，發(fā)現(xiàn)從磁場上邊界射出的質(zhì)子數(shù)占總數(shù)的，不計質(zhì)子間相互作用及重力，則質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得
可知速率相等的大量質(zhì)子的運動半徑也相等，可知從原點均勻發(fā)射到第一象限內(nèi)，從磁場上邊界射出的質(zhì)子數(shù)占總數(shù)的，則從磁場上邊界射出的電子的發(fā)射角度范圍有
則根據(jù)質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)軌跡和幾何關(guān)系可得，能從上邊界射出的電子的發(fā)射角度在
設(shè)軌跡半徑為 R ，則由幾何關(guān)系知
代入得
故選C。
【例3】．如圖所示，在直線邊界的上方存在垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，點在上。現(xiàn)從點垂直在紙面內(nèi)向上發(fā)射速度大小不同、質(zhì)量均為、電量均為的粒子，已知，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子在磁場中運動的最長時間為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)粒子由N點飛出時，運動的時間最長，運動軌跡如圖所示
設(shè)粒子做圓周運動的半徑為R，由幾何關(guān)系有
解得
由
聯(lián)立解得
則
由牛頓第二定律有
解得
由幾何關(guān)系可知，粒子運動軌跡的長度為
則粒子的運動時間為
故選C。
【例4】如圖所示，直線MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電子1從磁場邊界上的a點垂直MN和磁場方向射入磁場，經(jīng)t1時間從b點離開磁場．之后電子2也由a點沿圖示方向以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時間從a、b連線的中點c離開磁場，則eq \f(t1,t2)為( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案】 A
【解析】電子1、2在磁場中都做勻速圓周運動，根據(jù)題意畫出兩電子的運動軌跡，如圖所示，
電子1垂直邊界射進(jìn)磁場，從b點離開，則運動了半個圓周，ab即為直徑，c點為圓心，電子2以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時間從a、b連線的中點c離開磁場，根據(jù)半徑r＝eq \f(mv,Bq)可知，電子1和2的半徑相等，根據(jù)幾何關(guān)系可知，△aOc為等邊三角形，則電子2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所以電子1運動的時間t1＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)，電子2運動的時間t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3Bq)，所以eq \f(t1,t2)＝3，故A正確，B、C、D錯誤．
【例5】如圖，一個質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，不計重力，從x軸上的P點以速度v射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。已知v與x軸成45°角。OP=a。則以下說法正確的是（）

A．帶電粒子運動軌跡的半徑為a
B．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
C．OQ的長度為
D．粒子在第一象限內(nèi)運動的時間為
【答案】BD
【詳解】A．帶電粒子做勻速圓周運動的圓心和軌跡如下圖

設(shè)帶電粒子運動軌跡的半徑為R，根據(jù)幾何知識可得
解得
故A正確；
B．根據(jù)牛頓第二定律可得
解得
故B正確；
C．根據(jù)幾何知識可得
故
故C錯誤；
D．帶電粒子做勻速圓周運動的周期為
由幾何知識可得
則
故D正確。
故選BD。
【例6】如圖所示，兩個速度大小相同、比荷不同的帶電粒子1、2，沿水平方向從同一點垂直射入勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直紙面向里。當(dāng)它們從磁場下邊界飛出時相對入射方向的偏轉(zhuǎn)角分別為90°、60°，則它們在磁場中運動的（）
A．軌跡半徑之比為2∶1B．比荷之比為2∶1
C．時間之比為3∶2D．周期之比為2∶1
【答案】B
【詳解】A．粒子1和粒子2的圓心O1和O2，如圖所示
設(shè)粒子1的半徑
R1=d
對于粒子2，由幾何關(guān)系可得
解得
故軌跡半徑之比為1∶2，故A錯誤；
B．由牛頓第二定律可得
化簡可得
可知，比荷之比為2∶1，故B正確；
D．周期
得
故兩粒子周期之比為1∶2，故D錯誤；
C．速度的偏轉(zhuǎn)角即圓心角，故粒子1的運動時間
粒子2的運動時間
故它們在磁場中運動的時間之比為3∶4，故C錯誤。
故選B。
類型2 帶電粒子在圓形邊界磁場中運動
【例1】如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從圓周上的點沿半徑方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為，運動軌跡為；若粒子射入磁場時的速度大小為，運動軌跡為。不計粒子的重力，下列判斷正確的是（）
A．粒子帶負(fù)電
B．速度小于速度
C．粒子以速度射入時，在磁場中運動時間較長
D．粒子以速度射入時，在磁場中受到的洛倫茲力較大
【答案】BC
【詳解】A．根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，故A錯誤；
B．根據(jù)牛頓第二定律有
解得
根據(jù)圖中軌跡可知，，則有
故B正確；
C．粒子在磁場中的運動周期為
粒子在磁場中的運動時間為
由圖可知運動軌跡為對應(yīng)的圓心角大于運動軌跡為對應(yīng)的圓心角，故粒子以速度射入時，在磁場中運動時間較長，故C正確；
D．粒子在磁場中受到的洛倫茲力大小為
，可知，故粒子以速度射入時，在磁場中受到的洛倫茲力較小，故D錯誤。
故選BC。
【例2】．如圖所示，在紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域中充滿了垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一點電荷從圖中A點以速度v0沿和直徑成角的方向垂直磁場射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰能從點射出。已知為區(qū)域磁場的一條直徑，不計電荷的重力，下列說法正確的是（）

