貴州省縣中新學校計劃項目2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）-A4

這是一份貴州省縣中新學校計劃項目2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）-A4，共15頁。
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共19個小題，滿分150分，考試用時120分鐘．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知直線l經(jīng)過點，，則直線l的斜率為（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜率坐標公式計算得解.
【詳解】由直線l經(jīng)過點，，得直線l的斜率.
故選：C
2. 已知集合，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)必要不充分條件的判定方法進行判斷.
【詳解】先看充分性：因為，但，所以“”不是“”的充分條件；
再看必要性：因為，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知數(shù)據(jù)，，…，的極差為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的極差和方差分別是（ ）
A. 4，2B. 4，18C. 12，2D. 12，18
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)極差和方差的性質(zhì)運算可得.
【詳解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：；
新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為：.
故選：D
4. 在正方體中，直線與平面所成角的正切值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接交于點，連接，易證平面，可得為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為，進而結(jié)合勾股定理及直角三角形中正切函數(shù)的定義即可計算求解.
【詳解】如圖，連接交于點，連接，
在正方體中，，平面，
因為平面，所以，
又，平面，
所以平面，
所以為直線與平面所成角，
設(shè)正方體的棱長為，
則，則，
在中，.
故選：B.
5. 已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點的定義列方程，確定各函數(shù)零點的正負情況，即可比較的大小.
【詳解】顯然：函數(shù)，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，
又，
而中的，
令，
，，的大小順序為：，
故選：B．
6. 已知點，，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.
【詳解】,
所以在上的投影向量為.
故選：D
7. 若直線與圓有交點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進而可以列出不等式.
【詳解】的圓心為，半徑r=1，
圓心到直線的距離，
依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，
所以，即.
故選：A
8. 已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】令，利用判別式法即可.
【詳解】令，則，
由，
得，
整理得，，
因為存在實數(shù)滿足等式，
所以，
解得，
則的最大值為，此時，.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題中的真命題是（ ）
A. 若直線a不在平面內(nèi)，則a∥
B. 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l∥
C. 若l∥，則直線l與平面內(nèi)任何一條直線都沒有公共點
D. 平行于同一平面的兩直線可以相交
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB錯誤，C正確，在長方體中，存在與相交，且都與平面平行，可得D正確.
【詳解】對于A，直線a不在平面內(nèi)，直線a也可能與平面相交，故A是假命題；
對于B，直線l與平面相交時，l上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，故B是假命題；
對于C，l∥時，l與沒有公共點，所以l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；
對于D，在長方體中，與都與平面平行，且與相交，故D是真命題.
故選：CD
10. 甲、乙兩人各投籃1次，已知甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們是否命中相互獨立，則（ ）
A. 恰好有1人命中的概率為B. 恰好有1人命中的概率為
C. 至多有1人命中概率為D. 至少有1人命中的概率為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法計算公式求得正確答案.
【詳解】對于AB，由題意，恰好有1人命中的概率為，故A錯誤，B正確；
對于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，
因此至多有1人命中的概率為，故C錯誤；
對于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，
因此至少有1人命中的概率為，故D正確.
故選：BD.
11. “曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 已知點，，滿足
B. 已知點，滿足的點軌跡圍成的圖形面積為2
C. 已知點，，不存在動點滿足方程：
D. 已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項：根據(jù)定義計算即可；
B選項：根據(jù)定義得到，分類討論的正負得到軌跡圖形，然后求面積即可；
C選項：根據(jù)定義得到，然后利用特殊值的思路判斷即可；
D選項：根據(jù)幾何的思路得到當垂直直線，平行x軸時，最小，然后求最小值即可.
【詳解】A選項：由題意得，故A正確；
B選項：設(shè)，，
當，時，；
當，時，；
當，時，；
當，時，；
所以點的軌跡圍成的圖形是以為邊長的正方形，所以面積為2，故B正確；
C選項：，當時，所以存使，故C錯；
D選項；如圖，
過點作平行于x軸的直線交直線于點，過點作于點，表示的長度，因為直線的方程為，所以，，即，，
當固定點時，為定值，此時為零時，最小，即平行于x軸，所以當垂直直線時，最小，如下圖所示，
此時，，根據(jù)直線的斜率為-2，得，所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)虛部是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則化簡，進而結(jié)合虛部的定義求解即可.
