1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足點(diǎn)(n,an)在直線(xiàn)y=2x?1上，則a2=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.平行線(xiàn)x?2y+3=0與x?2y?2=0之間的距離為( )
A. 5B. 55C. 52D. 5
3.在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100，則a1+a13的值為( )
A. 20B. 30C. 40D. 50
4.已知A(?1,0)，B(1,0)，在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足直線(xiàn)AM的斜率與直線(xiàn)BM的斜率之積為2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )
A. x2?y22=1(x>0)B. x2?y22=1(y>0)
C. x22?y2=1(x>0)D. x22?y2=1(y>0)
5.如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/?.這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到的時(shí)長(zhǎng)為( )
A. 1小時(shí)B. 0.75小時(shí)C. 0.5小時(shí)D. 0.25小時(shí)
6.如圖，橢圓x2a2+y2=1(a>1)與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是過(guò)左焦點(diǎn)F1且垂直x軸的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AB//OP，則橢圓的焦距為( )
A. 3 B. 2 3
C. 1 D. 2
7.已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程是y= 2x，過(guò)其左焦點(diǎn)F(? 3,0)作斜率為2的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)|AB|=( )
A. 2 5B. 4 5C. 10D. 10 2
8.已知離心率為12的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為M，線(xiàn)段MF2的中點(diǎn)為N，射線(xiàn)F1N與C交于點(diǎn)A，若|AF1|=2 3，則|AF2|=( )
A. 10 3?63B. 8 3?63C. 10 3?123D. 8 3?123
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說(shuō)法正確的是( )
A. 過(guò)點(diǎn)(?1,2)且垂直于直線(xiàn)x?2y+3=0的直線(xiàn)方程為2x+y=0
B. 過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線(xiàn)方程為2x+y=0
C. 曲線(xiàn)x2+12y=0過(guò)點(diǎn)(0,?18)的最短弦長(zhǎng)為12
D. 直線(xiàn)y=k(x?2)+4與曲線(xiàn)y=1+ 4?x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍(712,34]
10.設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，E(3,1)為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 準(zhǔn)線(xiàn)l的方程是x=?2B. |ME|+|MF|的最小值為4
C. |ME|?|MF|的最大值為5D. 以線(xiàn)段MF為直徑的圓與y軸相切
11.已知f(x,y,n)=x2n+y2n?1(n≥1,n∈Z)，定義方程f(x,y,n)=0表示的是平面直角坐標(biāo)系中的“方圓系”曲線(xiàn)，記Sn表示“方圓系”曲線(xiàn)f(x,y,n)=0所圍成的面積，則( )
A. “方圓系”曲線(xiàn)f(x,y,1)=0所圍成的面積為1
B. S20,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線(xiàn)的左支上一點(diǎn)P滿(mǎn)足sin∠PF1F2sin∠PF2F1=3，以F2為圓心的圓與F1P的延長(zhǎng)線(xiàn)相切于點(diǎn)M，且F1M=2F1P，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a2+a4=10，S6=36．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=(?1)nan，求b1+b2+b3+?+b20．
16.(本小題15分)
已知點(diǎn)C是平面直角坐標(biāo)系中異于原點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C且與y軸垂直的直線(xiàn)與直線(xiàn)x=?2交于點(diǎn)M，且向量OC與向量OM垂直．
(1)求點(diǎn)C的軌跡方程E；
(2)設(shè)C位于第一象限，以O(shè)C為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N，且∠NCO=30°，求|OC|的值．
17.(本小題15分)
在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足ccsC=a+bcsA+csB．
(1)求角C的大?。?br>(2)若ab=1，求△ABC外接圓的面積的最小值．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3，AB=AD=2,PB= 13,E為PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PF=3FC．
(1)求證：AB⊥平面PAD；
(2)求平面FAE與平面AED夾角的余弦值；
(3)線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得DQ//平面FAE，說(shuō)明理由？
19.(本小題17分)
已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，設(shè)點(diǎn)A(0,b)，在△AF1F2中，∠F1AF2=π2，周長(zhǎng)為2+2 2．
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓Γ相交于B、C兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AB與AC的斜率之和為?1，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)記第(2)問(wèn)所求的定點(diǎn)為E，點(diǎn)P為橢圓Γ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)△AEP面積S的不同取值范圍，討論△AEP存在的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
參考答案
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.C
9.AC
10.BD
11.BCD
12.x=0
13.an=2n
14. 3
15.解：(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差設(shè)為d，
由a2+a4=10，S6=36，可得a2+a4=2a3=10S6=6(a1+a6)2=36?a3=5a1+a6=12，而a1+a6=a3+a4=12?a4=7，
所以{an}的公差d=a4?a3=2，
故其通項(xiàng)公式為an=a3+(n?3)d=5+2(n?3)=2n?1．
(2)由bn=(?1)nan，
則b1+b2+b3+?+b20=?a1+a2?a3+a4???a19+a20
=(a2?a1)+(a4?a3)+?+(a20?a19)=2×10=20．
16.解：(1)根據(jù)題意可設(shè)設(shè)C(x,y)，M(?2,y)，
則OC=(x,y),OM=(?2,y)，
∵OC?OM=?2x+y2=0，∴y2=2x且x≠0，
∴點(diǎn)C的軌跡方程E為y2=2x且x≠0；
(2)由題意易知∠CNO=90°，∴CN⊥y軸，
又∠NCO=30°，∴∠NOC=60°，
∴tan∠NOC=|CN||ON|= 3，又C位于第一象限，
∴yC=|ON|,xC=|CN|=yC22，
∴xCyC=yC2= 3?yC=2 3，∴xC=yC22=6，
∴|OC|= 36+12=4 3．

