長沙市明德中學2023-2024學年高一上學期12月月考數(shù)學試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

時量：120分鐘滿分：150分
一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確答案）
1.已知，集合，，則（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】求定義域得到，解不等式得到，求出利用補集和交集概念進行求解.
【詳解】由題意得，解得，故，，，解得，故，故選：B
2.在下列區(qū)間中函數(shù)的零點所在的區(qū)間為
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【詳解】因為，所以函數(shù)零點在區(qū)間，故選A．
3.已知，則（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判定與0、1的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，，，∴,
故選：B.
4.已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，對條件進行判斷.
【詳解】已知角是的內(nèi)角，當時，有；當時，有或，
所以則“”是“”的充分不必要條件.故選：B
5.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子問題”實現(xiàn)芯片國產(chǎn)化，加大了對相關(guān)產(chǎn)業(yè)的研發(fā)投入.若該公司計劃2020年全年投入芯片制造研發(fā)資金120億元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長9%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是（）參考數(shù)據(jù)：
A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列不等式求解．
【詳解】依題意，第n時投入資金為億元，
設(shè)2020年后第n年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元，
則,得，
兩邊同取常用對數(shù)，得，所以，
所以從2026年開始，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元.故選：C．
6.如圖，點A為單位圓上一點，，已知點A沿單位圓按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點，則的值為（）

