1.若直線l的一個方向向量為(2,2)，則直線l的傾斜角為( )
A. 120°B. 135°C. 30°D. 45°
2.向量a=(0,1,?1)在向量n=(1,2,3)上的投影向量為( )
A. ?114nB. ?17nC. 114nD. 17n
3.已知兩直線l1：3x+4y?14=0，l2：a(x+1)?2x+4y=0，若l1//l2，則l1與l2間的距離為( )
A. 95B. 125C. 175D. 195
4.點(2,4)關于直線3x?y+2=0對稱的點的坐標為( )
A. (?25,485)B. (?25,245)C. (52,245)D. (25,245)
5.設a∈R，直線l1：(a+1)x+y?1=0，l2：2x+ay?(a+2)=0，則“a=1”是“l(fā)1//l2”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6.“120)的兩個焦點，P是橢圓E上的點，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，則橢圓E的離心率為( )
A. 102B. 104C. 53D. 56
8.已知圓C1：x2+y2?2x?2y=0，設其與x軸、y軸正半軸分別交于M，N兩點.已知另一圓C2的半徑為2 2，且與圓C1相外切，則|C2M|?|C2N|的最大值為( )
A. 20B. 20 2C. 10D. 10 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知橢圓C：y236+x24=1，下列結(jié)論正確的是( )
A. 橢圓C的長軸長是12
B. 橢圓C的短半軸長是4
C. 經(jīng)過橢圓C焦點的最短弦長是43
D. 橢圓C的焦點坐標分別是F1(0,2)，F(xiàn)2(0,?2)
10.已知圓C：(x+2)2+y2=4，直線l：(m+1)x+2y?1+m=0(m∈R)，則( )
A. 直線l恒過定點(?1,1)
B. 當m=0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1
C. 直線l與圓C有兩個交點
D. 圓C與圓x2+y2?2x+8y+8=0恰有三條公切線
11.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=AA1=1，點D為側(cè)棱BB1上的動點，M為線段A1B1中點.則下列說法正確的是( )
A. 存在點D，使得AD⊥平面BCM
B. △ADC1周長的最小值為1+ 2+ 3
C. 三棱錐C1?ABC的外接球的體積為 32π
D. 平面ADC1與平面ABC的夾角正弦值的最小值為 33
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點A(2,1)，B(3,?2)，若直線l：y=k(x?1)與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是______．
13.已知向量a=(?2,1,4),b=(?4,2,t)，且向量a,b的夾角為銳角則t的取值范圍是______．
14.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點A，B，若|AF2|≤4|BF1|，則C的離心率的最大值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知點P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點，F(xiàn)1和F2是焦點，焦距為6，且|PF1|+|PF2|=10．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積．
16.(本小題15分)
已知圓M是△ABC的外接圓，圓心為M，頂點B(?2,6)，C(4,?2)，且_____．
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答．
①頂點A(?2,?2)；
②AB⊥AC；
③BM=MC．
(1)求圓M的標準方程；
(2)若點P為直線l：3x?5y?27=0上一動點，過點P作圓M的切線，切點為Q，求|PQ|的最小值．
17.(本小題15分)
如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，E，F(xiàn)分別為棱BC和A1C1的中點．
(1)求證：EF//平面ABB1A1；
(2)若AA1=BC=AB，且平面ABC⊥平面AEF，求二面角B?AC?C1的余弦值大?。?br>18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面ABCD所成角為45°，四邊形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC/?/AD，AD=2，PA=BC=1．
(1)證明：平面PAC⊥平面PCD．
(2)若點T是CD的中點，點M是PT的中點，求點P到平面ABM的距離．
(3)若點T是CD的動點，PT上是否存在一點M，使得PT⊥平面ABM，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．
