1．（3分）如圖為各個城市的軌道交通標志，將其按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形不變的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）二次函數(shù)y＝3x2﹣5x+1的一次項系數(shù)是（ ）
A．﹣5B．1C．3D．5
3．（3分）下列二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝x2﹣3x
C．y＝（x+1）2D．y＝﹣x2﹣3x+1
4．（3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
5．（3分）小明從盒子里摸球，每次摸出一個后再放回盒中，他連續(xù)摸5次，每次摸到的都是紅球，下面說法正確的是（ ）
A．盒子里一定都是紅球
B．他第6次摸到的一定還是紅球
C．他第6次摸到的可能還是紅球
D．盒子里一定還有其他顏色的球
6．（3分）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝x2﹣1向左平移2個單位，所得函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝x2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3
7．（3分）校園內(nèi)有一塊三角形的花壇，現(xiàn)要在花壇內(nèi)建一景觀噴泉，要使噴泉到花壇三個頂點的距離相等，噴泉的位置應選在這個三角形花壇的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．內(nèi)心
8．（3分）如圖，以量角器的直徑AC為斜邊作Rt△ABC，過點B作BD⊥AC交半圓弧于點D，點D對應的讀數(shù)為104°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．38°B．76°C．52°D．40°
9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點都在二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+k的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y1
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．則以下說法錯誤的是（ ）
A．a(chǎn)bc＜0
B．當﹣1≤a＜0時，關于x的方程ax2+bx+c＝8必無實數(shù)根
C．a(chǎn)+c＝b
D．直線y＝﹣ax+5a與該函數(shù)必有兩個交點
二、填空題（本題有6題，每小題3分，共18分）
11．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣3的頂點坐標是 ．
12．（3分），0，π這三個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)為無理數(shù)的概率為 ．
13．（3分）如圖，三角形OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°到三角形OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD＝ ．
14．（3分）同一平面內(nèi)，⊙O內(nèi)一點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm，則⊙O的半徑為 cm．
15．（3分）如圖所示，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的對稱軸為直線x＝1，且OD＝OB＝3OA，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為 ．
16．（3分）如圖以AB為直徑的半圓上，，點C是半圓弧上的任意點，F(xiàn)為弧AC上的中點，連結(jié)BF交AC于點E，作OD⊥BF于點D，連結(jié)AD，若AD為∠ODF的角平分線，則BF＝ ；AC＝ ．
三、解答題（本題有8小題，17-21題每小題8分，22-23題10分，24題12分，共72分，解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）
17．（8分）已知函數(shù)y＝ax2﹣2x+1（a≠0）．
（1）若點（﹣1，2）在此函數(shù)圖象上，求該二次函數(shù)表達式及函數(shù)圖象的開口方向；
（2）在（1）的條件下，判斷點（1，2）是否在此函數(shù)圖象上．
18．（8分）近期教育局將要舉辦“文學名著閱讀分享大賽”，某校要從男生小明、小強和女生小慧、小紅中共選取2人參加全區(qū)比賽，規(guī)定其中女生選n名．
（1）當n＝ 時，“男生小明參加”是必然事件．
（2）當n＝1時，小明和小慧同時參加比賽的概率是多少？（要求列出樹狀圖或者表格）
19．（8分）如圖，AB是⊙O的弦，點D是AB的中點，連接OD并反向延長交⊙O于點C．若AB＝CD＝16，求⊙O的半徑．
20．（8分）2024巴黎奧運會，鄭欽文獲得了網(wǎng)球女單的冠軍，創(chuàng)造了歷史時刻，也在國內(nèi)掀起一股網(wǎng)球熱．某市準備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識講座，小明的爸爸買到一張門票，但小明和妹妹都想去，那么誰去就成了問題，小明想到一個辦法：他拿出一個裝有質(zhì)地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸摸出一個球，如果摸出的是紅球，妹妹去聽講座，如果摸出的是白球，小明去聽講座．
