一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若AB=a，AD=b，AA1=c，則與BM相等的向量是( )
A. 12a+12b+c
B. ?12a+12b+c
C. 12a?12b+c
D. ?12a?12b+c
2.已知直線l的一個(gè)方向向量n=(?1,2)，且過點(diǎn)(?1,2)，則直線l的方程為( )
A. 2x+y=0B. x?2y+5=0C. x+2y?3=0D. 2x?y+4=0
3.已知a=(2,0,?1),b=(3,?2,5)，則向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 15(3,?2,5)B. 138(3,?2,5)C. 15(2,0,?1)D. 138(2,0,?1)
4.直線l1：ax+3y+2a=0與直線l2：2x+(a?1)y+(a+1)=0平行，則“l(fā)1//l2”是“a=?2”的( )
A. 充分不必要條件B. 充要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要
5.已知兩點(diǎn)M(3,?1)，N(2,5)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是( )
A. (?∞,?1]B. [4,+∞)
C. [?1,4]D. (?∞,?1]∪[4,+∞)
6.以A(2,1)，B(4,2)，C(8,5)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于( )
A. 1B. 45C. 65D. 2
7.若動(dòng)點(diǎn)A、B分別在直線l1：x+y?7=0和l2：x+y?5=0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為( )
A. 3 2B. 2 3C. 3 3D. 4 2
8.三棱錐A?BCD滿足BC?AC=BD?AD=2，二面角C?AB?D的大小為60°，CD⊥AB，AB=4，CD=3，則三棱錐A?BCD外接球的體積為( )
A. 7πB. 28πC. 7 7π3D. 28 7π3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是( )
A. 空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面
B. 若a?b>0，則是銳角
C. 已知向量{a,b,c}組是空間的一個(gè)基底，則{2a,b,c?a}也是空間的一個(gè)基底
D. 若對空間中任意一點(diǎn)O，有OP=112OA+14OB+23OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
10.已知直線l： 3x?y+1=0，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 直線l的一個(gè)法向量為( 3,1)
B. 若直線m：x? 3y+1=0，則l⊥m
C. 點(diǎn)( 3,0)到直線l的距離是2
D. 過(2 3,2)與直線l平行的直線方程是 3x?y?4=0
11.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是( )
A. 當(dāng)P在平面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P?AA1D1D的體積不變
B. 當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]
C. 若點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則使直線A1P與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡為橢圓
D. 若F是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)P滿足PF//平面B1CD1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若直線l的斜率k∈[1, 3)，則直線l的傾斜角θ的取值范圍為______．
13.過點(diǎn)(2,?1)且在x軸、y軸上截距相等的直線方程為______．
14.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+2+m(y?7)=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx?y?m+3=0交于點(diǎn)P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知直線l：(a?1)y=(2a?3)x+1．
(1)求證：直線l過定點(diǎn)；
(2)若直線l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知直線l1：2x?(a?1)y?2=0，l2：(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R)．
(1)若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若l1//l2，求l1，l2之間的距離．
17.(本小題15分)
如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，∠DAB=90°，AD//BC，E，F(xiàn)，G分別為A1B1，A1B，CD的中點(diǎn)．
(1)證明：FG//平面CD1E.
(2)若A1A=AD=AB=2，BC=1，求二面角B?CD1?E的余弦值．
18.(本小題17分)
如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA．
(1)證明：OA⊥BC；
(2)當(dāng)AO=1時(shí)，求點(diǎn)E到直線BC的距離；
(3)若二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐E?BCD的體積．
19.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°．
(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；
(2)設(shè)AB=AP．
①若直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 3344，求線段AB的長．
②在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G為球心的球上？若存在，求線段AB的長；若不存在，說明理由．
參考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.C
6.A
7.A
8.D
9.ACD
10.CD
11.AB
12.[π4,π3)
13.x+y?1=0或x+2y=0
14.[5,5 2]
15.解：(1)由l：(a?1)y=(2a?3)x+1，即a(2x?y)?3x+y+1=0，
則2x?y=0?3x+y+1=0，解得x=1y=2，
所以直線過定點(diǎn)(1,2)；
(2)

如圖所示，結(jié)合圖像可知，
當(dāng)a=1時(shí)，直線斜率不存在，方程為x=1，不經(jīng)過第二象限，成立；
當(dāng)a≠1時(shí)，直線斜率存在，方程為y=2a?3a?1x+1a?1，
又直線不經(jīng)過第二象限，則2a?3a?1>01a?1≤0，解得a0)，則E(0,13,2t3)，
因?yàn)镺A⊥平面BCD，故平面BCD的一個(gè)法向量為OA=(0,0,t)，
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，又BC=( 32,32,0),BE=(0,43,2t3)，
所以由n?BC=0n?BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0，
令x= 3，則y=?1，z=2t，故n=( 3,?1,2t)，
因?yàn)槎娼荅?BC?D的大小為45°，
所以|cs|=|n?OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
即4t2(4+4t2)=24，即44t2+4=11+t2=12，
得1+t2=2，即t2=1，得t=1，所以O(shè)A=1，
又S△OCD=12×1×1× 32= 34，所以S△BCD= 32，
故VE?BCD=13S△BCD?EF=13× 32×23= 39．
19.解：(1)在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，
設(shè)AB=t，則AP=t，由AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，
則B(t,0,0)，P(0,?t2, 3t2)，因?yàn)锳D=5?t，則D(0,5?t,0)，C(1,4?t,0)，
所以CP=(?1,t2?4, 3t2)，CD=(?1,1,0)，
①設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，由n⊥CP，n⊥CD，
得?x+t?82y+ 3t2z=0?x+y=0，
可取n=(1,1,10?t 3t)，
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=|csn,BP|，BP=(?t,?t2, 3t2)，
即 3344=|?t?t2+10?t2 1+1+(10?t 3t)2 t2+t24+3t24|，
化簡得：23t2?116t+140=0，
解得t=2或t=7023，
即AB=2或AB=7023．
②如圖，假設(shè)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G為球心的球上，
由GC=GD，得?angGCD=?angGDC=45°，所以∠CGD=90°，
所以GD=CDcs45°=1，
又AB=t得AD=5?t，AG=AD?GD=4?t，所以G(0,4?t,0)，P(0,?t2, 3t2)，
由GP=GD得[?t2?(4?t)]2+( 3t2)2=1，
即(t2?4)2+34t2=1，
亦即t2?4t+15=0(?)，
因?yàn)棣?(?4)2?4×15

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