A．該點電荷帶負(fù)電
B．該點電荷在磁場中做圓周運動的半徑為R
C．該點電荷的比荷為
D．該點電荷在磁場中的運動時間為
【答案】AD
【詳解】A．由題意可知，點電荷應(yīng)向下偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知，該點電荷帶負(fù)電，故A正確；
B．由題意可知，點電荷在磁場中做勻速圓周運動軌跡對應(yīng)的弦長為2R，設(shè)點電荷做勻速圓周運動的半徑為r，由弦長公式可得
解得
故B錯誤；
C．點電荷做勻速圓周運動所受洛倫茲力提供向心力，則有
則比荷
故C錯誤；
D．由題意可知，點電荷做勻速圓周運動的圓心角
則該點電荷在磁場中的運動時間為
故D正確。
故選AD。
【例3】．如圖所示，在平面中的圓形區(qū)域內(nèi)有一個垂直紙面向里勻強(qiáng)磁場，其邊界過原點O和y軸上的點a（0，L）。一電子從a點以初速度v平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的b點射出磁場，此時速度方向與x軸正方向的夾角為。電子在磁場中運動的時間為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)電子的軌跡半徑為R，電子的運動軌跡如圖所示
根據(jù)幾何關(guān)系可得
解得
電子在磁場中運動的時間為
故選B。
【例4】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度B，一比荷為的帶正電粒子，從圓形磁場邊界上的A點以的速度垂直直徑MN射入磁場，恰好從N點射出，且，下列選項正確的是（）

