TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17675" 題型一 曲線運動和運動的合成與分解 PAGEREF _Tc17675 \h 1
\l "_Tc26893" 題型二 平拋運動和類平拋運動的規(guī)律及應(yīng)用 PAGEREF _Tc26893 \h 7
\l "_Tc30760" 題型三 圓周運動問題 PAGEREF _Tc30760 \h 17
\l "_Tc4196" 題型四 圓周、直線平拋組合模型 PAGEREF _Tc4196 \h 26
題型一 曲線運動和運動的合成與分解
【解題指導(dǎo)】
1．曲線運動的理解
(1)曲線運動是變速運動，速度方向沿切線方向；
(2)合力方向與軌跡的關(guān)系：物體做曲線運動的軌跡一定夾在速度方向與合力方向之間，合力的方向指向曲線的“凹”側(cè)．
2．曲線運動的分析
(1)物體的實際運動是合運動，明確是在哪兩個方向上的分運動的合成．
(2)根據(jù)合外力與合初速度的方向關(guān)系判斷合運動的性質(zhì)．
(3)運動的合成與分解就是速度、位移、加速度等的合成與分解，遵守平行四邊形定則．
【典例分析1】（2023上·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）如圖所示，輕質(zhì)細(xì)桿的A端靠在豎直墻上，端放置在水平地面上，A端、端和桿的中點處各有可視為質(zhì)點質(zhì)量均為的固定小球。細(xì)桿與豎直墻面的夾角為，開始時，細(xì)桿靜止，后因微小擾動，細(xì)桿開始運動，設(shè)系統(tǒng)處處無摩擦。假設(shè)端可以沿地面朝右滑動，但因受約束不會離開地面；A端可以沿著墻面朝下滑動，但不受相應(yīng)的約束，故可以離開墻面。已知細(xì)桿長為，重力加速度為。
（1）A端開始運動到離開墻面前，為確定小球的運動情況，建立如圖坐標(biāo)系，試求小球的運動軌跡方程；
（2）根據(jù)（1）中小球的運動軌跡，若A端未離開墻面，且小球A的速度為，試求小球的速度的大小；
（3）為何值時A端將離開墻面？
【典例分析2】（2023上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）某質(zhì)量m=1kg的質(zhì)點在Oxy平面內(nèi)運動。t＝0時，質(zhì)點位于y軸上。它在x方向運動的速度-時間圖像如圖甲所示，它在y方向運動的位移-時間圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（ ）
A．質(zhì)點所受的合力為4N
B．從t=0時刻開始質(zhì)點做勻變速直線運動
C．t=1.0s時，質(zhì)點的位置坐標(biāo)為（5m，5m）
D．t=1.0s時，質(zhì)點的速度方向與x軸夾角為60°
【典例分析3】（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，跨過光滑定滑輪的輕繩一端系著鐵球（大小不可忽略，系繩延長線過球心）、一端連在水平臺上的玩具小車上，車牽引著繩使球沿光滑豎直墻面從較低處豎直上升。則在球勻速豎直上升且未離開墻面的過程中（ ）
A．繩對球的拉力大小變小B．墻面對球的支持力變小
C．玩具小車做加速運動D．玩具小車做減速運動
【方法提煉】
1.解決運動的合成和分解的一般思路
(1)明確合運動和分運動的運動性質(zhì)。
(2)明確是在哪兩個方向上的合成或分解。
(3)找出各個方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)運用力與速度的方向關(guān)系或矢量的運算法則進行分析求解。
2．關(guān)聯(lián)速度問題的解題方法
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。

【變式演練】
1.（2023·湖南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，小車A在水平外力作用下沿水平地面向左做直線運動，繩子跨過定滑輪拉著物體B以速度vB豎直勻速上升，下列判斷正確的是（ ）
A．小車A做減速直線運動
B．繩子拉力大于物體B的重力
C．小車A的速度大小可表示為
D．小車A受到地面的支持力逐漸變小
