1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，則z的虛部為( )
A. 3iB. ?3iC. 3D. ?3
2.已知集合A={x|x?2≤0}，B={x|x2+2x?30)，f(x1)=?3，f(x2)=3，且|x1?x2|的最小值為2π，則ω的值為( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知向量a=(1,1),b=(x,?1)，則“x=?1”是“(a+b)⊥b”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 非充分非必要條件
5.在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA?sinB)，則∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若an=n(8?n)(n=1,2,?)，則( )
A. {an}有最大項(xiàng)，{Sn}有最大項(xiàng)B. {an}有最大項(xiàng)，{Sn}有最小項(xiàng)
C. {an}有最小項(xiàng)，{Sn}有最大項(xiàng)D. {an}有最小項(xiàng)，{Sn}有最小項(xiàng)
7.在等腰梯形ABCD中，AB=?2CD，M為BC的中點(diǎn)，則AM=( )
A. 12AB+12ADB. 34AB+12ADC. 34AB+14ADD. 12AB+34AD
8.已知函數(shù)f(x)=aex?x在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A. e2B. eC. e?1D. e?2
9.點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BD，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若PA1//面AMN，則PA1的長(zhǎng)度范圍是( )
A. [2, 5]
B. [3 22, 5]
C. [3 22,3]
D. [2,3]
10.已知函數(shù)f(x)=x2?x,x≤0x?alnx,x>0，若?x1≤0，?x2>0，使f(x2)=f(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. (?∞,0)∪[e，+∞)B. [e,+∞)
C. (0,e]D. [0,e]
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.二項(xiàng)式( x?2x)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 .(用數(shù)字作答)
12.函數(shù)f(x)=1x+ 1?x的定義域是______．
13.已知命題p：?x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命題p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
14.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，則EF?EA= ______；若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1，則EM?EN的最小值為_(kāi)_____．
15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①D1O⊥AC；
②存在一點(diǎn)P，D1O//B1P；
③若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為 5；
④若P到直線D1C1的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題12分)
在△ABC中，a=1，b=2．
(1)若c=2 2，求△ABC的面積：
(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在，求∠A．
條件①：∠B=2∠A；條件②：∠B=π3+∠A；條件③：∠C=2∠A．
注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
17.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求證：PD⊥AB；
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說(shuō)明理由．
18.(本小題12分)
人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過(guò)，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字(或標(biāo)點(diǎn))的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率．
(1)求a的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；
(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；
(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)B進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫(xiě)中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰(shuí)在前面更合適？(結(jié)論不要求證明)
19.(本小題12分)
已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(?2,1)和Q(2 2,0)．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)G(0,2)作直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，直線PA交y軸于點(diǎn)M，直線PB交y軸于點(diǎn)N.若|GM|?|GN|=2，求直線l的方程．
20.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=xeax(a>0)．
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[?1,1]上的最大值與最小值；
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，求證：f(x)≥lnx+x+1．
21.(本小題12分)
對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，a3，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai?ai+1|(i=1,2)，且b3=|a3?a1|，記作B=T(A).繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