A．粒子在磁場中運動的時間為
B．粒子從N點射出方向豎直向下
C．若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點以相同的速度入射，一定從N點射出
D．若要實現(xiàn)帶電粒子從A點入射，從N點出射，則所加圓形磁場的最小面積為
【答案】C
【詳解】A．粒子恰好從N點射出，軌跡如下圖所示，運動周期為
四邊形AONP的圓心角為
粒子在磁場中運動的時間為
故A錯誤；
B．粒子在磁場中速度偏轉(zhuǎn)，從N點射出方向是與豎直方向呈，故B錯誤；
C．若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點以相同的速度入射，軌跡如下圖所示，四邊形SCON為菱形，由幾何知識可知一定從N點射出，故C正確；
D．若要實現(xiàn)帶電粒子從A點入射，從N點出射，則所加圓形磁場以AN為直徑時面積最小，最小面積為
故D錯誤。
故選C。
【例5】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場（未畫出），一質(zhì)量為m、帶電荷量為的微粒從圓上的N點以一定的速度沿圖中虛線方向射入磁場，從圓上的M點離開磁場時的速度方向與虛線垂直。已知圓心O到虛線的距離為，不計微粒所受的重力，下列說法正確的是（）
A．微粒在磁場區(qū)城內(nèi)運動的時間為
B．微粒射入磁場時的速度大小為
C．微粒在磁場中運動的軌跡半徑為
D．微粒到圓心O的最小距離為
【答案】B
【詳解】A．設(shè)微粒的速度大小為v，微粒在勻強(qiáng)磁場中運動的軌道半徑為r，則有
，
解得
由于偏轉(zhuǎn)角為，則軌跡對應(yīng)的圓心角也為，則有
解得
故A錯誤；
C．作出粒子的運動軌跡如圖所示
A點為微粒運動軌跡的圓心，設(shè)圓心O到MA的距離為x，到MC的距離為y，則有
，，
解得
故C錯誤；
B．根據(jù)
結(jié)合上述解得
故B正確；
D．微粒到圓心O的最小距離
結(jié)合上述解得
故D錯誤。
故選B。
類型3 帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動
【例1】2023年4月，我國有“人造太陽”之稱的托卡馬克核聚變實驗裝罫創(chuàng)造了新的世界紀(jì)錄。其中磁約束的簡化原理如圖：在半徑為和的真空同軸圓柱面之間，加有與軸線平行的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，。假設(shè)氘核沿內(nèi)環(huán)切線向左進(jìn)入磁場，氚核沿內(nèi)環(huán)切線向右進(jìn)入磁場，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計重力及二者之間的相互作用，則和的動量之比為（）
A．1∶2B．2∶3C．1∶3D．3∶1
【答案】C
【詳解】根據(jù)左手定則，作出粒子的運動軌跡如圖所示
根據(jù)幾何關(guān)系，氘核的半徑為
根據(jù)幾何關(guān)系，氚核的半徑為
根據(jù)洛倫茲力提供向心力
可得
動量為
和的動量之比為
故選C。
【例2】真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【答案】 C
【解析】為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動軌跡的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有eq \r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq \f(4,3)a，電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律有evB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(3mv,4ae)，選項C正確。
【例3】2023年7月5日，中核集團(tuán)正式簽約承建全球首個全高溫超導(dǎo)核聚變實驗裝置，彰顯了我國在此領(lǐng)域技術(shù)水平居國際前列。在可控核聚變中用磁場來約束帶電粒子的運動，叫磁約束。如圖所示為核聚變中磁約束裝置的簡化圖，圓環(huán)狀勻強(qiáng)磁場區(qū)域的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于環(huán)面，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，具有各個方向的速度。下列說法正確的是（）
A．要使所有帶電粒子約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi)，則帶電粒子的最大速度為
B．從內(nèi)環(huán)邊緣相切射出的所有帶電粒子都約束在磁場區(qū)域內(nèi)運動的最大速度為
C．要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運動的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，
D．要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運動的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，
【答案】AD
【詳解】AB．帶電粒子的速度越大，在磁場中圓周運動的半徑就越大，要使帶電粒子約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi)，如下圖
可得帶電粒子圓周運動的最大半徑為
根據(jù)
可得帶電粒子的最大速度為
該速度同時也是從內(nèi)環(huán)邊緣相切射出的帶電粒子仍在磁場區(qū)域運動的最大速度。A正確，B錯誤；
CD．要使以大小為v的速度由圓心沿半徑方向運動的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，臨界狀態(tài)如下圖所示
設(shè)臨界狀態(tài)圓周運動半徑為，由幾何關(guān)系可得
根據(jù)AB選項分析可知磁感應(yīng)強(qiáng)度越大則半徑越小，有
方程聯(lián)立可得
要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運動的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域
C錯誤，D正確。
故選AD。
【例4】2023年1月7日，中科院聚變大科學(xué)團(tuán)隊利用有“人造太陽”之稱的全超導(dǎo)托卡馬克大科學(xué)裝置（EAST），發(fā)現(xiàn)并證明了一種新的高能量約束模式，對國際熱核聚變實驗堆和未來聚變堆運行具有重要意義。其基本原理是由磁場約束帶電粒子運動，使之束縛在某個區(qū)域內(nèi)。如圖所示，環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為，外半徑為，被束縛的帶電粒子的比荷為k，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度，速度大小為v。中空區(qū)域中的帶電粒子都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在半徑為的區(qū)域內(nèi)，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【詳解】由題意可知，粒子的比荷為k，要使所有的粒子都不能穿出磁場，與內(nèi)圓相切的方向進(jìn)入磁場的粒子在磁場運動的軌跡剛好與外圓相切，運動軌跡如圖所示
由幾何知識可知，粒子最大軌道半徑
粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
解得
要使粒子不離開磁場
由于
故選CD。
【例5】．如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)（含邊界）有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q（）的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進(jìn)入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【詳解】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動
可得
粒子僅在磁場中運動，則
或
代入可得
或
故選ACD。
【例6】2020年12月4日，新一代“人造太陽”裝置——中國環(huán)流器二號M裝置（HL-2M）在成都建成并實現(xiàn)首次放電，該裝置通過磁場將粒子約束在小范圍內(nèi)實現(xiàn)核聚變。其簡化模型如圖所示，核聚變主要原料氕核和氘核均從圓心O沿半徑方向射出，被約束在半徑為和兩個同心圓之間的環(huán)形區(qū)域，該區(qū)域存在與環(huán)面垂直的勻強(qiáng)磁場。則下列說法正確的是（）
A．若有粒子從該約束裝置中飛出，則應(yīng)減弱磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度
B．若兩種粒子速率相同，氕核不會從該約束裝置中飛出，則氘核也一定不會從該約束裝置中飛出
C．若兩種粒子在磁場中做圓周運動的半徑相同，則兩種粒子具有相同大小的動量
D．若氘核在磁場中運動的半徑，則氘核會從該約束裝置中飛出
【答案】C
【詳解】A．粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有

解得

如果減弱磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子軌道半徑變大，更容易飛出去，A錯誤；
B．由上面分析得
氕核與氘核速率相同，所帶電荷量相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度也相同，氕核不會從該約束裝置中飛出，但氘核質(zhì)量更大，所以軌道半徑更大，氘核有可能飛出該裝置，B錯誤；
C．由上面分析得
氕核與氘核所帶電荷量相同，軌道半徑相同，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度也相同，則兩種粒子具有相同大小的動量，C正確；
D．如圖所示
設(shè)氘核軌道半徑為r，當(dāng)軌跡和外部大圓相切時是氘核飛出該裝置的臨界狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系有