19.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，點M(1,83)在C上，且MF⊥x軸，過點M且與橢圓C有且只有一個公共點的直線與x軸交于點P．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點R是橢圓C上異于M的一點，且三角形MPR的面積為24，求直線MR的方程；
(3)過點P的直線交橢圓C于D，E兩點(D在E的左側(cè))，若N為線段FP的中點，直線NE交直線MF于點Q，T為線段DF的中點，求線段TQ的最大值．
參考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.A
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.[0,π4]∪[3π4,π)
13.(?52,8)∪(8,+∞)
14. 175
15.解：(1)已知點P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點，F(xiàn)1和F2是焦點，焦距為6，且|PF1|+|PF2|=10，
則2c=6，2a=10，
所以c=3，a=5，
所以b= 52?32=4，
即橢圓的標準方程為x225+y216=1．
(2)已知∠F1PF2=60°，
則|PF1|2+|PF2|2?|PF1||PF2|=|F1F2|2=36，
即(|PF1|+|PF2|)2?3|PF1||PF2|=36，
又(|PF1|+|PF2|)2=100，
所以|PF1||PF2|=643，
則SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=16 33．
16.解：(1)若選①：設圓M的標準方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，圓心為M(a,b)，半徑為r，
∵圓M過點A(?2,?2)，C(4,?2)，∴圓心在直線x=1上，即a=1；
∵圓M過點A(?2,?2)，B(?2,6)，∴圓心在直線y=2上，即b=2，
∴圓M的圓心為M(1,2)，半徑r=|MA|= (1+2)2+(2+2)2=5，
∴圓M的標準方程為(x?1)2+(y?2)2=25；
若選②：∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圓圓心M為斜邊BC的中點，
設圓M的標準方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，圓心為M(a,b)，半徑為r，
由題知，圓心為M(1,2)，半徑r=|MB|= (?2?1)2+(6?2)2=5，
∴圓M的標準方程為(x?1)2+(y?2)2=25；
若選③：∵BM=MC，∴圓心M為邊BC的中點，|BC|為圓的直徑，
設圓M的標準方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，圓心為M(a,b)，半徑為r，
由題知，圓心為M(1,2)，半徑r=|MB|= (?2?1)2+(6?2)2=5，
∴圓M的標準方程為(x?1)2+(y?2)2=25；
(2)依題意：|PQ|2=|PM|2?r2=|PM|2?25，dM→l=|3×1?5×2?27| 32+52= 34，
又∵|PM|≥dM→l= 34，∴|PQ|2≥34?25=9，即|PQ|≥3，
∴|PQ|的最小值為3．
17.(1)證明：如圖，取A1B1的中點G，連接BG，F(xiàn)G，則FG/?/B1C1，且FG=12B1C1，
因為E是BC的中點，所以BE/?/B1C1，BE=12B1C1，
所以FG//BE，且FG=BE，
所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF/?/BG，
又BG?平面ABB1A，EF?平面ABB1A1，
所以EF/?/平面ABB1A1．
(2)解：由題意知，三棱柱的所有棱長都相等，則△ABC與△A1B1C1都是等邊三角形，所以AE⊥BC，
取B1C1的靠近點C1的四等分點H，取B1C1的中點M，連接A1M，EM，則HF//MA1，
由三棱柱的性質(zhì)知EM//BB1//AA1，且EM=BB1=AA1，
所以四邊形EMA1A為平行四邊形，
所以MA1//EA，
所以HF//EA，即A，E，H，F(xiàn)四點共面，
因為平面BCC1B1⊥平面ABC，平面ABC⊥平面AEF，且平面BCC1B1∩平面AEF=HE，
所以HE⊥平面ABC，
以E為原點，EC，EA，EH所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設CE=2，則CC1=BC=4，
因為HE2+(12CE)2=CC12，所以HE2+1=16，解得HE= 15，
所以C1(1,0, 15)，C(2,0,0)，A(0,2 3,0)，
所以CC1=(?1,0, 15),CA=(?2,2 3,0)，
設平面AA1C1C的法向量為n=(x,y,z)，則n?CC1=?x+ 15z=0n?CA=?2x+2 3y=0，
