1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，則，解得，
則，所以.
故選：A
2. 已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡，由復數(shù)模長運算可求得結(jié)果.
【詳解】，
.
故選：A.
3. 已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】將兩個條件相互推導，根據(jù)能否推導的結(jié)果判斷充分必要條件.
【詳解】依題意是空間不過同一點的三條直線，
當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.
當兩兩相交時，設，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.
綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.
故選：B
【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運用，屬于中檔題.
4. 已知直線和直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)的充要條件求得或，再由充分條件、必要條件的概念得解.
【詳解】若，則，解得或．
若，則直線，直線，可知；
若，則直線，直線，可知，
綜上所述：或．
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A
5. 如圖，已知等腰中，，點是邊上的動點，則的值（ ）

A. 為定值B. 不為定值，有最大值
C. 為定值D. 不為定值，有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】先記的中點為，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.
【詳解】如圖，記的中點為，由題可知，，
，，所以.
故選：C.

6. 已知數(shù)列中，，若，則（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求出，利用構(gòu)造法求出，再列式求解即得.
【詳解】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
則，即， 因此數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
則，即，由，得，
所以.
故選：B
7. 在中，點滿足，過點的直線與、所在的直線分別交于點、，若，，則的最小值為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.
【詳解】如下圖所示：
，即，，
，，，，
，、、三點共線，則
，
當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.
【點睛】本題考查三點共線結(jié)論應用，同時也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時要充分利用三點共線得出定值條件，考查運算求解能力，屬于中等題.
8. 已知函數(shù)，，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，得到，表示出，再借助導數(shù)求出的最小值即可.
【詳解】∵，，
∴，
令，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，
∴，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
∴，
∴的最小值為，
故選：B.
二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）
9. 設函數(shù)，則（ ）
A. 當時，有三個零點
B. 當時，無極值點
C. ，使在上是減函數(shù)
D. 圖象對稱中心的橫坐標不變
【答案】BD
【解析】
【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值判斷A；由恒成立判斷B；由的解集能否為判斷C；求出圖象的對稱中心判斷D.
【詳解】對于A，當時，，求導得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；
對于B，，當時，，即恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，B正確；
對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，
而不等式的解集不可能為，C錯誤；
對于D，由，
得圖象對稱中心坐標為，D正確.
故選：BD
10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（ ）
A.
B. 上單調(diào)遞減
C. 的表達式可以寫成
D. 若關于的方程在上有且只有4個實數(shù)根，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過，，建立方程組求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】由函數(shù)圖象可知，，
因為在，附近單調(diào)遞增，
所以，，，
又因為，所以，，
所以，A說法正確；
當時，，
所以由在單調(diào)遞減可知在上單調(diào)遞減，B說法正確；
因為，所以C說法錯誤；
令得，解得或，
方程在上有且只有4個實數(shù)根，從小到大依次為，
而第5個實數(shù)根為，所以，D說法正確；
故選：ABD
11. 冒泡排序是一種計算機科學領域的較簡單的排序算法，其基本思想是：通過對待排序序列從左往右，依次對相鄰兩個元素比較大小，若，則交換兩個數(shù)的位置，使值較大的元素逐漸從左移向右，就如水底下的氣泡一樣逐漸向上冒，重復以上過程直到序列中所有數(shù)都是按照從小到大排列為止.例如：對于序列進行冒泡排序，首先比較，需要交換1次位置，得到新序列，然后比較，無需交換位置，最后比較，又需要交換1次位置，得到新序列最終完成了冒泡排序，同樣地，序列需要依次交換完成冒泡排序.因此，和均是交換2次的序列.現(xiàn)在對任一個包含個不等實數(shù)的序列進行冒泡排序，設在冒泡排序中序列需要交換的最大次數(shù)為，只需要交換1次的序列個數(shù)為，只需要交換2次的序列個數(shù)為，則（ ）
A. 序列是需要交換3次的序列B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，不妨設序列的n個元素為，由題意可判斷A中序列交換次數(shù)；再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可判斷B；得出只要交換1次的序列的特征即可判斷C；利用累加法求出通項公式即可判斷D.
【詳解】對A，序列，比較，無需交換位置，比較，需要交換1次位置，得到新序
列，比較，無需交換位置，最后比較，需要交換1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交換2次，故A錯誤；
對B，不妨設序列的n個元素為，交換次數(shù)最多的序列為，
將元素n冒泡到最右側(cè)，需交換次次，
將元素n-1冒泡到最右側(cè)，需交換次次，
，
故共需要，
即最大交換次數(shù)，故B正確；
對C，只要交換1次的序列是將中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置的序列，故有個這樣的序列，即，故C正確；
對D，當n個元素的序列順序確定后，將元素n+1添加進原序列，
使得新序列（共n+1個元素）交換次數(shù)也是2，
則元素n+1在新序列的位置只能是最后三個位置，
若元素n+1在新序列的最后一個位置，
則不會增加交換次數(shù)，故原序列交換次數(shù)為2（這樣的序列有個），
若元素n+1在新序列的倒數(shù)第二個位置，則會增加1次交換，
故原序列交換次數(shù)為1（這樣的序列有個），
若元素n+1在新序列的倒數(shù)第三個位置，
則會增加2次交換，故原序列交換次數(shù)為0（這樣的序列有1個），
因此，，
所以，顯然，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：在解與數(shù)列新定義相關的題目時，理解新定義是解決本題的關鍵.
12. 已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出的圖象關于點中心對稱，且，判斷A，對求導，得出的對稱性，從而判斷B，由對稱性得出周期性判斷C，結(jié)合周期性求值判斷D．
【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，即，
所以的圖象關于點中心對稱，且，故A正確；
由，兩邊求導，得，即.
由的圖象關于點中心對稱，得，因此，故B正確；
因為為函數(shù)的導函數(shù)，且，即，
所以，即，
所以的圖象關于直線對稱，
所以.又，
所以，所以的圖象關于點中心對稱，
，
，
所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；
由，得.又，
所以3，所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知復數(shù)滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式的除法求復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)模的概念求.
【詳解】由題意：.
所以.
故答案為：
14. 已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.
【詳解】設橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑；
顯然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由橢圓定義可得，即，
因此離心率.
故答案為：
15. 在中，，則的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運算法則，兩角和的正弦公式，以及正弦定理和三角形的內(nèi)角和，化簡得到，進而得到，再由兩角差的正切，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】因為，可得，
所以，可得，
由正弦定理得，
又因為，
所以，
所以，則，
因為為三角形的內(nèi)角，所以，
由，
又因為，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以.
故答案為：.
16. 英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現(xiàn)象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數(shù)學課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是______.