解得

若氘核在磁場中運動的半徑，則氘核不會從該約束裝置中飛出，D錯誤。
故選C。
類型4 帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場
【例1】如圖所示，邊長為L的等邊三角形abc區(qū)域外存在著垂直于abc所在平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。P、Q均為ab邊的三等分點。時刻，磁場方向正好垂直于abc所在平面向里，帶負(fù)電的粒子在abc平面內(nèi)以初速度v0從a點垂直于ac邊射出，并從P點第一次進(jìn)入三角形abc區(qū)域。磁感應(yīng)強(qiáng)度大小始終為B。不計帶電粒子重力，求：
（1）粒子的荷質(zhì)比；
（2）粒子第一次到達(dá)c點的時刻。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）根據(jù)牛頓第二定律得
根據(jù)幾何關(guān)系可得
聯(lián)立解得
（2）粒子的運動軌跡如圖所示
粒子在磁場中的運動時間為
粒子做圓周運動的周期為
在磁場外運動的時間為
粒子第一次到達(dá)c點的時刻為
聯(lián)立解得
【例2】如圖，邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外．a(chǎn)b邊中點有一電子發(fā)射源O，可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子．已知電子的比荷為k.則從a、d兩點射出的電子的速度大小分別為( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【答案】 B
【解析】電子從a點射出時，其運動軌跡如圖線①，軌跡半徑為ra＝eq \f(l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evaB＝meq \f(va2,ra)，又eq \f(e,m)＝k，解得va＝eq \f(kBl,4)；電子從d點射出時，運動軌跡如圖線②，由幾何關(guān)系有rd2＝l2＋(rd－eq \f(l,2))2，解得：rd＝eq \f(5l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evdB＝meq \f(vd2,rd)，又eq \f(e,m)＝k，解得vd＝eq \f(5kBl,4)，選項B正確．
【例3】如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），AC邊長為l，為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點開始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場中運動的時間為，在磁場中運動時間最長的粒子所用時間為，則以下說法中正確的是（）

A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．粒子運動的軌道半徑為
C．粒子射入磁場的速度大小為D．粒子在磁場中掃過的面積為
【答案】AD
【詳解】A．帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，垂直邊射出的粒子在磁場中運動的時間是，由
可得
解得
故A正確；
B．設(shè)運動時間最長的粒子在磁場中的運動軌跡所對的圓心角為，則有
可得
畫出該粒子的運動軌跡如圖所示

設(shè)軌道半徑為，由幾何知識得
可得
故B錯誤；
C．根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得
則粒子射入磁場的速度大小為
故C錯誤；
D．射入的粒子恰好不從邊射出，粒子在磁場中掃過的面積為
故D正確。
故選AD。
【例4】．如圖所示，邊長為L的正方形內(nèi)表面涂有熒光材料，粒子打在表面會被吸收并發(fā)出熒光。正方形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直該平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，粒子源從正方形邊的中點P沿垂直磁場方向持續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的某種粒子，發(fā)射速度方向斜向上，速度大小與發(fā)射角的關(guān)系為，為發(fā)射速度方向與水平方向的夾角，，其中的粒子恰好從邊中點射出。不計粒子間的相互作用力和粒子的重力，下列說法正確的是（）

A．粒子從P點運動至與邊相切所需的時間為
B．粒子在邊發(fā)出熒光的總長度為L
C．打在B點的粒子軌道半徑為
D．粒子在磁場中運動的最長時間為
【答案】AC
【詳解】A．當(dāng)?shù)牧Ｗ铀俣葀=v0，粒子恰好從AB邊中點射出，則
當(dāng)粒子從P點運動至與DC邊相切時，則軌道半徑
即
可知所有粒子的軌跡圓心都在AB邊上；當(dāng)軌跡與DC相切時
由幾何關(guān)系
可得
r=L
α=60°
則粒子運動的時間
選項A正確；