2．（2023下·湖北黃石·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）(多選)民族運動會上有一騎射項目如圖所示，運動員騎在奔跑的馬上，彎弓放箭射擊側(cè)向的固定目標(biāo)。假設(shè)運動員騎馬奔馳的速度為，運動員靜止時射出的箭速度為，跑道離固定目標(biāo)的最近距離為d。已知，要想命中目標(biāo)射出的箭在空中飛行距離最短，則（ ）
A．若箭的實際運動方向和馬的速度方向的夾角為θ，
B．若箭的實際運動方向和馬的速度方向的夾角為θ，
C．箭射到固定目標(biāo)的時間為
D．箭射到固定目標(biāo)的時間為
3．（2023上·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）(多選)通過北斗定位系統(tǒng)可以記錄飛機的海拔高度h、水平方向的速率v等即時數(shù)據(jù)。一架飛機從靜止開始滑跑起飛，用記錄數(shù)據(jù)擬合得到、圖線分別如圖甲、乙所示，圖甲中40s~70s時間內(nèi)的圖線為拋物線，其余圖線均為直線。根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知（ ）
A．前100s時間內(nèi)，飛機爬升的高度約1600m
B．40s~70s時間內(nèi)，飛機的加速度為0.2 m/s2
C．70s~100s時間內(nèi)，飛機做勻速直線運動
D．100s~150s時間內(nèi)，飛機做勻加速曲線運動
題型二 平拋運動和類平拋運動的規(guī)律及應(yīng)用
【解題指導(dǎo)】
1．基本思路
處理平拋(或類平拋)運動時，一般將運動沿初速度方向和垂直于初速度方向進行分解，先按分運動規(guī)律列式，再用運動的合成求合運動．
2．兩個突破口
(1)對于在斜面上平拋又落到斜面上的問題，其豎直位移與水平位移之比等于斜面傾角的正切值．
(2)若平拋運動的物體垂直打在斜面上，則物體打在斜面上瞬間，其水平速度與豎直速度之比等于斜面傾角的正切值．
【典例分析1】（2023上·遼寧·高三統(tǒng)考期中）將扁平的石子向水面快速拋出，石子會在水面上“一跳一跳”地飛向遠方，俗稱“打水漂”。某同學(xué)將一個小石子從距水面高度為處水平拋出，石子第一次接觸水面時的速度方向與水面間的夾角為。不計空氣阻力，重力加速度為，則石子從拋出到第一次觸水的過程中，不能求出的物理量是（ ）
A．石子拋出時的速度大小B．石子觸水時距拋出點的水平距離
C．石子拋出時重力的功率D．石子觸水時的動能
【典例分析2】（2023上·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）所示為一乒乓球臺的縱截面，AB是臺面的兩個端點位置，PC是球網(wǎng)位置，D、E兩點滿足，且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出，軌跡最高點恰好過球網(wǎng)最高點P，同時落到A點；第二次在N點將同一乒乓球水平擊出，軌跡同樣恰好過球網(wǎng)最高點P，同時落到D點。乒乓球可看做質(zhì)點，不計空氣阻力作用，則兩次擊球位置到桌面的高度為（ ）

A．B．C．D．
【典例分析3】（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學(xué)校考期中）如圖所示，一固定斜面傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，小球擊中了斜面上的P點；將小球B從空中某點以相同速率v0水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為g，小球A、B在空中運動的時間之比為（ ）
A．2：1B．：1
C．1：2D．1：
【典例分析4】（2023上·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）(多選)如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時，小球B斜向左上方以速度拋出，與水平方向的夾角為。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運動，且恰好在空中相碰。已知單獨拋出小球B時，小球B到達的最高點恰好與小球A的拋出點處于同一水平線上，且小球B落地點位于小球A拋出點的正下方。不計空氣阻力，重力加速度為，，，下列說法正確的是（ ）
A．小球A拋出的初速度大小等于B．小球A拋出的初速度大小等于
C．兩球拋出點的水平距離為D．兩球拋出點的水平距離為
【方法提煉】
