專題11 動(dòng)點(diǎn)最值（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)與訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題11 動(dòng)點(diǎn)最值之將軍飲馬模型
模型一、兩定一動(dòng)模型

例題1. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為　　．

【解答】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB?h＝AB?AD，∴h＝AD＝4，
∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．
在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值為2．故答案為：2．
【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF外，在對(duì)角線BF上有一點(diǎn)P，使PC＋PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（）
A. B. C. 12 D.

【答案】B
【解析】連接AC、AE，過點(diǎn)C作CG⊥AB，如圖所示：

∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，
即可得：E關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接AC交BF于P，則此時(shí)EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，
∵正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在Rt△BCG中，∠CBG＝90o－60o＝30o，BC＝2，∴CG＝1，，
，
，即這個(gè)最小值的平方為.
【變式訓(xùn)練2】如圖Rt△ABC和等腰△ACD以AC為公共邊，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且滿足AD⊥
AB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)F，DE交AB于點(diǎn)E，已知AB＝5，BC＝3，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC
的周長取得最小值時(shí)，DP的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：連接PB、PC、PA，要使得△PBC的周長最小，只要PB+PC最小即可，
∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴當(dāng)P與E重合時(shí)，PA+PB最小，
∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，
∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，
∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，
∴DE＝＝，故選：B．

【變式訓(xùn)練3】如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？

【答案】∠ECF＝30o
【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.
模型二、一定兩動(dòng)

例.如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別是射線OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝4，則△PMN的周長的最小值為（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M′、N′，連接OC、
OD、PM′、PN′．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴當(dāng)M、N與M′、N′重合時(shí)，
△PMN周長最?。絇M′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，選B．
【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB
上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（　?。?br />
A．140° B．100° C．50° D．40°
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，
連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．
【變式訓(xùn)練2】如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120o，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK＋QK的最小值為 .

【解答】
【解析】過點(diǎn)C作CE⊥AB，如圖所示：
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120o，∴∠ABC＝60o，BC＝2，BD平分∠ABD，
∴BE＝，CE＝BE＝，
∵BD平分∠ABD，∴在AB上作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，
當(dāng)P',K,Q三點(diǎn)共線且P'Q⊥AB時(shí)，PK＋QK有最小值，
即最小值為平行線AB,CD的距離，則最小值為.
【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90o，∠C＝90o，∠D＝60o，AD＝3，AB＝，若點(diǎn)M、N分別為邊CD，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△BMN的周長最小值為（）
A. B. C. 6 D. 3

【答案】C
【解析】作點(diǎn)B關(guān)于CD、AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)B'和點(diǎn)B''，連接B'B''交DC和AD于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接MB、NB；再DC和AD上分別取一動(dòng)點(diǎn)M’和N’（不同于點(diǎn)M和N），連接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如圖1所示：
∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'， B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，
又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，
∴NB＋NM ＋BM＜ BM'＋M’N'＋BN'，＝NB＋NM＋BM時(shí)周長最??；

連接DB，過點(diǎn)B'作B'H⊥DB''于B’’D的延長線于點(diǎn)H，如圖示2所示：
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30o，
∴∠5＝30o，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60o，∴∠1＝30o，∴∠7＝30o，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120o，DB'＝DB''＝DB＝，
又∵∠B'DB"＋∠6＝180o，∴∠6＝60o，∴HD＝，HB'＝3，
在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，
∴＝NB＋NM＋BM＝6，故選C.
【變式訓(xùn)練4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)P、Q分
別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值是　2?。?br />
【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接CP′交AD于點(diǎn)Q，則
CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分線，點(diǎn)P在AC邊上，點(diǎn)Q在直線AD上，
∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴點(diǎn)P′在邊AB上．
∵當(dāng)CP′⊥AB時(shí)，線段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且當(dāng)點(diǎn)P′是斜邊AB的中點(diǎn)時(shí)，CP′⊥AB，
此時(shí)CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．
模型三、兩段之差模型
例.如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB＝12，△BMC的周長是20，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 2

【解答】B
【解析】∵M(jìn)N垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，
在MN上取點(diǎn)P，∵M(jìn)N垂直平分AC，如圖所示，連接PA、PB、PC，∴PA＝PC，

∴PA－PB＝PC－PB，
在△PBC中PC－PB＜BC
當(dāng)P、B、C共線時(shí)（PC－PB）有最大值，此時(shí)PC－PB＝BC＝8，故選B.
【變式訓(xùn)練1】如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM－PN的最大值為 .

【解答】2
【解析】如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN',MN'，
根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，
當(dāng)P,M,N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”,
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，∴AC＝6，
∵O為AC中點(diǎn)，∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，
，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60o，
∵∠N'CM＝60o，∴△N'CM為等邊三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值為2.
【變式訓(xùn)練2】如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|PA﹣PB|的最大值等于　10?。?br />
【答案】10
【解答】解：延長AB交MN于點(diǎn)P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
過點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，
故答案為：10．
模型四、特殊型
例1.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝3，當(dāng)CQ＝　　時(shí)，四邊形APQE的周長最?。?br />
【解答】解：點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位到M，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接MF，交BC于Q，
此時(shí)MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，
∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，過M作MN⊥BC于N，設(shè)CQ＝x，則NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，
∵M(jìn)N＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，則CQ＝
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P
的下方），當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【解答】解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)B'（0，1），過點(diǎn)A作直線MN，使得MN平行于直線y＝x，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0），連接A'B'交直線y＝x于點(diǎn)Q，如圖
理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四邊形APQA'是平行四邊形，∴AP＝A'Q
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝，∴當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即A'，Q，B'三點(diǎn)共線時(shí)A'Q+B'Q值最小
∵B'（0，1），A'（2，0），∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1
∴x＝﹣x+1，即x＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)（，），故選：A．
課后訓(xùn)練
1.如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，
由對(duì)稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
選D．