取z=1，可得x= 15，y= 5，所以n=( 15, 5,1)，
因為HE⊥平面ABC，所以m=(0,0,1)為底面ABC的一個法向量，
則cs=m?n|m|?|n|=11× 21= 2121，
由圖知，二面角B?AC?C1為銳二面角，
故二面角B?AC?C1的余弦值為 2121．
18.(1)證明：由PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，
得PA⊥AB，PA⊥CD，PB 與底面ABCD所成角為∠PBA=45°，
所以三角形PAB為等腰直角三角形，AB=AP=1，
又由四邊形ABCD是直角梯形，BC/?/AD，可知AB⊥BC，
所以△ABC為等腰直角三角形，而BC=1，故AC= 2，
在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AD，垂足為E，
則四邊形ABCE為正方形，可得AE=BC=CE=1，
所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD= 2，
則有AC2+CD2=2+2=4=AD2，所以DC⊥AC，
又因為PA⊥DC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
所以DC⊥平面PAC，因為DC?平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD；
解：(2)以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系：

則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，
因為T是CD中點，M是PT中點，所以T(12,32,0)，M(14,34,12)，
設平面ABM的一個法向量為n=(x,y,z)，
又AB=(1,0,0)，AM=(14,34,12)，
則有AB?n=x=0AM?n=14x+34y+12z=0，取y=4，則z=?6，
可得平面ABM的一個法向量為n=(0,4,?6)，
而AP=(0,0,1)，
所以點P到平面ABM的距離為|AP?n||n|=6 16+36=3 1313；
(3)設AT=λAC+(1?λ)AD=(λ,λ,0)+(0,2?2λ,0)=(λ,2?λ,0)，
注意到A(0,0,0)，所以T(λ,2?λ,0)，所以PT=(λ,2?λ,?1)，
設PM=μPT=μ (λ,2?λ,?1)=(μλ,2μ?μλ,?μ)，
注意到P(0,0,1)，所以M(μλ,2μ?μ λ,1?μ )，
因為A(0,0,0)，B(1,0,0)，
所以AB=(1,0,0)，AM=(μ,2μ?μλ,1?μ)，
若PT⊥平面ABM，則當且僅當PT?AB=λ=0PT?AM=μλ2+μ(2?λ)2+μ?1=0，
即當且僅當λ=0μ=15，此時M(0,25,45)，
綜上所述，當且僅當T，D重合，
此時存在M(0,25,45)，使PT⊥平面ABM．
19.解：(1)由題意知點M(1,83)在C上，
因為MF⊥x軸，設橢圓焦距為2c，則c=1，
將x=c代入C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，得y=±b2a，
又M在一象限，所以M(c,b2a)，所以b2a=83，
因為a2?b2=c2=1，所以a2?1a=83，解得a2=9，b2=8，
所以橢圓C方程為x29+y28=1；
(2)由題意知過點M且與橢圓C有且只有一個公共點的直線的斜率不為0，
故設l：x=my+n，與橢圓x29+y28=1聯(lián)立，

得(8m2+9)y2+16mny+8n2?72=0，由橢圓與直線只有一個公共點，
則Δ=(16mn)2?4(8m2+9)(8n2?72)=0，即8m2?n2+9=0①，
又l：x=my+n過(1,83)，則1=83m+n，即n=1?83m②，
將②代入①可得，8m2?(1?83m)2+9=0，解得m=?3，則n=9，
所以l：x=?3y+9，即得點P為(9,0)．
設原點O(0,0)，由S△OPM=12×9×83=12，S△MPR=24，
故S△MPR=2S△OPM，
從而R到l的距離為O到l距離的2倍，即R在l關于O對稱的直線上，
又R在橢圓上，從而M，R關于O對稱，
故直線MR方程為y=83x．
(3)設D(x1,y1)，E(x2,y2)，DP=λPE，則(9?x1,?y1)=λ(x2?9,y2)，
則λx2=9+9λ?x1λy2=?y1③，
又由8x12+9y12=728(λx2)2+9(λy2)2=72λ2，
可得8?x1+λx21+λ?x1?λx21?λ+9?y1+λy21+λ?y1?λy21?λ=72④，
結(jié)合③④可得，?5λ+λx2=4，
又P(9,0)，F(xiàn)(1,0)，N(5,0)，E(x2,y2)，
則直線NE的方程為y?0=y2x2?5(x?5)，
MF⊥x軸，直線NE與MF交于Q，
則xQ=1，故yQ=4y25?x2=?λy2=y1，
故DQ⊥y軸，從而|TQ|=12|DF|≤12(a+c)=2，當D位于橢圓左頂點時取等號，
故線段TQ的最大值為2．

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