破解平拋（類平拋）運動問題的六大要點
(1)建立坐標(biāo)系，分解運動
將平拋運動分解為豎直方向的自由落體運動和水平方向上的勻速直線運動，而類平拋運動分解的方向不一定在豎直方向和水平方向上。
(2)各自獨立，分別分析
(3)平拋運動是勻變速曲線運動，在任意相等的時間內(nèi)速度的變化量Δv相等，Δv＝gΔt，方向恒為豎直向下。
(4)平拋(或類平拋)運動的推論
①任意時刻速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。
②設(shè)在任意時刻瞬時速度與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為φ，則有tanθ＝2tanφ。
(5)求解平拋(或類平拋)運動的技巧
①處理平拋(或類平拋)運動的基本方法是把運動分解為相互垂直的勻速直線運動和勻加速直線運動，通過研究分運動達到研究合運動的目的。
②要善于確定平拋(或類平拋)運動的兩個分速度和分位移與題目呈現(xiàn)的角度之間的聯(lián)系，這往往是解決問題的突破口。
(6)建好“兩個模型”
①常規(guī)的平拋運動及類平拋模型。
②與斜面相結(jié)合的平拋運動模型。
a．從斜面上水平拋出又落回到斜面上：位移方向恒定，落點速度方向與斜面間的夾角恒定，此時往往分解位移，構(gòu)建位移三角形。
b．從斜面外水平拋出垂直落在斜面上：速度方向確定，此時往往分解速度，構(gòu)建速度三角形。
【變式演練】
1．（2023上·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某一壕溝數(shù)據(jù)如圖所示，α、b兩點間水平距離為3h，豎直距離為h，汽車自a點水平飛出，落在壕溝邊緣b點，假設(shè)汽車可看成質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則汽車為了能飛躍壕溝，在a點的最小速度為（ ）

A．B．C．D．
2.（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）(多選)如圖所示，空間有一底面處于水平地面上的正方體框架ABCD-A1B1C1D1，從頂點A沿不同方向水平拋出一小球（可視為質(zhì)點，不計空氣阻力）。關(guān)于小球的運動。下列說法正確的是（ ）
A．落點在A1B1C1D1內(nèi)的小球，落在C1點時平拋的初速度最大
B．落點在B1D1上的小球，平拋初速度的最小值與最大值之比是1：
C．落點在A1B1C1D1內(nèi)的小球，落在C1點的小球運動時間最長
D．落點在A1B1C1D1內(nèi)的小球，落地時重力的瞬時功率均相同
3．（2023上·福建泉州·高三?？计谥校?多選)如圖，某次小明同學(xué)在家中對著豎直墻壁打乒乓球，將球從A點斜向上擊出，球垂直在墻上的O點后，反向彈回正好落在A點正下方的B點。忽略球的旋轉(zhuǎn)及空氣阻力，則下列說法中正確的是（ ）
A．球在上升階段和下降階段的加速度不同
B．球從A點到O點的運動時間等于從O點到B點的運動時間
C．球剛離開點時的水平速度大小大于剛到達點時的水平速度大小
D．球剛離開點時的速度大小不一定大于剛到達點時的速度大小
4．（2023上·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）(多選)如圖甲為2022年北京冬奧會的跳臺滑雪場地“雪如意”，其主體建筑設(shè)計靈感來自于中國傳統(tǒng)飾物“如意”。其部分賽道可簡化為如圖乙所示的軌道模型，斜坡可視為傾角為θ的斜面，運動員（可視為質(zhì)點）從跳臺a處以速度v沿水平方向向左飛出，落到足夠長斜坡上，落地瞬時速度方向與水平方向的夾角為，不計空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．若初速度v增大為原來的2倍，則運動員在空中運動的時間增大為原來的2倍
B．若初速度v增大為原來的2倍，則運動員從飛出到落地的位移增大為原來的2倍
C．若初速度v增大為原來的2倍，則運動員在空中離坡面的最大距離為原來的倍
D．若運動員的初速度變小，運動員落在斜坡上時角不變，且
題型三 圓周運動問題
【解題指導(dǎo)】
1.基本思路
(1)受力分析，明確向心力的來源，確定圓心以及半徑．
(2)列出正確的動力學(xué)方程F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝mreq \f(4π2,T2).