【詳解】由，
則復數(shù)的虛部是.
故答案為：.
13. 若向量，則稱為在基底下的坐標．已知向量在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的線性運算可得，進而求得坐標.
【詳解】由題意，，
設(shè)，
則，解得，
則，
所以在基底下的坐標為.
故答案為：.
14. 已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出三棱臺上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)求出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺，如圖，
上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，
下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，
由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，
于是，或，解得，
所以球的表面積是．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的定義域A；
（2）實數(shù)，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義求解定義域即可；
（2）結(jié)合（1）可知，，，進而代值計算即可.
【小問1詳解】
由題意，，
由，解得，
則函數(shù)的定義域為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
又，則，
則，
所以
16. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知向量，，其中，．
（1）求角；
（2）若是銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，可得，結(jié)合為三角形內(nèi)角，可求角.
（2）利用正弦定理表示出，結(jié)合輔助角公式和角的取值范圍，可求的取值范圍，進而求出三角形周長的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，所以，
所以,
又為三角形內(nèi)角，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理：，
所以，.
又是銳角三角形，且，所以，且.
所以.
因為，所以，所以，
所以，所以的周長：.
17. 設(shè)圓C的半徑為r，圓心C是直線與直線的交點.
（1）若圓C過原點O，求圓C的方程；
（2）已知點，若圓C上存在點M，使，求r的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出圓C的圓心和半徑，即可求得答案；
（2）先求出點M的軌跡方程，判斷該軌跡和圓C有交點，即可列出不等關(guān)系，求得答案.
【小問1詳解】
由得，
所以圓心，
又∵圓C過原點O，∴，
∴圓C的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，由，得，
化簡得，
∴點M在以為圓心，半徑為2的圓上.
又∵點M在圓上，
故圓與有交點，
∴，即，
即.
18. 如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．
（1）設(shè)平面平面，若P為的中點，求證：；
（2）設(shè)，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）設(shè)的中點為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；
（2）建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.
【小問1詳解】
證明：設(shè)的中點為，連接，
因為P為的中點，Q為的中點，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
【小問2詳解】
在直三棱柱中，平面，，
故可以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
因為，
所以，
則，，
又，則，
所以，
若平面，則，
則，解得，
所以線段上存在點P，使得平面，此時.
19. 材料：我們把經(jīng)過兩條直線：，：的交點的直線方程叫做共點直線系方程，其交點稱作共點直線系方程的“共點”，共點直線系方程也可表示為：（其中，且該方程不表示）．
問題：已知圓M：．求：
（1）求共點直線系方程的“共點”的坐標；
（2）設(shè)點為第（1）問中的“共點”，點N為圓上一動點，求的取值范圍；
（3）若有唯一一組非零實數(shù)對滿足關(guān)于實數(shù)的方程：．設(shè)過點的直線與圓相交于，兩點，當取得最小值時，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解方程組可得點坐標.
（2）確定點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓外的點與圓上的點的距離的最值可求解.
（3）把轉(zhuǎn)化為點和到直線的距離相等，根據(jù)非零實數(shù)對唯一存在可求的值，進而確定的值；再判斷點與圓的位置關(guān)系，可確定過點的弦長最短時，直線所在的方程.
【小問1詳解】
由.
所以“共點”的坐標為：
【小問2詳解】
圓：，所以圓心，半徑，
由，
所以點在圓外.
所以.
【小問3詳解】
由得：點和到直線的距離相等.
所以直線過的中點或與直線平行或重合，又非零實數(shù)對唯一存在，所以就是直線.
所以.
因為：，所以點在圓內(nèi).
因為，所以當最小時，直線的方程為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)點到直線的距離公式，把轉(zhuǎn)化成兩點、到直線的距離，進而得：直線可能過已知兩點的中點，或與過兩點的直線平行或重合，再根據(jù)實數(shù)對存在的唯一性，所以直線就是過、的直線，所以.