一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合求解和,求解
【詳解】根據(jù)題意,，
則.
故選：B
2. 若復數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的乘方計算可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：A
3. 設，若向量，，滿足，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的基本概念，向量的共線定理，以及向量的數(shù)量積的運算法則，逐項判定，即可求解.
【詳解】由向量，滿足，，且，，
對于A中，若，則，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以A不正確；
對于B中，若，則存在實數(shù)使，可得，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以B不正確；
對于C中，因為向量，滿足，，且，
則
，所以，所以C正確；
對于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正確.
故選：C.
4. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則以及函數(shù)在上有意義列不等式求解即可.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：B.
5. 若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出橢圓和雙曲線的離心率，由兩者的離心率之和為，解方程即可得出答案.
【詳解】橢圓：的離心率為，
雙曲線：的離心率為，
所以，解得：.
故選：A.
6. 設圓C:x?22+y?12=36和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離為，則實數(shù)（ ）
A. 2B. 4C. 26D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離為，即可求出的值，再由直線不過第三象限求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為圓C:x?22+y?12=36的圓心為，半徑，
因為圓上恰有三點到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，解得或，
又直線不過第三象限，則a3≥0，解得，
所以.
故選：C
7. 設且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：；則命題甲是命題乙的（ ）
A. 充分且不必要條件B. 必要且不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義結(jié)合等比中項的公式代入計算，即可判斷.
【詳解】若為等比數(shù)列，則滿足，即，
所以，故充分性不成立，
當時，數(shù)列滿足，但此時為等比數(shù)列不成立，
故必要性不成立，
所以為等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件.
故選：D
8. 若，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和與差求解余弦公式求解，進而求出，求出，利用二倍角求出
【詳解】由，則,
由，
所以，則，
則，
故.
故選：D
二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 若成等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，的平均數(shù)為，標準差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，……，，的平均數(shù)為，標準差為，中位數(shù)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、標準差和中位數(shù)定義和計算公式求解即可.
【詳解】等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，
所以，，
所以，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故A正確；
，，故B，C正確；
由標準差的定義知，數(shù)據(jù)，，……，與平均數(shù)距離更遠，
所以，故D正確.
故選：ABCD.
10. 已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（ ）
A. B. 的最大值為8
C. 的取值范圍是D. 的取值范圍是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式判斷AB；設出點的坐標，利用向量的坐標運算，結(jié)合橢圓的范圍計算判斷CD.
【詳解】由橢圓定義得，，，A錯誤；
，當時取等號，B錯誤；
，設，則，，，
，由，得，C正確；
，，D正確.
故選：CD
11. 已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）
12. 已知為正整數(shù)，若，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質(zhì)求解即得.
詳解】由，，得或，解得或，
而，解得，，
所以.
故答案為：2
13. 已知，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】依題意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.
【詳解】因為，
所以，，，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
顯然此時有解，所以的最小值為.
故答案為：.
14. 已知橢圓方程為，雙曲線方程為，若該雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點以及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓的離心率與雙曲線的離心率之和為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知條件求出正六邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率；利用漸近線的夾角求解雙曲線的離心率即可．
【詳解】橢圓方程為，雙曲線方程為，
若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，
可得橢圓的焦點坐標，，正六邊形的一個頂點
，
，
橢圓離心率，
同時，雙曲線的漸近線的斜率為3，即，
可得雙曲線的離心率為．
故答案為．
【點睛】本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力屬于中檔題．
四、解答題（本大題共3個小題，共47分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 不透明的盒中有四個除所標數(shù)字外均相同的球，它們分別標有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機取個球．
（1）求取到個標有數(shù)字的球的概率；
（2）設為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析；期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)滿足要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)得到結(jié)果；
（2）先分析的可取值，然后計算出對應概率，由此可知分布列并可計算出數(shù)學期望.
【小問1詳解】
抽到個標有數(shù)字的球的可能情況共有種，從個球中任取個共有種取法，
∴取到個標有數(shù)字的球的概率．
【小問2詳解】
的所有可能取值為，，，，
，，，，
所以的分布列為：
∴．
16. 從4名男生和3名女生中各選2人，
（1）共有多少種不同的選法？
（2）如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？
（3）選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）
【答案】（1）18 （2）15
（3）84
【解析】
【分析】（1）根據(jù)排列組合求解即可．
（2）按甲乙是否被選中分3種情況討論，由加法原理計算可得答案．
（3）先求男生甲和女生乙同時被選中的選法，再根據(jù)間接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可．
【小問1詳解】
根據(jù)題意，從4名男生和3名女生中各選2人，
男生有種選法，女生有種選法，
故選法有種；
【小問2詳解】
根據(jù)題意，分3種情況討論：
男生甲被選中，女生乙沒有被選中，有種．
男生甲沒有被選中，女生乙被選中，有種，
男生甲和女生乙被選中，有種，
則共有種選法.
【小問3詳解】
男生甲和女生乙同時被選中的選法為種，
4人參加百米接力賽的總安排方法為種，
甲跑第一棒的安排方法為種，
乙跑最后一棒的安排方法為種，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法為種，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法為種．
17. 已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式、前n項和求基本量，進而寫出等比數(shù)列通項公式.
（2）等比數(shù)列前n項和公式寫出，應用裂項相消法求
【小問1詳解】
由題知：①，
②，
②÷①得，，解得，代入①式得，，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知：，
所以，
所以 ．
附加題（注：不作考試要求，不計入總分）
18. 點分別是函數(shù)圖象上的點，若點關于原點對稱，則稱點是一對“關聯(lián)點”．已知，則函數(shù)圖象上的“關聯(lián)點”有（ ）對
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：根據(jù)題意將轉(zhuǎn)化為關于的方程，根據(jù)方程解的個數(shù)作出判斷即可；法二：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象作出判斷即可.
【詳解】法一：根據(jù)題意，設為，圖象上的“關聯(lián)點”，則，即，
設，則，解得或（舍去），
由，得，且，
則方程有個不同實根，故函數(shù)，圖象上的“關聯(lián)點”有對，
故選：C.
法二：令，則，該方程表示圓心為，半徑為的半圓（軸上方），
先作出這個半圓和函數(shù)的圖象，再將半圓旋轉(zhuǎn)，由圖象可知，滿足條件的“關聯(lián)點”有對，
故選：C.
19. 若函數(shù)與的圖象存在公切線，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】法一：設公切線與，圖象分別切于點，寫出圖象在A處的切線方程和圖象在B處的切線方程，由兩直線重合，消去得到，令，再由求解.方法二： 由，分別為上凸和下凸函數(shù)，要使，存在公切線，轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解.
【詳解】法一：設公切線與，圖象分別切于點，
則圖象在A處的切線方程為：，
即，
同理：圖象在B處的切線方程為：，
即，
由上述兩直線重合，消元可得，，
令，
則，當時，，當時，，
所以hx在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
則，解得，
方法二：在同一坐標系中作出，的圖象如圖所示：

由圖象知：，分別為上凸和下凸函數(shù)，要使，存在公切線，
只須在上恒成立即可，
即在上恒成立
令，求導得，
當時，h′x>0，當時，h′x

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