學(xué)生用書P250命題點(diǎn)1　概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合例1 [2022新高考卷Ⅱ]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者 的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表).
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率.
[解析]　(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于 區(qū)間[20，70)的概率 P ＝(0.012＋0.017×2＋0.023 ＋0.020)×10＝0.89.
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該 地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人 患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于 該區(qū)間的概率，精確到 0.000 1).
[解析]　(3)設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間 [40，50)為事件 A ，患這種疾病為事件 B ，則 P ( A )＝16％＝0.16， P ( B )＝0.001，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間 [40，50)的概率為0.023×10＝0.23，即 P ( A ｜ B )＝0.23，所以 P ( AB )＝ P ( B ) P ( A ｜ B )＝0.001×0.23＝0.000 23，
方法技巧此類問題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決此類問題的關(guān) 鍵.在弄清統(tǒng)計(jì)圖表的含義的基礎(chǔ)上要掌握好樣本的數(shù)字特征、各類概率及隨機(jī)變量 的分布列、均值與方差的求解方法.
訓(xùn)練1 [2023重慶市模擬]某校隨機(jī)抽取100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得 到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：h)的頻率分布直方圖如下.若被抽取的這100名學(xué)生中， 每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8 h的有30人.
(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù) a ， b 的值；
[解析]　(1)由( b ＋0.22)×0.5×100＝30，得 b ＝0.38.∵0.5×(0.14＋ a ＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22)＝1，∴ a ＝0.26.
(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5)的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽取2人進(jìn) 行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；
(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的學(xué)生中按比例分 層隨機(jī)抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí) 間在[6.0，6.5)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
命題點(diǎn)2　概率與回歸分析綜合例2 [2023湖北荊荊宜三校聯(lián)考]近年來，我國大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢(shì)，各省 市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四 所大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)(單位：千人)，得到下表：
(2)假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.
(i)若該市 E 大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)(1)的結(jié)論估計(jì)該市政府要給 E 大學(xué) 選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；
方法技巧概率與回歸分析綜合問題的解題思路(1)充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(散點(diǎn)圖)作出判斷，確定是線性問題還是非 線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的 目的.(2)明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型解題.
訓(xùn)練2 某校課題小組為了研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間的關(guān) 系，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)做了初步處理，得 到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為 x (單位：千克)， 糧食畝產(chǎn)量為 y (單位：百千克).
表中 ti ＝ln xi ， zi ＝ln yi ( i ＝1，2，…，10).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷 y ＝ cxd 作為糧食畝產(chǎn)量 y 關(guān)于每畝化肥施用量 x 的經(jīng)驗(yàn)回歸方 程類型比較適宜.請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)每畝化肥 施用量為27千克時(shí)，糧食畝產(chǎn)量 y 的值.(預(yù)測(cè)時(shí)取e≈2.7)
(2)結(jié)合文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長將趨于停滯，已知 某化肥有效利用率 Z ～ N (0.54，0.022)，那么這種化肥的有效利用率超過56％的概率 為多少？
命題點(diǎn)3　概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合例3 [2023全國卷甲]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨 機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高 濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重 的增加量(單位：g).(1)設(shè) X 表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
.[解析]　(1) X 的所有可能取值為0，1，2，
[解析]　(1) X 的所有可能取值為0，1，2，
(2)試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5
(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù) m ，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于 m 與不小于 m 的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
所以有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有 差異.
方法技巧概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問題的解題思路(1)收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得 X 2的值后進(jìn)行比較并判斷；(2)按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.
訓(xùn)練3 [2022新高考卷Ⅰ]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生 習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查 了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)， 得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
1. [命題點(diǎn)1]某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品.已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計(jì)利 潤為0.4萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn) 品的市場(chǎng)月需求量 x (單位：件)在[155，205]內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5 組，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的月需求量，得到如圖所示的頻率分布折線圖.
(1)請(qǐng)根據(jù)頻率分布折線圖，估計(jì)該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值及方差；
(2)設(shè)市場(chǎng)月需求量為 M 件，由題意知， M 的所有可能值為160，170，180，190， 200，則 M 的分布列為
(2)以頻率分布折線圖的頻率估計(jì)概率，若該公司計(jì)劃環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量 n ∈[180， 190]， n ∈N*(單位：件)，求月利潤 Y (單位：萬元)的數(shù)學(xué)期望的最大值.
當(dāng)180≤ n ≤190， n ∈N*時(shí)，若市場(chǎng)月需求量為160，則 Y ＝96－0.2 n ；若市場(chǎng)月需求量為170，則 Y ＝102－0.2 n ；若市場(chǎng)月需求量為180，則 Y ＝108－0.2 n ；若市場(chǎng)月需求量為190或200，則 Y ＝0.4 n .故 E ( Y )＝(96－0.2 n )×0.05＋(102－0.2 n )×0.2＋(108－0.2 n )×0.4＋0.4 n ×0.35＝ 68.4＋0.01 n .又 n ∈[180，190]，故當(dāng) n ＝190時(shí)，月利潤 Y 的數(shù)學(xué)期望取得最大值，為70.3萬元.
2. [命題點(diǎn)2/多選/2023沈陽市三檢]下列命題中正確的是(　ABD　)
3. [命題點(diǎn)3/2024平許濟(jì)洛第一次質(zhì)檢]“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民 俗活動(dòng)，為國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.每年農(nóng)歷正月十三為書會(huì)正日，屆時(shí)來自各 地的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、琴書等曲種應(yīng)有 盡有，規(guī)模壯觀.為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng) 計(jì)，得到如下列聯(lián)表：單位：人　　　　
(1)完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷人們對(duì)該活動(dòng)的喜 愛程度是否與性別有關(guān)聯(lián).
