訓(xùn)練1 [2022全國卷甲]設(shè)拋物線 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) D ( p ，0)，過 F 的直線交 C 于 M ， N 兩點(diǎn).當(dāng)直線 MD 垂直于 x 軸時(shí)，｜ MF ｜＝3.(1)求 C 的方程.
(2)設(shè)直線 MD ， ND 與 C 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 A ， B ，記直線 MN ， AB 的傾斜角分 別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線 AB 的方程.
[解析]　如圖，根據(jù)(1)知 F (1，0)， D (2，0).
當(dāng) MN 的斜率存在時(shí)，設(shè) M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， A ( x 3， y 3)， B ( x 4， y 4)，
即 y ( y 1＋ y 2)－ y 1( y 1＋ y 2)＝4( x － x 1)，
所以直線 MN 的方程為 y ( y 1＋ y 2)－ y 1 y 2＝4 x .
同理可得，直線 AM 的方程為 y ( y 3＋ y 1)－ y 3 y 1＝4 x ，直線 BN 的方程為 y ( y 4＋ y 2) － y 4 y 2＝4 x ，直線 AB 的方程為 y ( y 4＋ y 3)－ y 4 y 3＝4 x .
因?yàn)?F (1，0)在 MN 上，所以 y 1 y 2＝－4.
因?yàn)?D (2，0)在 AM ， BN 上，所以 y 3 y 1＝－8， y 4 y 2＝－8，
所以直線 AB 的方程 y ( y 4＋ y 3)－ y 4 y 3＝4 x 可化為( y 1＋ y 2) y ＋8＝2 x ，
當(dāng) y 2＋ y 1＜0時(shí)，tan(α－β)＜0，不符合題意.
(2)過點(diǎn) P (0，－3)的直線 l 的斜率為 k ，交橢圓 E 于不同的兩點(diǎn) B ， C ，直線 AB ， AC 分別交直線 y ＝－3于點(diǎn) M ， N ，若｜ PM ｜＋｜ PN ｜≤15，求 k 的取值范圍.
由①②可得，｜ k ｜≤3.綜上可得－3≤ k ＜－1或1＜ k ≤3.所以 k 的取值范圍為[－3，－1)∪(1，3].
方法技巧圓錐曲線中最值(范圍)問題的求解方法
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線 l 1與橢圓 C 交于 D ， E 兩點(diǎn)，直線 l 2與橢圓 C 交于 M ， N 兩點(diǎn)，且 l 1⊥ l 2， l 1， l 2交于點(diǎn) P ，求｜ DE ｜·｜ MN ｜的取值范圍.
(2)過點(diǎn) M (0，2)的直線 l 與 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)，且∠ AOB 為銳角( O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，求 l 的斜率的取值范圍.
[解析]　由(1)得拋物線 C ： y 2＝4 x ，則 F (1，0)，顯然直線 MN 的斜率不可能為零，
(2)若直線 y ＝ kx －1與 C 的左、右兩支分別交于 M ， N 兩點(diǎn)，與 C 的兩條漸近線分 別交于 P ， Q 兩點(diǎn)，｜ MN ｜＝λ｜ PQ ｜，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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