1．（3分）下列“表情”圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11
3．（3分）若a＜b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)+1＜b+1B．2﹣a＜2﹣bC．3a＜3bD．＜
4．（3分）一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
5．（3分）若x+3＞0，則（ ）
A．x+1＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜10
6．（3分）滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a(chǎn)：b：c＝6：8：10
C．∠C＝∠A﹣∠BD．b2＝a2﹣c2
7．（3分）對(duì)于命題“若|x|＞|y|，則x＞y”，下面四組關(guān)于x，y的值中，能說(shuō)明它是假命題的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣2B．x＝3，y＝﹣2C．x＝2，y＝0D．x＝﹣3，y＝﹣2
8．（3分）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC，AB于D，E兩點(diǎn)，再分別以D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M．作射線AM交BC于點(diǎn)F，則線段BF的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2.8
10．（3分）如圖，四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個(gè)大正方形ABCD，連結(jié)AC，交DH于點(diǎn)P，若AH＝HE，且△CPG的面積為4，則正方形ABCD的面積為（ ）
A．20B．30C．40D．50
二、填空題（每題3分）
11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”為： ．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，則∠A＝ ．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)D，連接CD，如果CD＝6，那么AB的長(zhǎng)為 ．
14．（3分）一種荔枝的進(jìn)價(jià)是每千克12.6元，銷售中估計(jì)有10%的荔枝正常損耗（包含剪枝），商家把售價(jià)至少定為每千克 元，才能避免虧本．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′＝ ．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．點(diǎn)D是線段AC中點(diǎn)，BF⊥AC，DE⊥AB，下列結(jié)論：①△AED≌△BFD．②△EFB為等邊三角形．③．④．其中正確的是（填序號(hào)） ．
三、解答題（共72分）
17．（6分）解不等式：
（1）5x+3≤x﹣1；
（2）．
18．（6分）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A＝36°．
（1）在AC上作一點(diǎn)D，使AD＝BD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加黑）；
（2）求證：△BCD是等腰三角形．
19．（8分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；
（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．（8分）如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）求證：ED＝EC；
（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面積．
21．（10分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于@的一種運(yùn)算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．
（1）填空：8@2＝ ；2@（﹣1）＝ ；
（2）若x@2＜1，求x的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有兩個(gè)正整數(shù)解，求m的取值范圍．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求證：
①∠BAD＝∠CDE；
②BD＝CE；
（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度數(shù)．
23．（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BED是等腰三角形；
（2）當(dāng)∠BCD＝ °時(shí)，△BED是等邊三角形；
（3）當(dāng)∠ADE+∠ABE＝45°時(shí)，若BD＝5，取BD中點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)．
24．（12分）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）如圖1，連結(jié)AD，BE，判斷AD和BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若點(diǎn)A在線段DE延長(zhǎng)線上，，DE＝14，求線段AE的長(zhǎng)度；
（3）如圖3，若AB＝8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，求△BDE周長(zhǎng)的最小值．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市文華、崇德、紫金港三校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（共30分）
1．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．
選項(xiàng)B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：B．
2．【解答】解：
A選項(xiàng)，3+4＝7＜8，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形
B選項(xiàng)，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故能組成三角形
C選項(xiàng)，5+5＝10＜11，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形
D選項(xiàng)，5+6＝11，兩邊之和不大于第三邊，故不能組成三角形
故選：B．
3．【解答】解：A．∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，故本選項(xiàng)符合題意；
C．∵a＜b，
∴3a＜3b，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵a＜b，
∴，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
4．【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°，
故選：A．
5．【解答】解：∵x+3＞0，∴x＞﹣3，
A．∵x＞﹣3，x+1＞﹣2，∴此選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．∵x＞﹣3，x﹣3＞﹣6，∴此選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．∵x+3＞0，∴x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，∴，∴此選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．∵x+3＞0，x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，﹣2x＜6，∴﹣2x＜10，∴此選項(xiàng)的結(jié)論正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
6．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正確；
B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，錯(cuò)誤；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴∠A＝90°，是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，錯(cuò)誤；
故選：A．