17.解：(1)由ccsC=a+bcsA+csB及正弦定理，
可得sinCcsC=sinA+sinBcsA+csB，
即sinCcsA+sinCcsB=sinAcsC+sinBcsC，
即sinCcsA?sinAcsC=sinBcsC?sinCcsB，
則sin(C?A)=sin(B?C)，
由A+B+C=π且A，B，C∈(0,π)，
可得C?A=B?C或C?A+B?C=π(舍)，
所以2C=A+B，即3C=π，
所以C=π3；
(2)由正弦定理，可得外接圓半徑r=c2sinC=c 3，
故要使外接圓的面積最小，只需c最小，
而c2=a2+b2?2abcsC=a2+b2?ab≥2ab?ab=ab=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)c=1，則rmin=1 3，
所以△ABC外接圓的面積的最小值為πr2=π3．
18.解：(1)證明：在△PAB中，PA2+AB2=32+22=( 13)2=PB2，
所以∠PAB=90°，即AB⊥PA，
又因?yàn)锳B⊥AD，在平面PAD中，PA?面PAD，AD?面PAD，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD；
(2)因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PA，
由(1)已證AB⊥PA，且已知AB⊥AD，
故以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則D(2,0,0)，P(0,0,3)，C(3,2,0)，
所以AP=(0,0,3)，AD=(2,0,0)，AC=(3,2,0)，CP=(?3,?2,3)，
因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，
所以AE=12(AP+AD)=(1,0,32)，
由PC=3FC知，AF=AC+CF=AC+13CP=(3,2,0)+(?1,?23,1)=(2,43,1)，
設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，
則n?AE=0n?AF=0，即x+32z=02x+43y+z=0，
令z=2，則x=?3，y=3，
于是n=(?3,3,2)，
又因?yàn)锳B⊥平面PAD，
所以平面PAD的法向量為AB=(0,2,0)，
所以cs=n?AB|n||AB|=3×22× 9+9+4=3 2222，
平面FAE與平面AED夾角的余弦值3 2222；
(3)設(shè)Q是線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]，使得AQ=λAC，
因?yàn)锳C=(3,2,0)，DA=(?2,0,0)，
所以DQ=DA+AQ=DA+λAC=(3λ?2,2λ,0)，
因?yàn)镈Q?平面AEF，所以DQ/?/平面AEF，
當(dāng)且僅當(dāng)DQ?n=0，
即(3λ?2,2λ,0)(?3,3,2)=0，
即(3λ?2)×(?3)+2λ×3+0×2=0，
解得λ=2，
因?yàn)棣?2?[0,1]，所以線(xiàn)段AC上不存在Q使得DQ/?/平面AEF．
19.解：(1)由∠F1AF2=π2，則∠F1AO=π4，∴b=c= 22a，
由△AF1F2周長(zhǎng)為2+2 2，∴2(a+c)=2+2 2，
綜上，可得a= 2,b=c=1，即橢圓Γ的方程為x22+y2=1．
(2)證明：設(shè)l：y=kx+m，B(x1,y1)，C(x2,y2)，
聯(lián)立x2+2y2=2y=kx+m，消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2?2=0，
顯然Δ>0，則x1+x2=?4km1+2k2，x1x2=2(m2?1)1+2k2，
又kAB+kAC=y1?1x1+y2?1x2=kx1+m?1x1+kx2+m?1x2=?1，
∴(2k+1)x1x2+(m?1)(x1+x2)=0，
則(2k+1)?2(m2?1)1+2k2=(m?1)?4km1+2k2，
又m≠1，整理得2k+m+1=0，則l：y=kx?2k?1=k(x?2)?1，
∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(2,?1)，得證；
(3)由(2)知，lAE：x+y?1=0，且A(0,1)，E(2,?1)，則|AE|=2 2，
設(shè)直線(xiàn)l：y=?x+t，與橢圓相切，聯(lián)立有x2+2(t?x)2=2，
整理得3x2?4tx+2t2?2=0，則Δ=16t2?24(t2?1)=0，可得t=± 3，
∴兩切線(xiàn)到lAE的距離分別為d1= 3+1 2,d2= 3?1 2，

當(dāng)d1= 3+1 2，則S△AEP=12×2 2× 3+1 2= 3+1，
當(dāng)d2= 3?1 2，則S△AEP=12×2 2× 3?1 2= 3?1，
∴S△AEP> 3+1時(shí)，△AEP為0個(gè)；S△AEP= 3+1時(shí)，△AEP為1個(gè)；
3?1

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