B．當(dāng)粒子軌道與DC邊相切時，粒子打到BC邊上的位置為上邊緣，可知粒子在邊發(fā)出熒光的總長度小于L，選項B錯誤；

C．打在B點的粒子軌跡如圖，此時軌跡與B點相切，設(shè)，則
其中
由幾何關(guān)系
解得
解得軌道半徑為
選項C正確；
D．當(dāng)軌跡圓與B點相切時，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度大于90°，此時運動時間
選項D錯誤。
故選AC。
【例5】如圖所示的正方形區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從ad邊中點e沿ec方向射入磁場。當(dāng)射入速度大小為v時，恰好從bc邊中點f飛出磁場。不計粒子所受重力。下列說法正確的是（）
A．當(dāng)粒子速度大小為時，粒子離開磁場時的速度方向與磁場邊界垂直
B．當(dāng)粒子速度大小為時，粒子在磁場區(qū)域運動過程中速度方向改變了90°
C．粒子兩次射入速度大小分別為，在磁場中運動時間分別為，若，則有
D．若粒子射入速度大小合適，可能從ab邊界上任一點飛出磁場
【答案】ABC
【詳解】A．由左手定則判斷，粒子帶負(fù)電，做勻速圓周運動
周期
設(shè)正方形邊長為L，粒子射入速度方向與ef時夾角為θ，有
當(dāng)粒子射入速度大小為v時，軌跡對應(yīng)的圓心角為，運動時間
由幾何關(guān)系可得
當(dāng)粒子速度大小為時，軌跡半徑
粒子的軌跡圓心恰好位于cb邊的延長線上，如圖1所示，粒子離開磁場時速度方向應(yīng)與磁場邊界垂直，故A正確；
B．設(shè)粒子速度大小為時，在磁場區(qū)域運動過程中速度方向改變了90°，軌跡半徑
如圖2所示。由幾何關(guān)系可得
解得
即
故B正確；
C．粒子入射速度變小，軌跡半徑變小，粒子兩次射入速度大小分別為，只要兩次不都是從ea邊射出，時，軌跡半徑
軌跡對應(yīng)的圓心角
則有
若兩次都是從ea邊射出，時，軌跡半徑
軌跡對應(yīng)的圓心角
則有
故C正確；
D．當(dāng)入射速度使粒子運動軌跡恰好與ab邊界相切時，設(shè)切點為g，速度再小時，粒子就從ea邊射出，所以粒子不可能在ag間飛出磁場，故D錯誤。
故選ABC。
【例6】．如圖所示，正三角形ABC內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中末畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，三角形的邊長為L，B點有一離子源，能發(fā)出速率相同、方向不同的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為，粒子的速率，粒子的重力忽略不計，不考慮粒子之間的相互作用，（已知）。下列說法正確的是（）
A．粒子在磁場中運動的最長時間為
B．與BC邊夾角為的粒子從BC邊射出，且射出的速度方向與BC邊夾角仍為
C．從BC邊射出的粒子軌跡可能與AC邊相切
D．當(dāng)粒子射入磁場速度方向與BC邊夾角為時，從AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間最短
【答案】AD
【詳解】ABC．洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，所以有
所以粒子做圓周運動的半徑為
又因為粒子的速率
解得
所以當(dāng)粒子射入磁場的速度方向與BC邊夾角為時，粒子恰好從C點射出，速度方向與BC邊夾角為，則粒子的速度方向與BC邊界夾角在內(nèi)均從BC邊界射出磁場，從C點射出磁場的粒子在磁場中運動時間最長，最長時間為
而
解得
故A正確，BC錯誤；
D．當(dāng)粒子從AC邊界的中點O射出時，BO為到AC邊的最短距離，因此當(dāng)BO為軌跡上的弦長時所對應(yīng)的圓心角最小，即對應(yīng)的粒子在磁場中運動的時間最短，設(shè)粒子射入磁場時速度方向與BO的夾角為，則根據(jù)幾何關(guān)系有
，
解得
所以
此時粒子射入磁場時速度方向與BC邊界夾角為，故D正確。
故選AD。
【例7】．在矩形區(qū)域內(nèi)存在一個垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，邊長為，邊長為。帶正電的粒子從O點沿方向以不同速率射入，已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，粒子所受重力及粒子間的相互作用均忽略不計。取，下列說法正確的是（）
A．粒子在磁場中運動的最長時間為B．粒子在磁場中運動的最長時間為
C．垂直邊界射出時，粒子的速度大小為D．垂直邊界射出時，粒子的速度大小為
【答案】AC
【詳解】AB．由幾何關(guān)系有
解得
設(shè)粒子做圓周運動的半徑為R，由
可得
可知粒子在磁場中做圓周運動的周期和速度無關(guān)。由幾何關(guān)系可知粒子偏轉(zhuǎn)的最大圓心角
粒子運動的最長時間
故A正確，B錯誤；
CD．粒子垂直于邊射出時，由幾何關(guān)系有
解得
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有
解得
故C正確，D錯誤。
故選AC。
題型二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界問題
解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解．
1．臨界條件
帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過切點的半徑(直徑)垂直．
2．幾種常見的求極值情況(速度一定時)
(1)最長時間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切．
圓形邊界：公共弦為小圓直徑時，出現(xiàn)極值，即：
當(dāng)運動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，以磁場直徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運動時間最長．
(2)最短時間：弧長最短(弦長最短)，入射點確定，入射點和出射點連線與邊界垂直．
如圖，P為入射點，M為出射點．此時在磁場中運動時最短．
類型1 帶電粒子在磁場中運動的臨界問題
【例1】如圖所示，在空間中存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場，其邊界AB、CD相距為d，在左邊界的Q點處有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子沿與左邊界成30°的方向射入磁場，粒子重力不計。求：（本題要求3個小問都要在答題卡上畫出帶電粒子在磁場區(qū)域內(nèi)運動的軌跡）
（1）帶電粒子能從AB邊界飛出的最大速度；
（2）若帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，粒子在磁場中運動的速度和時間各是多少？
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的倍，并可以從Q點沿紙面各個方向射入磁場，則粒子能打到CD邊界的距離大??？
【答案】（1）；（2），；（3）
【詳解】（1）設(shè)粒子軌跡半徑為，臨界情況如圖甲所示
由幾何條件知
粒子做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力
解得最大速度為
（2）帶電粒子能從右邊界垂直射出，作出軌跡如圖乙所示
由幾何關(guān)系知
粒子做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力
解得
粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時間為
粒子做圓周運動，周期
解得
（3）當(dāng)粒子速度是（2）中的倍時，根據(jù)
結(jié)合上述解得
由幾何關(guān)系可得粒子能打到CD邊界的范圍如圖丙所示
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子打到CD邊界的距離
解得
【例2】如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，垂直于x軸的虛線與y軸之間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場含邊界，磁場方向與xOy平面垂直。一質(zhì)子束從坐標(biāo)原點射入磁場，所有質(zhì)子射入磁場的初速度大小不同但初速度方向都與x軸正方向成角向下。PQ是與x軸平行的熒光屏質(zhì)子打到熒光屏上不再反彈，P、Q兩點的坐標(biāo)分別為，。已知質(zhì)子比荷，。求：結(jié)果均可用分?jǐn)?shù)表示
（1）質(zhì)子在磁場中運動的最長時間是多少;
（2）如果讓熒光屏PQ發(fā)光長度盡可能長且質(zhì)子的運動軌跡未出磁場，質(zhì)子初速度大小的取值范圍是多少。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）質(zhì)子能打到y(tǒng)軸上時，在磁場中運動的時間最長，如圖1所示
由周期公式
又由幾何關(guān)系可知
則粒子在磁場中運動的最長時間
（2）當(dāng)質(zhì)子軌跡與PQ相切時，如圖1所示，設(shè)此時初速度為，軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系可得
又
解得
當(dāng)粒子運動軌跡與磁場邊界相切時，如圖2所示，
設(shè)此時初速度為，軌跡半徑為，由幾何關(guān)系可得
又
解得
綜上可得
【例3】空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，線段是屏與紙面的交線，長度為，其左側(cè)有一粒子源S，可沿紙面內(nèi)各個方向不斷發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速率相同的粒子；，P為垂足，如圖所示，已知，若上所有的點都能被粒子從其右側(cè)直接打中，則粒子的速率至少為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】粒子要打中的右側(cè)所有位置，最容易的方式為粒子從飛出，繞過距離最近的點，從右側(cè)打中最下端的點，粒子運動的軌跡如圖所示
為軌跡圓的弦長，為中點，，；粒子運動的半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則
解得
粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運動，洛倫茲力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知
解得粒子的最小速率為
故選C。
【例4】如圖所示，一個質(zhì)量為、帶負(fù)電荷粒子的電荷量為、不計重力的帶電粒子從軸上的點以速度沿與軸成的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，恰好垂直于軸射出第一象限。已知。
（1）求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。?br>（2）讓大量這種帶電粒子同時從軸上的點以速度沿與軸成0到的方向垂直磁場射入第一象限內(nèi)，求軸上有帶電粒子穿過的區(qū)域范圍；
（3）為了使該粒子能以速度垂直于軸射出，實際上只需在第一象限適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于平面、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個矩形區(qū)域內(nèi)，試求這矩形磁場區(qū)域的最小面積。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）粒子運動軌跡半徑設(shè)為，如圖所示
根據(jù)幾何關(guān)系可得
解得
由洛倫茲力提供向心力可得
解得
（2）粒子從軸上之間射出，設(shè)點縱坐標(biāo)為為軌跡圓的直徑，如圖所示，由幾何關(guān)系得
解得
可知軸上有帶電粒子穿過的區(qū)域范圍為
（3）為了使該粒子能以速度垂直于軸射出，實際上只需在第一象限適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于平面、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個矩形區(qū)域內(nèi)，粒子在此磁場中運動時，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得
解得
如圖所示，由幾何關(guān)系可得矩形磁場區(qū)域的最小面積為
解得
【例5】如圖所示，真空區(qū)域有左右寬度為l、上下足夠長的勻強(qiáng)磁場，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場方向垂直于紙面向里，MN、PQ是磁場的左右豎直邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子（不計粒子重力），在豎直平面內(nèi)，沿著與MN夾角為的方向射入磁場中。則下列說法正確的是（）