2.技巧方法
豎直平面內(nèi)圓周運動的最高點和最低點的速度通常利用動能定理來建立聯(lián)系，然后結(jié)合牛頓第二定律進行動力學(xué)分析．
【典例分析1】（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考期中）光滑直桿可繞豎直軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小球套在桿上。現(xiàn)先讓直桿繞軸以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動，，穩(wěn)定后小球在圖示位置，此時小球的加速度大小為a1，速度大小為v1；增大為β，再讓直桿以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動，穩(wěn)定后小球的高度不變，此時小球的加速度大小為a2，速度大小為。則（ ）
A．B．
C．D．
【典例分析2】（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）如圖甲，一長為且不可伸長的輕繩一端固定在點，另一端系住一小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動．若小球經(jīng)過最高點時速度大小為、繩子拉力大小為，則與的關(guān)系如圖乙所示，下列說法中正確的是（ ）
A．繩長不變，用質(zhì)量更小的球做實驗，得到的圖線斜率更大
B．小球質(zhì)量不變，換繩長更長的輕繩做實驗，圖線點的位置不變
C．利用該裝置可以得出小球的質(zhì)量
D．利用該裝置可以得出重力加速度
【典例分析3】（2024上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）(多選)如圖甲所示，質(zhì)量分別為m1、m2的小木塊a和b（可視為質(zhì)點）用細(xì)線相連，沿半徑方向放在水平圓盤上，a、b與轉(zhuǎn)軸OO′之間的距離分別為r1、r2. 若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸（ 緩慢地加速轉(zhuǎn)動，ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，木塊a 所受的摩擦力大小 f。隨圓盤角速度的平方 的變化圖像如圖乙所示，對應(yīng)圖線的斜率為對應(yīng)圖線的斜率為k2，兩木塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)均為μ，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【方法提煉】
1.圓周運動問題的求解步驟
(1)審清題意，確定研究對象，明確物體做圓周運動的平面。
(2)分析清楚物體的受力情況，找清楚是哪些力充當(dāng)向心力。
(3)分析清楚物體的運動狀態(tài)，如線速度、角速度、周期、軌跡半徑等。
(4)根據(jù)牛頓第二定律列方程求解。
2．圓周運動的一些典型模型的處理方法
【變式演練】
1.（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）(多選)如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的物體A、B、C正隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動（均未發(fā)生相對滑動）。物體A、B、C的質(zhì)量分別為m、2m、3m，各接觸面間的動摩擦因數(shù)都為μ，物體B、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為5r，B、C與圓周運動的圓心共線。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。以下說法正確的是（ ）

A．
B．C相對轉(zhuǎn)臺的相對運動趨勢為沿著切線方向
C．B對轉(zhuǎn)臺的靜摩擦力最大可能是3μmg
D．當(dāng)時，A所受B的靜摩擦力大小為
2．（2023下·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）(多選)如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮锽．小球的質(zhì)量為R
C．v2=c時，桿對小球彈力方向向下D．若c=2b，則桿對小球彈力大小為2a
3．（2023上·四川綿陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）(多選)如圖甲所示，質(zhì)量為0.2kg的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上，并在圓環(huán)最高點保持靜止。受到輕微擾動后，小球由靜止開始沿著圓環(huán)運動，一段時間后，小球與圓心的連線轉(zhuǎn)過θ角度時，小球的速度大小為v，v2與csθ的關(guān)系如乙圖所示，g取 。則（ ）
A．圓環(huán)半徑為0.6m
B．時，小球所受合力為4N
C．0≤θ≤π過程中， 圓環(huán)對小球的作用力一直增大
D．0≤θ≤π過程中，圓環(huán)對小球的作用力先減小后增大