（1）爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因；
（2）若爸爸發(fā)現(xiàn)將袋子里的2個白球換成紅球，然后用小明提出的辦法來確定誰去聽講座就是公平的，問袋子中原來有紅球和白球各有幾個？
21．（8分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0），若將該函數(shù)向先左平移1個單位，再向上平移9個單位，頂點恰好落在原點上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．
（2）若有一直線l與拋物線交于點A（﹣3，m），B（R，16），且n＞0．若點P在拋物線上且在直線l下方，且點P不與點A，B重合，分別求出點P橫坐標與縱坐標的取值范圍．
22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，△ADC內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于點E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）若E為OB的中點，CE＝7，求直徑AB的長．
23．（10分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，甲產(chǎn)品的利潤y1與投資金額成正比；乙產(chǎn)品的利潤y2與投資金額成二次函數(shù)關系，其關系如圖，其中點A、B、C的坐標分別為（4，﹣2），（10，﹣1.25），（8，2）．
（1）分別求出甲，乙兩種產(chǎn)品的利潤與投資之間的關系式．
（2）若該企業(yè)將資金全力投入乙產(chǎn)品的生產(chǎn)，至少要投入多少資金才能使企業(yè)獲利．
（3）該企業(yè)準備籌集a萬元投入甲，乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，且該企業(yè)計劃兩種產(chǎn)品最小利潤不低于資金額的20%，那么該企業(yè)至少要籌集到多少資金？
24．（12分）已知，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，點D，E分別為弧AC，弧BC的中點，過點E作EF⊥AB于點F，點D，G關于直徑AB對稱，連結(jié)DG．
（1）求弧DE的度數(shù)．
（2）若EG為⊙O的直徑，請猜想DE與OF的數(shù)量關系，并給出證明．
（3）設EG＝x，△OEF的面積為S，若⊙O的半徑為1，求S關于x的函數(shù)解析式．
2024-2025學年浙江省溫州市永嘉縣五校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選、多選、錯選，均不給分）
1．【解答】解：A、本選項中軌道交通標志，將其按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形發(fā)生變化，不符合題意；
B、本選項中軌道交通標志，將其按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形發(fā)生變化，不符合題意；
C、本選項中軌道交通標志，將其按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形不變，符合題意；
D、本選項中軌道交通標志，將其按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形發(fā)生變化，不符合題意；
故選：C．
2．【解答】解：二次函數(shù)y＝3x2﹣5x+1的一次項系數(shù)是﹣5，
故選：A．
3．【解答】解：A、將x＝0代入y＝x2+1可得y＝1，故不經(jīng)過原點，不符合題意；
B、將x＝0代入y＝x2﹣3x可得y＝0，故經(jīng)過原點，符合題意；
C、將x＝0代入y＝（x+1）2可得y＝1，故不經(jīng)過原點，不符合題意；
D、將x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+1可得y＝1，故不經(jīng)過原點，不符合題意；
故選：B．
4．【解答】解：∵∠B與∠AOC是同弧所對的圓周角與圓心角，∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．
故選：D．
5．【解答】解：A、盒子里一定都是紅球，故不符合題意；
B、他第6次摸到的不一定還是紅球，故不符合題意；
C、他第6次摸到的可能還是紅球，故符合題意；
D、盒子里可能還有其他顏色的球，故不符合題意；
故選：C．
6．【解答】解：將二次函數(shù)y＝x2﹣1向左平移2個單位，所得函數(shù)的解析式為y＝（x+2）2﹣1．
故選：B．
7．【解答】解：∵噴泉到花壇三個頂點的距離相等，
∴噴泉為三角形的花壇三邊的垂直平分線的交點，即外心，
故選：A．
8．【解答】解：設半圓弧的圓點為O，BD⊥AC于點E，連接BO，如圖所示，
∵點D對應的讀數(shù)為104°，
∴∠AOD＝104°．
∵以量角器的直徑AC為斜邊作Rt△ABC，
∴點B在⊙O上，
∴∠ABD＝∠AOD＝×104°＝52°．
∵BD⊥AC于點E，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣52°＝38°．
故選：A．
9．【解答】解：當x＝﹣1時，y1＝2×（﹣1﹣1）2+k＝8+k；
當x＝1時，y2＝2×（1﹣1）2+k＝k；
當x＝4時，y3＝2×（4﹣1）2+k＝18+k．
∵k＜8+k＜18+k，
∴y2＜y1＜y3．
故選：B．
10．【解答】解：由圖象可知，拋物線開口向下，故a＜0，
對稱軸在y軸右側(cè)，故b＞0，與y軸交于正半軸，故c＞0，