A．若帶電粒子帶負(fù)電，入射速度只要大于，粒子就會從PQ射出
B．粒子在磁場中運動的最長時間可能是
C．MN邊界上，從入射點下方射出的所有粒子，在磁場中運動時間均為
D．若在該空間再加一個勻強(qiáng)電場，粒子有可能做勻加速直線運動
【答案】BC
【詳解】A．若帶電粒子帶負(fù)電，粒子恰好從PQ射出，軌跡如圖

由洛倫茲力提供向心力
由幾何關(guān)系
解得粒子入射速度
入射速度只要大于，粒子就會從PQ射出，A錯誤；
B．若帶電粒子帶正電，粒子在磁場中運動的最長時間對應(yīng)軌跡為

由洛倫茲力提供向心力
由幾何關(guān)系
運動時間
粒子在磁場中運動的最長時間可能是，B正確；
C．MN邊界上，從入射點下方射出的所有粒子（帶負(fù)電），在磁場中運動時間均為
C正確；
D．若在該空間再加一個勻強(qiáng)電場，帶電粒子受電場力與洛倫茲力，由于洛倫茲力垂直于速度方向，且大小為
若粒子做勻加速直線運動，則速度增加，洛倫茲力變大，合力不再與速度共線，所以若在該空間再加一個勻強(qiáng)電場，粒子不可能做勻加速直線運動，D錯誤。
故選BC。
類型2 帶電粒子在磁場中運動的極值問題
【例1】如圖所示，OACD是一長為OA=?l的矩形，其內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子從O點以速度v0垂直射入磁場，速度方向與OA的夾角為?，粒子剛好從A點射出磁場，不計粒子的重力，則（）
A．粒子一定帶正電
B．勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
C．粒子從O到A所需的時間為
D．矩形磁場的寬度最小值為
【答案】CD
【詳解】A．由題意可知，粒子進(jìn)入磁場時所受洛倫茲力斜向右下方
由左手定則可知，粒子帶負(fù)電，故A錯誤；
B．粒子運動軌跡如圖所示，由幾何知識可得
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
解得
故B錯誤；
C．由幾何知識可知，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角，粒子在磁場中做圓周運動的周期
粒子在磁場中的運動時間
C正確；
D．根據(jù)圖示，由幾何知識可知，矩形磁場的最小寬度
故D正確。
故選CD。
【例2】如圖，空間分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場。關(guān)于O點對稱的薄板MN的長度為3a，O點到MN的距離為a。O點有一粒子源，能沿紙面內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電荷量為q的正電粒子。已知水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不計粒子的重力，則被MN吸收的粒子在磁場中運動的最長時間為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】粒子在磁場中運動軌跡所對圓心角越大，在磁場中運動的時間越長，由題可知，水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子軌跡的半徑為a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如圖所示有兩種情況