(Ⅰ)直接寫(xiě)出A：2，6，4經(jīng)過(guò)1次“T變換”得到的數(shù)列B，及B再經(jīng)過(guò)3次“T變換”得到的數(shù)列E；
(Ⅱ)若A經(jīng)過(guò)n次“T變換”后變換結(jié)束，求n的最大值；
(Ⅲ)設(shè)A：a1，a2，a3(ai∈N,i=1,2,3)，B=T(A).已知B：2，a，b，且B的各項(xiàng)之和為2022，若B再經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．
參考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.B
10.A
11.60
12.(?∞,0)∪(0,1]
13.[0,1)
14.2 114
15.①③
16.解：(1)在△ABC中，a=1，b=2，c=2 2，
由余弦定理，可得csC=a2+b2?c22ab=1+4?82×2×1=?34，
又C∈(0,π)，可得sinC= 1?916= 74，
故S△ABC=12ab?sinC=12×1×2× 74= 74；
(2)若選條件①：由題意有B=2A，a=1，b=2，
則由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2csA=2，
即csA=1，又A∈(0,π)，csA≠1，故△ABC不存在；
若選條件②：由題意有B=π3+A，a=1，b=2，
則由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，
即32sinA? 32csA=0，即 3sin(A?π6)=0，
所以sin(A?π6)=0，又A∈(0,π)，所以A?π6∈(?π6,5π6)，
故A?π6=0，即A=π6；
若選條件③：由題意有C=2A，a=1，b=2，
則由正弦定理，可得sinCsinA=ca，即sin2AsinA=2csA=ca，
由余弦定理，可得b2+c2?a22bc=c2a，
即4+c2?1=2c2，解得c= 3，
故csA=c2a= 32，又A∈(0,π)，所以A=π6；
綜上，只能選擇條件②或③，解得A=π6．
17.(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，所以PD⊥AB．
(2)解：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，
因?yàn)镻A=PD，AC=CD，所以PO⊥AD，CO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,1,0)，B(1,1,0)，D(0,?1,0)，P(0,0,1)，
在Rt△AOC中，OA=12AD=1，AC= 5，所以O(shè)C= AC2?OA2=2，所以C(2,0,0)，
所以PD=(0,?1,?1)，PC=(2,0,?1)，PB=(1,1,?1)，
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則n?PD=0,n?PC=0,即?y?z=0,2x?z=0,
令z=2，則x=1，y=?2，所以n=(1,?2,2)，
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|PB?n||PB|?|n|=|1?2?2| 3×3= 33，
所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 33．
(3)解：設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，且AM=λAP=λ(0,?1,1)，λ∈[0,1]，
則BM=BA+AM=(?1,0,0)+λ(0,?1,1)=(?1,?λ,λ)，
由(2)知平面PCD的法向量為n=(1,?2,2)，
若BM/?/平面PCD，則BM?n=0，即?1+2λ+2λ=0，解得λ=14，
所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM/?/平面PCD，此時(shí)AMAP=14．
18.解：(1)由題意可得a=30?6?4?2?2=16；
故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為301200=140；
(2)由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為P=630=15，
則X～B(2,15)，則P(X=0)=C20(15)0(1?15)2=1625，P(X=1)=C21(15)1(1?15)1=825，
P(X=2)=C22(15)2(1?15)0=125，
故X的分布列為：
則E(X)=2×15=25．
(3)由題意知樣本語(yǔ)料庫(kù)B中“一格”出現(xiàn)的概率為2800=1400，
甲類題材中“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為61200=1200，
由于1200>1400，故輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”在前面更合適．
19.解：(I)由題意可得：a=2 2，4a2+1b2=1，a2=b2+c2，
聯(lián)立解得a=2 2，b= 2，c= 6，
∴橢圓E的方程為x28+y22=1．
(Ⅱ)直線l的斜率不存在時(shí)，A(0, 2)，B(0,? 2)，即M(0, 2)，N(0,? 2)，滿足|GM|?|GN|=2，此時(shí)直線l的方程為x=0．
直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx+2x28+y22=1，化為：(1+4k2)x2+16kx+8=0，
Δ=162k2?32(1+4k2)>0，化為k12．
∴x1+x2=?16k1+4k2，x1x2=81+4k2，
直線PA的方程為：y?1=y1?1x1+2(x+2)，
令x=0，可得yM=2y1+x1x1+2．
直線PB的方程為：y?1=y2?1x2+2(x+2)，
令x=0，可得yN=2y2+x2x2+2．
∵|GM|?|GN|=2，
∴|2?2y1+x1x1+2||2?2y2+x2x2+2|=2，所以(2k?1)2|x1|x1+2·x2x2+2|=2，
即(2k?1)2|x1x2x1x2+2(x1+x2)+4|=2，即(2k?1)2|84k2+184k2+1+?32k4k2+1+4|=2
即|(2k?1)24k2?8k+3|=1，因?yàn)閗>12，所以得|2k?12k?3|=1，即k=1，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，此時(shí)直線l為y=x+2
綜上所述，直線l的方程為y=x+2或x=0．
20.解：(Ⅰ)f′(x)=(1+ax)eax，f′(0)=1，f(0)=0，
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x；
(Ⅱ)f′(x)=(1+ax)eax，a>0
當(dāng)01時(shí)，f′(x)=0，得x=?1a∈(?1,0)，
f′(x)在區(qū)間[?1,?1a)小于0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，
f′(x)在區(qū)間[?1a,1]大于0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)的最小值為f(?1a)=?1ae，