2.如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150o，CD與BA的延長線交于E點(diǎn)，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ最小值是( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18

【答案】D
【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，EF，則EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150o，∴∠BEC＝30o，∴∠BEF＝60o，∴△BEF是等邊三角形，
連接BP，PF，PQ，則BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，
當(dāng)F，P，Q在同一直線上且FQ⊥EB時(shí)，BP＋PQ的最小值為FQ的長，
此時(shí)，Q為EB的中點(diǎn)，故與A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ＝，
∴Rt△QEF中，F(xiàn)Q＝AE＝18，
∴BP＋PQ最小值值為18，故選D.
3.如圖，已知等邊△ABC的面積為4，P、Q、R分別為邊AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PR+QR的最小值是（　?。?br />
A．3 B．2 C． D．4
【解答】解：如圖，作△ABC關(guān)于AC對(duì)稱的△ACD，點(diǎn)E與點(diǎn)Q關(guān)于AC對(duì)稱，連接ER，則QR＝ER，
當(dāng)點(diǎn)E，R，P在同一直線上，且PE⊥AB時(shí)，PR+QR的最小值是PE的長，
設(shè)等邊△ABC的邊長為x，則高為x，
∵等邊△ABC的面積為4，
∴x×x＝4，解得x＝4，
∴等邊△ABC的高為x＝2，
即PE＝2，故選：B．
4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（2，3）、點(diǎn)B（3，4）為圓心，1、3為半徑作⊙A、⊙B，M，N
分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為（　?。?br />
A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．
【解答】解：作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，
則此時(shí)PM+PN最小，∵點(diǎn)A坐標(biāo)（2，3），∴點(diǎn)A′坐標(biāo)（2，﹣3），
∵點(diǎn)B（3，4），∴A′B＝＝5，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值為5﹣4．故選：A．
5.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則PC＋PD的最小值為 .

【答案】
【解析】如圖，作PM⊥AD于M，作點(diǎn)D關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，EC.設(shè)AM＝，
∵四邊形ABC都是矩形，AB//CD， AB＝ CD＝4， BC＝AD＝6，
，∴，∴＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，，
∵PM垂直平分線段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC≥，
∴PD＋PC的最小值為.
6.如圖，矩形ABCO的邊OC在x軸上，邊OA在y軸上，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），
點(diǎn)E、F分別足OC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段OA、AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則當(dāng)四邊形EFNM
的周長最小時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為?。?，6）?。?br />
【解答】解：如圖所示：作點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F′，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接E′F′交AB與點(diǎn)N．
∵C的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)E、F分別足OC、BC的中點(diǎn)，
∴OE＝OE′＝4，F(xiàn)B＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，
∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，
∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案為：（4，6）．
7.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE
（1）說明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直線DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB＋PC最小，并求出此時(shí)PB＋PC的值.

【答案】（1）見解析；（2）12
【解析】（1）∵△ADC是等邊三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分線段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠ACB＝90o，∴∠ACE＋∠BCE＝90o＝∠CAE＋∠B＝90o，
∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE；
（2）連接PA,PB,PC，如圖所示：

∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90o，
∵∠DAC＝60o，∴∠CAB＝30o，∴∠B＝60o，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.
∴AB＝12，
∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB＋PA，
∴當(dāng)PB＋PC最小時(shí)，也就是PB＋PA最小，即P,B,A共線時(shí)最小，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E共點(diǎn)時(shí)，PB＋PC的值最小，最小值為12.
8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E為AD中點(diǎn)，M為CD上一點(diǎn)，PE⊥EM交CB于點(diǎn)P，EN平分∠PEM交BC于點(diǎn)N.

（1）求證：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）過點(diǎn)P作PG⊥EN于點(diǎn)G，K為EM中點(diǎn)，連接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
【答案】（1）見解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）
【解析】（1）證明：過P作PQ⊥AD于Q，則PQ＝AB，如圖所示：

∵AD＝2AB，E為AD中點(diǎn)，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，
∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90o，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90o，
∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；
（2）三者的數(shù)量關(guān)系是：BP2＋NC2＝PN2
①點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，顯然BP2＋NC2＝PN2成立；
②點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，N為BC的中點(diǎn)，顯然BP2＋NC2＝PN2成立；
③證明：連接BE、CE，如圖所示：

∵四邊形ABCD為矩形，AD＝2AB，E為AD中點(diǎn)，
∴∠A＝∠ABC＝90o，AB＝CD＝AE＝DE，
∴∠AEB＝45o，∠DEC＝45o，在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90o，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45o，∴∠EBC＝∠ECD，
又∵∠BEC＝∠PEM＝90o，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM
在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，
∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45o，在△EPN和△EMN中，，
∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，
在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；
（3）連接PM，如圖所示：

由（2），可得PN ＝MN， PE＝ ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三點(diǎn)共線，且G為PM的中點(diǎn)，
∵K為EM中點(diǎn)，，又∵∠D＝90o，，
由（2），可得△PEM為等腰直角三角形，
根據(jù)勾股定理，可得，，
∴當(dāng)ME取得最小值時(shí)，DK＋GK＋PG取得最小值，
即當(dāng)ME＝DE＝6時(shí)，DK＋GK＋PG有最小值，最小值為.

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