打在MN上表面時，粒子運動軌跡最大的圓心角為，當(dāng)粒子打在MN下表面時，若OP為軌跡圓的弦，則軌跡所對圓心角最大，其中
故粒子運動軌跡最大的圓心角為
根據(jù)可知
粒子在磁場中運動的時間為
故粒子在磁場中運動的最長時間為
故選A。
【例3】如圖所示，空聞有半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，在距圓心O為處有一粒子源，時刻沿紙面內(nèi)的任意方向上均勻發(fā)射出速度大小相同的大量帶電粒子，粒子比荷為k，粒子在磁場中運動的半徑為，則（）
A．粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的最短時問為
B．粒子在圓形磁場區(qū)城中運動的最短時間為
C．時刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為
D．時刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為
【答案】AD
【詳解】
AB．如圖1所示，當(dāng)粒子的軌跡以AB為弦長時經(jīng)歷的時間最小，由幾何關(guān)系得圓心角為，故粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的最短時間為
故A正確，B錯誤；
CD．因粒子均勻分布于各個方向，故粒子數(shù)之比與角度成正比，如圖2所示，當(dāng)
時，由幾何關(guān)系知出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為，故C錯誤，D正確。
故選AD。
【例4】．如圖所示，豎直平面內(nèi)半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，MN是一豎直放置的收集板。三角形MON為等腰直角三角形，，從圓形磁場最高點P沿PO方向向圓形區(qū)域內(nèi)射入大量速率不同的同種粒子，粒子所帶電荷量均為q、質(zhì)量均為m且?guī)д?。忽略粒子之間的相互作用力和粒子重力，關(guān)于打在MN區(qū)域的粒子，下列說法正確的是（）
A．粒子在磁場中運動的最長時間
B．打在收集板上的粒子的最大速率
C．整個過程中位移最小的粒子速率
D．整個過程中位移最小的粒子運動的時間
【答案】AD
【詳解】A．如圖甲所示，設(shè)出射點為，粒子在磁場中運動軌跡對應(yīng)的圓心角為，根據(jù)幾何關(guān)系有
粒子射到M點時，最小，最大，粒子在磁場中運動的時間最長，由幾何關(guān)系可知
因為周期
所以
則
故A正確；
B．設(shè)粒子在磁場中運動的軌跡半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有
粒子射到N點時，打在收集板上的粒子速度最大
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
聯(lián)立解得
故B錯誤；
C．整個過程中粒子位移大小為P到直線MN上的點的距離，點到直線垂線最短，如圖乙所示，設(shè)位移最短時打在Q點，PQ⊥MN，根據(jù)幾何關(guān)系有
，，，
位移最小的粒子的速率
又
故位移最小的粒子運動的時間
故C錯誤，D正確。
故選AD。
【例5】如圖所示，直角三角形abc區(qū)域存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長為2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac邊的中點d，粒子源垂直ac邊向磁場中發(fā)射不同速率的帶正電的粒子，粒子均從bc邊界射出，已知粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，下列說法正確的是（）
A．粒子運動的速率可能為
B．粒子在磁場中運動的時間可能為
C．bc邊界上有粒子射出的區(qū)域長度最大為
D．有粒子經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積最大為
【答案】BCD
【詳解】A．根據(jù)題意可知當(dāng)粒子運動軌跡與ab邊相切時，對應(yīng)的速度最大，根據(jù)幾何知識可得半徑為
根據(jù)洛倫茲力提供向心力
解得
同理若粒子從c點射出，則速度
則粒子的速度不可能為，故A錯誤；
B．粒子在磁場中運動的周期為
當(dāng)粒子垂直bc邊射出時，粒子在磁場中運動的時間為
故B正確；
CD．根據(jù)題意可知當(dāng)粒子運動軌跡與ab邊相切時，打在cb上的點到c點的距離最大，即
所以打在bc邊界上有粒子射出的區(qū)域長度最大為，有粒子經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積最大為
故CD正確。
故選BCD。
題型三帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運動的多解問題
帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運動的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運動的多解問題．
(1)找出多解的原因．
(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．
【例1】如圖所示，以O(shè)P為分界線將直角MON分為區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B的勻強(qiáng)磁場，OP與OM間的夾角為30°。一質(zhì)量為m、帶電量為的粒子從分界線上的P點以速度v、沿與分界線OP成60°角的方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，在區(qū)域Ⅰ偏轉(zhuǎn)后直接從O點離開磁場區(qū)域，不計粒子的重力。
（1）求OP之間的距離；
（2）若粒子從P點射入的速度方向不變，大小可以改變，要使粒子仍從O點離開磁場區(qū)域，求粒子射入時速度大小的可能值。
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）根據(jù)牛頓第二定律
得
粒子運動軌跡如圖
OP長度為
（2）粒子從點離開一定是從區(qū)域Ⅰ與相切離開磁場區(qū)域，故
根據(jù)幾何關(guān)系
即
，
解得
【例2】如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)無磁場，圓形區(qū)域外存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從O點以大小為v的速度沿半徑方向射出，射出后粒子做周期性運動。不計粒子重力，則粒子運動的周期可能為（）