f(?1)=?e?a，f(1)=ea，顯然f(1)>f(?1)，所以函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=ea，
綜上可知，當(dāng)01時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為f(?1a)=?1ae，最大值為f(1)=ea；
證明：(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xex，即證明不等式xex≥lnx+x+1，
設(shè)g(x)=xex?lnx?x?1,x>0,g′(x)=(x+1)(ex?1x)，
設(shè)?(x)=ex?1x,x>0,?′(x)=ex+1x2>0，
所以?(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，并且?(12)= e?20，
所以函數(shù)?(x)在(12,1)上存在唯一零點(diǎn)x0，使?(x0)=ex0?1x0=0，
即g′(x0)=0，則在區(qū)間(0,x0)，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增，
所以g(x)的最小值為g(x0)=x0ex0?lnx0?x0?1，
由?(x0)=ex0?1x0=0，得x0ex0=1，且x0=?lnx0，
所以g(x0)=0，
所以g(x)=xex?lnx?x?1≥0，即f(x)≥lnx+x+1．
21.解：(I)B=T(A)，A：2，6，4經(jīng)過(guò)1次“T變換”得B：4，2，2，
B：4，2，2，經(jīng)過(guò)1次“T變換”得2，0，2；B經(jīng)過(guò)第2次“T變換”得2，2，0；B經(jīng)過(guò)第3次“T變換”得0，2，2.即E：0，2，2．
(II)n的最大值為1，
①先證明n可以為1，
構(gòu)造A：1，1，1，則T(A)：0，0，0，變換結(jié)束，此時(shí)n=1．
②再證明n≤1，
反證法：假設(shè)n≥2，
設(shè)經(jīng)過(guò)n?1次“T變換”后得到的數(shù)列為x，y，z，且x，y，z不全為0．
因?yàn)锳經(jīng)過(guò)n次“T變換”后變換結(jié)束，
所以|x?y|=|y?z|=|z?x|=0，所以x=y=z=t( t為非0常數(shù))
設(shè)x，y，z(即t，t，t )由x1，y1，z1進(jìn)行“T變換”得到，
則|x1?y1|=|y1?z1|=|z1?x1|=t≠0
不妨設(shè)x1≥y1≥z1
所以x1?y1=y1?z1=x1?z1=t≠0
所以x1?z1=(x1?y1)+(y1?z1)=t+t=2t，與x1?z1=t矛盾．
綜上，n的最大值為1，
(III)因?yàn)锽的各項(xiàng)之和為2+a+b=2022，不妨設(shè)a≤b，所以b為B的最大項(xiàng)
即|a1?a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a1≤a2≤a3，
當(dāng)a1≥a2≥a3時(shí)，可得2=a1?a2a=a2?a3b=a1?a3，
所以2+a=b，則a=1009，b=1011，
當(dāng)a1≤a2≤a3時(shí)，可得2=a2?a1a=a3?a2b=a3?a1，
所以2+a?b，則a=1009，b=1011
定義：若一個(gè)數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為2，較大兩項(xiàng)相差2，則稱此數(shù)列與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)相同“．
若數(shù)列B的三項(xiàng)為x+2，x，2(x≥2)，則無(wú)論其順序如何，經(jīng)過(guò)“T變換“得到的數(shù)列的三項(xiàng)為x，x?2，2 (不考慮順序)
所以與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)相同”的數(shù)列經(jīng)過(guò)“T變換“得到的數(shù)列也與B“結(jié)構(gòu)相同”，除2以外其余各項(xiàng)減少2，各項(xiàng)之和減少4．
因此，數(shù)列B：2，1009，1011經(jīng)過(guò)504次“T變換”一定得到各項(xiàng)為2，1，3，(不考慮順序)的數(shù)列．
對(duì)2，1，3，繼續(xù)進(jìn)行“T變換”，依次得1，2，1；1，1，0；0，1，1；
各項(xiàng)為1，1，0的數(shù)列，無(wú)論順序如何，經(jīng)過(guò)“T變換”得到的數(shù)列會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，各項(xiàng)之和不再減少．
所以，至少通過(guò)506次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小．
故k的最小值為506． “一”與其后面一個(gè)字(或標(biāo)點(diǎn))的搭配情況
頻數(shù)
“一個(gè)”
6
“一些”
4
“一窮”
2
“一條”
2
其他
a
X
0
1
2
P
1625
825
125

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年北京十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年北京十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案），共8頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年北京交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年北京交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含答案），共9頁(yè)。

2024-2025學(xué)年北京交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年北京交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學(xué)年北京市平谷中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市平谷中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）
2024-2025學(xué)年北京三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案)

2024-2025學(xué)年北京三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案)
2024-2025學(xué)年北京交大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京交大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）
2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部