7．【解答】解：∵x＝﹣3，y＝﹣2時(shí)，滿足|x|＞|y|，
但是x＜y，
故選：D．
8．【解答】解：∵AD+BD＝BC，而DC+BD＝BC，
∴DA＝DC，
∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上，
即點(diǎn)D為線段AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)．
觀察四個(gè)選項(xiàng)，D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
9．【解答】解：過F點(diǎn)作FH⊥AB于H點(diǎn)，如圖，
由作圖痕跡得AM平分∠BAC，
而FC⊥AC，F(xiàn)H⊥AB，
∴FH＝FC，
∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
∴BC＝＝9，
在Rt△AFH和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△AFC（HL），
∴AH＝AC＝12，
∴BH＝AB﹣AH＝15﹣12＝3，
設(shè)BF＝x，則FC＝FH＝9﹣x，
在Rt△BHF中，32+（9﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即BF的長(zhǎng)為5．
故選：A．
10．【解答】解：根據(jù)題意得，AE＝CG，AE∥CG，
∴∠EAM＝∠GCP，
∵∠AEM＝∠CGP＝90°，
∴△AEM≌△CGP（ASA），
∴ME＝PG，
∵HG＝EF，
∴PH＝FM，
∵AH＝HE，PH∥EM，
∴AP＝PM，
∴PH＝EM，
∴PH＝，
∴PG＝HG＝FG＝CG，
∵△CPG的面積為4，
∴?CG＝CG2＝4，
∴CG＝2，
∴AE＝CG＝2，
∴BE＝EF＝，
∴AB＝＝，
∴正方形ABCD的面積為AB2＝30，
故選：B．
二、填空題（每題3分）
11．【解答】解：x的5倍表示為5x，
不大于3表示為5x≤3，
故答案為：5x≤3．
12．【解答】解：如圖，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案為：40°．
13．【解答】解：∵EF是邊BC的垂直平分線，CD＝6，
∴BD＝CD＝6，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD＝6，
∴AB＝AD+BD＝12，
故答案為：12．
14．【解答】解：設(shè)商家把售價(jià)定為每千克x元，
根據(jù)題意得：x（1﹣10%）≥12.6，
解得：x≥14，
即商家把售價(jià)至少定為每千克14元，才能避免虧本，
故答案為：14．
15．【解答】解：設(shè)EB′＝x，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
由折疊的性質(zhì)可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，
則CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EB′＝3．
故答案為：3．
16．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD＝AD＝AC＝2＝CB，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
∵BF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝∠CBD＝30°，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
故①正確；
∴AE＝BF，
∴BE＝BF，
∵∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，
∴△EFB為等邊三角形，
故②正確；
∵∠DBE＝∠DBF＝30°，BE＝BF，
∴BD⊥EF，
∴∠DGF＝90°，
∵∠BFD＝90°，∠BFE＝60°，
∴∠DFG＝∠BFD﹣∠BFE＝30°，
∵DF＝CF＝CD＝，
∴DG＝DF＝，
故③正確；
∵EF＝BE＝AE＝AB＝3，BD＝2，且BD⊥EF，
∴S四邊形DFBE＝EF?BD＝×3×2＝3≠2，
故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③．
三、解答題（共72分）
17．【解答】解：（1）5x+3≤x﹣1，
5x﹣x≤﹣1﹣3，
4x≤﹣4，
x≤﹣1；
（2），
2x﹣4＞6x，
2x﹣6x＞4，
﹣4x＞4，
x＜﹣1．
18．【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)D為所作；
（2）證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
19．【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
20．【解答】（1）證明：∵AB∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°＝90°，
在△DAE與△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（AAS），
∴DE＝EC；
（2）解：由（1）可知△DAE≌△EBC，∠BEC＝∠ADE，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC為等腰直角三角形；
又∵AD＝5，BC＝12，
∴AE＝BC＝12，
∴DE＝CE＝＝13，
∴△DEC的面積＝DE?CE＝．
21．【解答】解：（1）由題意得：8@2＝8﹣2×2
＝8﹣4
＝4；
2@（﹣1）＝ 2﹣2×（﹣1）
＝2+2
＝4；
故答案為：4；4；
（2）∵x@2＜1，
∴x﹣2×2＜1，
x﹣4＜1，
x＜5；
（3）3@（m﹣x）＜5，
3﹣2（m﹣x）＜5，
3﹣2m+2x＜5，
2x＜5﹣3+2m，
2x＜2+2m，
x＜1+m，
∵不等式3@（m﹣x）＜5恰有兩個(gè)正整數(shù)解，
∴2＜1+m≤3，
解得：1＜m≤2．
22．【解答】（1）證明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，
又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
且∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE；
②由①得：∠BAD＝∠CDE，
在△ABD與△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：在△ABD與△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，
∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，
∴∠ADE＝55°．
23．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）解：∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等邊三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案為：150；
（3）解：如圖，取BD中點(diǎn)F，連接EF，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝DE＝BE＝AC，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠ABE，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝90°，
∵DE＝BE，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，
∴EF⊥BD，EF＝BD＝2.5，
∴EF的長(zhǎng)為2.5．
24．【解答】解：（1）AD＝BE，AD⊥BE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE+∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠CAD+∠BAC＝90°，
∴AD⊥BE；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝25，
∴AC＝BC＝25，
∵CD＝CE，∠DCE＝90°，CH⊥DE，
∴CH＝EH＝DH＝7，
∴AH＝＝＝24，
∴AE＝AH﹣EH＝24﹣7＝17；
（3）由（1）可知：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AB＝8，
∴△BDE周長(zhǎng)＝BE+BD+DE＝BD+AD+DE＝AB+DE＝8+DC，
∴當(dāng)CD有最小值時(shí)，△BDE有最小值，
∴當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD有最小值為4，
∴△BDE周長(zhǎng)的最小值為8+4．

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