A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】作出粒子的部分運動軌跡如圖：

以后以同樣的運動形式，直到速度回到開始的速度則完成一個周期性運動，則粒子運動的周期
其中
當(dāng)時，周期
當(dāng)時，周期
故選AD。
【例3】．如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)（含邊界）有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q（）的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進(jìn)入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【詳解】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動
可得
粒子僅在磁場中運動，則
或
代入可得
或
故選ACD。
【例4】如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。一粒子源位于MN上的a點，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m（重力不計）、電荷量為的同種粒子，所有粒子均能經(jīng)過MN上的b點從左側(cè)磁場進(jìn)入右側(cè)磁場，已知，則粒子的速度可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】粒子可能在兩個磁場間做多次的運動。畫出可能的粒子軌跡如圖所示
分析可知，由于粒子從b點從左側(cè)磁場進(jìn)入右側(cè)磁場，粒子在ab間做勻速圓周運動的圓弧數(shù)量必為偶數(shù)個，且根據(jù)幾何關(guān)系可知，圓弧對應(yīng)的圓心角均為120°，根據(jù)幾何關(guān)系可得粒子運動的半徑為
解得
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得
聯(lián)立解得
A．當(dāng)時，。符合條件，故A正確；
B．當(dāng)時，。不符合條件，故B錯誤；
C．當(dāng)時，。不符合條件，故C錯誤；
D．當(dāng)時，。不符合條件，故D錯誤。
故選A。
【例5】．如圖所示，邊長為3L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場，三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點A處有一粒子源，粒子源能沿的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q不計粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度v0為哪些值時粒子能通過B點（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【詳解】粒子可能的軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系得
（n=1,2,3）
由牛頓第二定律得
解得
（n=1,2,3）
n=1時
n=3時
粒子可以通過B點，故AC符合題意，BD不符合題意。
故選AC。
【例6】．如圖所示，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場，則粒子在磁場中運動的時間可能為（）

A．B．
C．D．
【答案】AD
【詳解】由于帶電粒子的電性不確定，其軌跡可能是如圖所示的兩種情況

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，可得
根據(jù)線速度和周期的關(guān)系，可得
聯(lián)立解得
由圖可知，若為正電荷，軌跡對應(yīng)的圓心角為θ1＝300°，若為負(fù)電荷，軌跡對應(yīng)的圓心角為θ2＝60°，則對應(yīng)時間分別為
故選AD。
【例7】如圖，紙面內(nèi)有一矩形abcd，其長ab為4l、寬ad為，P、Q為ab邊上的點，。在矩形abcd外存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出磁場），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q（）的粒子，從P點垂直ab以速度向外射入磁場，粒子從Q處進(jìn)入無場區(qū)。現(xiàn)在將入射速度變?yōu)?，粒子從P點垂直ab射入磁場，粒子的重力不計，粒子離開P點至回到P點的運動路程可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】AB．根據(jù)粒子從P點垂直ab射入磁場，從Q處進(jìn)入無場區(qū)，可判斷粒子做圓周運動的半徑
粒子在磁場中做圓周運動，有
解得
粒子速度變?yōu)?br>粒子在磁場中做圓周運動，有
由數(shù)學(xué)知識可知，粒子先以Q為圓心做個圓周運動到ad的中點M，再沿直線MN運動到N（Nc=l），再經(jīng)過個圓周運動到P點，沿直線PM運動到M，再經(jīng)過個圓周運動到N點，沿直線NP運動到P，之后重復(fù)上述運動，粒子運動軌跡如圖所示
可知粒子在一個周期內(nèi)經(jīng)過P點兩次。由P點沿圓弧運動到M點所用時間
由M點沿直線運動到N點所用時間
粒子以2v1垂直ab向外經(jīng)過P，則粒子運動的時間
粒子運動的路程
當(dāng)k=2時為A選項，而B選項無法取到，故A正確，B錯誤；
CD．粒子以2v1大小與ab方向成30°角經(jīng)過P，則
粒子運動的路程
當(dāng)k=2時為C選項，當(dāng)k=3時為D選項，故CD正確。
故選ACD。
類型
分析
圖例
帶電粒子電性
不確定
帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，初速度相同時，正、負(fù)粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解
如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b
磁場方向
不確定
只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解
若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b
臨界狀態(tài)
不唯一
帶電粒子飛越有界磁場時，可能穿過磁場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面一側(cè)反向飛出，于是形成多解
運動具有
周期性
帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運動時，運動往往具有周期性，因而形成多解

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多