【答案】
【解析】
【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項分布的性質(zhì)計算概率即可.
【詳解】因為向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，
則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
此時概率為：.
故答案為：.
四、解答題（共4小題，共70分）
17. 記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
（1）求；
（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角化簡可得；
（2）分別討論當為頂角和為底角時的底邊長即可.
【小問1詳解】
，由正弦定理得：
，∵
，
∵，
【小問2詳解】
當為頂角，則底邊，
，
當為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為
故的底邊長為或.
18. 已知函數(shù)的導函數(shù)為，且．
（1）求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，利用賦值法求得，求得解析式，進而可求得切線方程；
（2）法一，分，，三種情況分離變量，并求得最值求得的取值范圍.法二，令，利用二次求導判斷恒成立應滿足的條件，進而求得的范圍.
【小問1詳解】
求導得，
令，則，
，即：．
【小問2詳解】
方法一，，
①當時，左邊右邊，不等式顯然成立．
②當時，
令
當時，在上單調(diào)遞減
③當時，
令，當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
綜上：的取值范圍為．
法二，令，，
令，所以恒成立，在上遞增．
①若，即對
在單調(diào)遞減，，
與矛盾，無解，舍去．
②若，即，
在上遞增
.
故．
③若即：時，
使得，，即：
即：
，故
綜上．
19. 設數(shù)列的前n項和為，已知，（）．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足：，．
① 求數(shù)列的通項公式；
② 是否存在正整數(shù)n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．（2），
【解析】
【分析】（1）由題設的遞推關系式，得到（），即可證得數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）① 由（1）知，，化簡得，則數(shù)列是首項為1，公差為1的等
差數(shù)列，即可求得．
②利用乘公比錯位相減法，求得，進而得到，顯然當 時，上式成立，設，由，所以數(shù)列單調(diào)遞減，進而得到結(jié)論.
【詳解】（1）解：由，得（），
兩式相減，得，即（）．
因為，由，得，所以，
所以對任意都成立，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
（2）① 由（1）知，，
由，得，
即，即，
因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以，
所以．
② 設，
則，
所以，
兩式相減，
得 ，
所以．
由，得，即．
顯然當時，上式成立，
設（），即．
因為，
所以數(shù)列單調(diào)遞減，
所以只有唯一解，
所以存在唯一正整數(shù)，使得成立．
【點睛】點睛：本題主要考查等差、等比數(shù)列通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對考生計算能力要求較高，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.
20. 維向量是平面向量和空間向量的推廣，對維向量，記，設集合.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的個數(shù)；
（ii）記，求使得成立最大正整數(shù).
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）列舉出所有可能的情況，根據(jù)可求得結(jié)果；
（2）（i）設中元素的個數(shù)為，根據(jù)定義可得遞推關系式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可推導求得；
（ii）首先確定的必要條件為當時，，由此可得；驗證當時充分性成立，從而得到結(jié)果.
【小問1詳解】
，
當時，；當時，；當時，；當時，，
；
，
當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，
.
【小問2詳解】
（i）設中元素的個數(shù)為，
，，
為偶數(shù)時，，且，
，
中的元素個數(shù)為.
（ii）①當時，
；
②當時，
；
③當時，
；
；
要使得成立，其必要條件是當時，，
令，則，
數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，
的解為；
當時，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整數(shù).
【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列與向量結(jié)合的新定義問題的求解，解題關鍵是能夠根據(jù)的定義，確定為偶數(shù)時，，從而進一步確定遞推關系式，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題來進行求解.

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