A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的正弦和余弦值，再利用誘導公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的定義，可得，
所以.故選：C.
7.函數(shù)的圖象大致為（）
A.B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先求定義城、判斷函數(shù)的奇偶性，利用定義域、奇偶性排除部分選項，再利用特殊點處的函數(shù)值或特殊區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域排除其他不合適的選項．
【詳解】易知的定義域為，
所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除B，C；
當時，，排除D．故選A．
8.已知函數(shù)的定義域為，值域為，若，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】推導出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，求出、、、的值，結(jié)合周期性可求得的值.
【詳解】由可得，①
對任意的，，所以，，②
由①②可得，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)．
因為為偶函數(shù)，則，
因為，由可得，且，
由可得，
因為，所以，，故函數(shù)為偶函數(shù)，
因為，則，所以，，
由可得，
因為，所以，
.故選：B.
二、多選題（本題共4個小題，每小題5分．共20分，每小題有多項符合題目要求，全部選對得5分，選錯得0分，部分選對得2分）
9.已知，則下列不等式一定成立是（）
A.B.
C.D.
【答案】CD
【解析】【分析】由不等式性質(zhì)判斷A；特殊值法判斷B，作差法判斷C、D.
【詳解】由，則，A錯；
當時，B錯；
，即，C對；
，即，D對.
故選：CD
10.已知函數(shù)的最大值為3，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（）
A.函數(shù)的最小正周期為B.
C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】因為的最大值為，所以，
又的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，
因為，所以，所以，則函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；
，故B正確；
，所以關(guān)于對稱，故C正確；
當，則，因在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：BCD
11.下列命題中正確的是（）
A.點（，0）是函數(shù)的一個對稱中心
B.函數(shù)的值域為R，則或
C.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為
D.
【答案】ABD
【解析】【分析】由正切函數(shù)的對稱中心方程可驗證A，由復合型對數(shù)函數(shù)值域為R可得的值域包含，則，可解B選項；由扇形的弧長與面積公式可求C，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求D.
【詳解】對于A，令，得，，
當時，，所以點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故A正確；
對于B，因為函數(shù)的值域為R，所以，解得或，故B正確；
對于C，圓心角為的扇形的弧長為，所以扇形的半徑長為，則該扇形面積為，故C錯誤；
對于D，因為，所以，
所以，故D正確；故選：ABD.
12.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）．
A.函數(shù)為增函數(shù)
B.
C.若在上恒成立，則的最小值為8
D.若關(guān)于的方程有三個不同的實根，則
【答案】BCD
【解析】【分析】根據(jù)解析式可整理得到當，時，；
根據(jù)可知A錯誤；根據(jù)且可知B正確；由恒成立可確定C正確；
由方程根的個數(shù)可確定與有且僅有三個不同交點，根據(jù)在每一段上的值域可分析得到不等關(guān)系，解不等式可知D正確.
【詳解】當時，；
當時，；
依次類推，當，時，；
對于A，，，不符合增函數(shù)定義，A錯誤；
對于B，，，
對于，不等式恒成立，B正確；
對于C，當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，
因為，則，在上恒成立，的最小值為，C正確；
對于D，由得：，
當時，則，方程無解，不合題意；
當時，則或；與有且僅有三個不同交點；
當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，；，解得：；D正確.
故選：BCD.
【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)中的類周期問題的求解，解題基本思路是根據(jù)解析式的變化規(guī)律確定函數(shù)解析式的形式及每一段解析式對應的值域，根據(jù)每個選項中的考點：單調(diào)性、最值、恒成立及方程根的個數(shù)問題，結(jié)合解析式和值域確定結(jié)果.
三、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）
13.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實數(shù)______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義可得系數(shù)，可解得的值，再利用單調(diào)性即可得出.
【詳解】根據(jù)題意可得，解得或；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；所以.故答案為：
14.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．
【答案】25
【解析】【分析】由題意得，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，所以，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為25.故答案為：25.
15.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】【分析】將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程解的個數(shù)問題，進一步轉(zhuǎn)化成圖像的交點個數(shù)問題.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，
即在區(qū)間上有兩個不同的解，
即在區(qū)間上有兩個不同的解，
轉(zhuǎn)化成與在區(qū)間上有兩個不同的交點，
結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且，所以，解得，故答案為：.
16.已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上有且只有一個最大值，則的最大值為________．
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出的表達式，求出符合條件的，再根據(jù)在區(qū)間上有且只有一個最大值，分類討論確定的值是否適合題意，可得答案.
【詳解】由知，關(guān)于對稱，又因為，
所以,，則,，，
其中，,
當時，，，；
當時，，，.
又在區(qū)間上有且只有一個最大值，所以，
得，即，所以.
當時，，，此時，此時有2個最大值，舍去；
當時，，此時，此時有1個最大值，成立，
所以的最大值為，故答案為：
四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.計算：
（1）；
（2）已知，則的值.
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪以及對數(shù)恒等式和換底公式進行化簡，即可得答案；
（2）利用誘導公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即得答案.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】，
故.
18.已知角滿足，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】（1）首先由，得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求答案即可；（2）活用常數(shù)“1”，再弦化切即可求得答案.
【小問1詳解】因為，所以，
所以，又因為，所以；
【小問2詳解】，解得或；
由于，所以，所以，
.
19.已知函數(shù)（）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為，過點．
（1）當，時，求函數(shù)的最大值、最小值及相應的x的值；
（2）求函數(shù)在上單調(diào)減區(qū)間．
【答案】（1）當時，函數(shù)的最大值為；當時，函數(shù)的最小值為；
（2）
【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得函數(shù)的最小正周期為，則，然后分類討論，代入可得的解析式，根據(jù)解析式求最值以及取最值時的x值即可；
（2）利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合整體代入法即可得解.
【小問1詳解】因為函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
所以函數(shù)的最小正周期為，即，得，
當時，，
將代入可得，
所以，即，
由于，所以當時，滿足題意；
所以，
當時，，
將代入可得，
所以，即，
由于，所以當時，滿足題意；
所以，
綜上，，
當時，，
所以當，即時，函數(shù)的最大值為；
當，即時，函數(shù)的最小值為.
【小問2詳解】因為，
由得，
當時，；當時，；
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
20.已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù)；（2）.
【解析】【分析】（1）先求定義域，然后判斷與的關(guān)系即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合奇偶性和定義域去掉函數(shù)符號即可求解.
【小問1詳解】由解得，即的定義域為，
又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).
【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，
易知均為增函數(shù)，所以單調(diào)遞增，
又定義域為，所以，，解得，即實數(shù)m取值范圍為.
21.隨著經(jīng)濟的發(fā)展，越來越多的家庭開始關(guān)注到家庭成員的關(guān)系，一個以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應用心理學的學習平臺，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來越多的人成為平臺的會員，主動在平臺上進行學習，已知前3年平臺會員的個數(shù)如下表所示（其中第4年為預估人數(shù)，僅供參考）：
（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式：①，②，③
（2）為控制平臺會員人數(shù)盲目擴大，平臺規(guī)定會員人數(shù)不得超過千人，依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值.
【答案】21.見解析
22.
【解析】【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長速度越來越快，故選擇模型③；代入表格中三個點即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進而得到所求模型；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可將不等式整理為對恒成立，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值，進而得到的取值范圍，從而得到結(jié)果.
【小問1詳解】從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個增函數(shù)，故不可能是①，
函數(shù)增長的速度越來越快，
選擇③（且）
代入表格中的三個點可得：，解得：
，.
【小問2詳解】由（1）可知：，
故不等式對恒成立，
對恒成立，
令，則，，，
在單調(diào)遞增，則，
.
22.已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.
（1）若且，證明：函數(shù)必有局部對稱點；
（2）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析（2）（3）
【解析】【分析】（1）由定義可知有解，整理后轉(zhuǎn)化為證明一元二次方程恒有解；
（2）由定義可知有解，可得方程在上有解，求出的范圍即可；
（3）根據(jù)整理為（*）在上有解，通過換元，設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程在內(nèi)有解，列式求參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】由得，
代入得，
得到關(guān)于的方程，其中，
由于且，∴恒成立，∴函數(shù)必有局部對稱點；
【小問2詳解】因為函數(shù)在上有局部對稱點，
所以，即，即方程在上有解，
因為，當且僅當，即時取等號，
所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為；
【小問3詳解】∵在上有局部對稱點，
∴在上有解，
即（*）在上有解，
令，則，
∴方程（*）變?yōu)樵趦?nèi)有解，
需滿足條件，即，化簡得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解新定義，將新定義轉(zhuǎn)化為方程有根求參數(shù)的取值范圍，第三問的關(guān)鍵點是代入后利用換元，則，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實數(shù)根，求參數(shù)的取值范圍.建立平臺第年
1
2
3
4
會員個數(shù)（千人）
14
20
29
43

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