4．（2023上·山西晉中·高三校考階段練習(xí)）(多選)小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短．將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖，將兩球由靜止釋放．在各自軌跡的最低點（ ）

A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的動能一定小于Q球的動能
C．P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力
D．P球的向心加速度一定等于Q球的向心加速度
題型四 圓周、直線平拋組合模型
【典例分析】（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）滑雪大跳臺的賽道主要由助滑道、起跳臺、著陸坡、停止區(qū)組成，如圖所示，助滑直道高度；圓弧BCD為起跳臺，圓心角，半徑，AB與圓弧BCD相切；EF為著陸坡段，F(xiàn)G為停止區(qū)。運動員從A點由靜止開始自由下滑，到達C點（為圓弧最低點）時速度為24m/s，從與B點等高的D點以20m/s的速度飛出，從E點著陸后滑至F點時速度為25m/s，之后進入FG停止區(qū)。運動員（連同滑雪板）的質(zhì)量，各段連接處無能量損失，忽略空氣阻力的影響，g取。則下列說法正確的是（ ）
A．運動員在F點時重力的功率最大
B．運動員對C點的壓力大小為480N
C．從A到D的運動過程中，運動員機械能的減少量為
D．從D點到飛出后的最高點，運動員動量的變化量大小為
【方法提煉】
解決“圓周平拋（直線）組合模型”問題的5點要素
1．一個物體平拋運動和（圓周）直線運動先后進行，要明確直線運動的性質(zhì)，關(guān)鍵抓住速度是兩個運動的銜接點．
2．兩個物體分別做平拋運動和（圓周）直線運動，且同時進行，則它們運動的時間相等，同時滿足一定的空間幾何關(guān)系．
3.對于多過程問題首先要搞清各運動過程的特點，然后選用相應(yīng)規(guī)律．
4．要特別注意運用有關(guān)規(guī)律建立兩運動之間的聯(lián)系，把轉(zhuǎn)折點的速度作為分析重點．
5.程序法在解圓周平拋（直線）組合模型中的應(yīng)用
所謂“程序法”是指根據(jù)題意按先后順序分析發(fā)生的運動過程，并明確每一過程的受力情況、運動性質(zhì)、滿足的規(guī)律等等，還要注意前后過程的銜接點是具有相同的速度．
【變式演練】
1.（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖所示為某大型闖關(guān)節(jié)目最后一關(guān)的簡化圖。一質(zhì)量的參賽者從四分之一圓弧軌道的A點無初速度滑下，通過水平軌道后進入下方的蹦床，借助蹦床的彈力在規(guī)定的時間內(nèi)通過P點所在的高度即可獲勝。已知圓弧軌道A點距蹦床高，圓弧軌道半徑，水平軌道距蹦床高，P所在的水平面距蹦床高。不計一切阻力，參賽者可視為質(zhì)點，重力加速度取。
（1）求該參賽者到達圓弧軌道最低點M處時對軌道的壓力；
（2）已知參賽者離開蹦床后的速度方向已調(diào)整為豎直向上。若該參賽者在到達水平軌道末端時看到比賽倒計時還剩2s，不計其與蹦床接觸的時間，若要通過P點，則他離開蹦床時的速度至少為多少？此速度下他能否贏得比賽？
2．（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）粗糙水平地面與半徑的光滑半圓軌道平滑連接，且在同一豎直平面內(nèi)，是的圓心。質(zhì)量的小物塊在的水平恒力的作用下，從A點由靜止開始做勻加速直線運動。在運動到半圓軌道上的點時撤去恒力。（小物塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)，）求：
（1）若，小物塊運動到半圓軌道上的點時，軌道對它的支持力的大小；
（2）若小物塊恰好能運動到半圓軌道上的點，則間的距離多大。
3．（2023上·河北邢臺·高三河北內(nèi)丘中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所示，斜面與平臺平滑連接，右下側(cè)有一沿豎直方向固定的軌道，其中為半徑、圓心角的圓弧軌道，為半徑未知的圓軌道。質(zhì)量、可視為質(zhì)點的小球從斜面上距平臺高處由靜止釋放，之后從平臺右端點沿水平方向飛出，恰好從點無碰撞地進入軌道，沿軌道運動到點水平飛出后，又恰好無碰撞經(jīng)過點，取重力加速度大小，，不計一切阻力，求：
（1）小球進入軌道時的速度大??；
（2）兩點的高度差；
（3）小球?qū)壍赖淖畲髩毫Α?br>
4.（2023上·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）如圖所示為某冒險滑雪運動員運動的示意圖，冒險員站在運動雪橇上從A點受到恒力作用從靜止開始加速，到達B點后撤去恒力，從C點水平?jīng)_出，恰好從D點沿圓軌道切線方向飛進半徑為R的光滑圓軌道。已知人和雪橇的總質(zhì)量為60kg，恒力F=360N，雪橇與水平面間動摩擦因數(shù)為0.1，AB=40m，BC=38m，OD與豎直線夾角為37°，圓形軌道半徑R=30m，g=10m/s2，人和雪橇在運動中可以視為質(zhì)點。（不計空氣阻力）求：
（1）運動員達到C點時的速度；
（2）運動員從C點運動到D點的時間；
（3）運動員和雪橇在D點受到的彈力大小。

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