[解析]　(1)補(bǔ)全的 2×2 列聯(lián)表如下：
①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；
②設(shè)隨機(jī)變量 X 表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
學(xué)生用書·作業(yè)幫P398
1. 第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)(簡稱“成都大運(yùn)會(huì)”)于2023年7月28日在四川成都 開幕，這是中國西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì).為普及大運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)，營造良 好的賽事氛圍，某學(xué)校舉行“大運(yùn)會(huì)百科知識(shí)”答題活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了20名學(xué) 生，他們的答題得分(滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示(分組區(qū)間為[50，60)， [60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]).
(2)若從樣本中任選2名得分在[50，70)內(nèi)的學(xué)生，求這2人中恰有1人的得分在[60， 70)內(nèi)的概率.
(2)由已知可得得分在[50，60)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.01×10×20＝2，得分在[60，70)內(nèi) 的學(xué)生人數(shù)為0.02×10×20＝4.
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值及這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)；
2. 在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗(yàn)這種復(fù) 習(xí)方法的效果，在 A ， B 兩所學(xué)校的高三年級(jí)用數(shù)學(xué)科目進(jìn)行了對(duì)比測(cè)試.已知 A 校 采用大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法， B 校采用傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在經(jīng)歷兩個(gè)月的實(shí)踐后舉行了 考試，現(xiàn)從 A ， B 兩校高三年級(jí)各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績(滿分 150分)在各個(gè)分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：
(1)若把數(shù)學(xué)成績不低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績不優(yōu) 秀，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評(píng) 定結(jié)果是否有關(guān)；單位：人
[解析]　(1)由題意完成2×2列聯(lián)表如下：
(2)在 A 校抽取的100名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?cè)赱0，90)和[90，110)內(nèi) 的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取的3人中成績 在[0，90)內(nèi)的人數(shù)為 X ，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
3. [2024廣西玉林模擬]2023年5月10日，長征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭劍指蒼穹，搭載天舟 六號(hào)貨運(yùn)飛船為中國空間站運(yùn)送補(bǔ)給物資，為中國空間站的航天員們長時(shí)間探索宇 宙奧秘提供強(qiáng)有力的后援支持.5月30日，神舟十六號(hào)發(fā)射成功.在“神箭”“神舟” 的護(hù)送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順利進(jìn)入太空，開啟為期5個(gè)月 的太空科研之旅.某校部分學(xué)生十分關(guān)注中國空間站的發(fā)展，若將累計(jì)關(guān)注中國空間 站發(fā)展的消息6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天達(dá)人”.現(xiàn) 從該校隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)依據(jù)小概率值α＝0.01的 X 2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有 關(guān)聯(lián)？
(2)①從隨機(jī)抽取的這200名學(xué)生中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，再從這20人 中隨機(jī)抽取3人.記事件 A ＝“至少有2名是男生”，事件 B ＝“至少有2名既是‘航天 達(dá)人’又是男生”，事件 C ＝“至多有1名既是‘航天達(dá)人’又是女生”.試計(jì)算 P ( A )· P( B ｜ A ) P ( C ｜ AB )和 P ( ABC )的值，并比較它們的大小.
②由①中 P ( ABC )與 P ( A ) P ( B ｜ A ) P ( C ｜ AB )的大小關(guān)系能否推廣到更一般的情 形？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由.
4. [2023河南駐馬店6月模擬]2023年是充滿挑戰(zhàn)的一年，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，各 地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各項(xiàng)政策，并取得了較好的效果.某市零售行業(yè)為促進(jìn)消 費(fèi)，開展了新一輪的讓利促銷活動(dòng)，活動(dòng)之初，利用各種媒體進(jìn)行了大量的廣告宣 傳，為了解傳媒對(duì)本次促銷活動(dòng)的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了6個(gè)大型零售賣場(chǎng)(分 別編號(hào)為1，2，3，…，6)，得到其宣傳費(fèi)用 x (單位：萬元)和銷售額 y (單位：萬元) 的數(shù)據(jù)如下：
(1)求 y 關(guān)于 x 的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用至少多少萬元時(shí)(結(jié)果取整數(shù))，銷 售額能突破100萬元.
(2)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們往往關(guān)注投入和產(chǎn)出比值，在這次促銷活動(dòng)中，設(shè)銷售額與投 入的宣傳費(fèi)用的比值為λ，若λ＞10，稱這次宣傳策劃是高效的；否則為非高效的.從 這6家賣場(chǎng)中隨機(jī)抽取3家.①若抽取的3家中含有宣傳策劃高效的賣場(chǎng)，求抽取的3家中恰有一家是宣傳策劃高 效賣場(chǎng)的概率；②若抽取的3家賣場(chǎng)中宣傳策劃高效的有 X 家，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
②由題意知 X 的所有可能取值為0，1，2，
5. 某次考試中500名學(xué)生的物理成績(滿分為150分)服從正態(tài)分布 N (100，17.52)，數(shù) 學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)如果成績大于135分為特別優(yōu)秀，那么本次考試中物理、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的學(xué)生大 約各有多少人？
(2)如果物理和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的學(xué)生共有6人，從(1)中的這些學(xué)生中隨機(jī)抽取3 人，設(shè)3人中兩科都特別優(yōu)秀的學(xué)生有 X 人，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)填寫2×2列聯(lián)表如下：
6. [2024廣東七校聯(lián)考]規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一 個(gè)，每次有放回地任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的 兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成 功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不 斷繼續(xù)下去，直至成功.(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其 進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量 X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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2022高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件：綜合突破六 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題

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