故abc＜0，A選項不合題意；
該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，故該函數(shù)圖象必過點（5，0），
故該拋物線表達式為y＝a（x+1）（x﹣5），當x＝2時，ymax＝﹣9a，
當﹣1≤a＜0時，
∴0＜﹣9a≤9，
則關于x的方程ax2+bx+c＝8有可能有實根，故B選項符合題意；
該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣1，0），故y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，
故C選項不合題意；
∵直線y＝﹣ax+5a恒過點（5，0），又a＜0，
∴﹣a＞0，故直線y＝﹣ax+5a從左至右是上升的，
因此，直線y＝﹣ax+5a與拋物線必有兩個交點，
D選項不合題意．
故選：B．
二、填空題（本題有6題，每小題3分，共18分）
11．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2﹣3的頂點坐標是（1，﹣3）．
故答案為：（1，﹣3）．
12．【解答】解：∵，0，π這三個數(shù)中，，π是無理數(shù)，
∴這三個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，這個數(shù)為無理數(shù)的概率是，
故答案為：．
13．【解答】解：∵三角形OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°到三角形OCD的位置，∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝75°，∠COD＝∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝75°﹣45°＝30°，
故答案為：30°．
14．【解答】解：設⊙O的半徑為r cm，
∵⊙O內(nèi)一點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm，
∴r＝＝4（cm），
故答案為：4．
15．【解答】解：設OA＝t，則OB＝OD＝3t，
∴A（﹣t，0），B（3t，0），D（0，﹣3t），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝t，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴t＝1，
∴OA＝1，OB＝OD＝3，
連接AC、BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴OC⊥AB，
∴OC2＝OA?OB＝1×3，
∴OC＝，
∴CD＝OC+OD＝+3．
故答案為：+3．
16．【解答】解：連接AF，OF，設OF于AC交于點P，過點F作FH⊥AB于P，如圖所示：
∵AB是半圓的直徑，點F是弧AC上的中點，
∴∠AFB＝90°，
∵OD⊥BF，
∴OD∥AF，∠ODB＝∠ODF＝90°，
又∵OA＝OB，
∴OD是△BAF的中位線，
∴BD＝DF，
∵AD為∠ODF的角平分線，
∴∠1＝∠ODF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴BD＝DF＝AF，
即BD＝2AF，
在Rt△ABF中，AB＝，
由勾股定理得：AB＝＝AF＝，
∴AF＝2，
∴BF＝2AF＝4；
∵S△ABF＝FH?AB＝AF?BF，
∴FH＝＝＝，
∵點F是弧AC上的中點，
根據(jù)垂徑定理得：OF⊥AC，AP＝PC，
∴AC＝2AP，
∵S△OAF＝AP?OF＝OA?FH，OF＝OA，
∴AP＝FH＝，
∴AC＝2AP＝．
故答案為：4；．
三、解答題（本題有8小題，17-21題每小題8分，22-23題10分，24題12分，共72分，解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）
17．【解答】解：（1）由題意，∵點（﹣1，2）在函數(shù)y＝ax2﹣2x+1圖象上，
∴a+2+1＝2．
∴a＝﹣1．
∴函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x+1．
∴函數(shù)圖象的開口向下．
（2）由題意，∵拋物線為y＝﹣x2﹣2x+1，
∴當x＝1時，y＝0．
∴點（1，2）不在此函數(shù)圖象上．
18．【解答】解：（1）當n＝0時，“男生小明參加”是必然事件，
故答案為：0；
（2）列表如下：
得到含有1名女生的所有等可能的情況有8種，其中小明和小慧同時參加比賽的有2種結(jié)果，
所以小明和小慧同時參加比賽的概率為＝．
19．【解答】解：連接OA，如圖所示：
∵點D是AB的中點，AB＝16，
∴OD⊥AB，AD＝AB＝8，
設⊙O的半徑為r，則OA＝OC＝r，
∵CD＝16，
∴OD＝16﹣r，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
即r2＝（16﹣r）2+82，
解得：r＝10，
即⊙O的半徑為10．
20．【解答】解：（1）∵紅球有2x個，白球有3x個，
∴P（紅球）＝＝，P（白球）＝＝，
∴P（紅球）＜P（白球），
∴這個辦法不公平；
（2）∵2個白球換成紅球后，紅球有（2x+2）個，白球有（3x﹣2）個，
∴P（紅球）＝，P（白球）＝，x為正整數(shù)，
∵用小明提出的辦法來確定誰去聽講座就是公平的，
∴2x+2＝3x﹣2，
解得x＝4，
∴袋子中原來有紅球8個，白球12個．
21．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣8＝a（x﹣1）2﹣a﹣8，
∴將該函數(shù)向先左平移1個單位，再向上平移9個單位得到y(tǒng)＝ax2﹣a+1，
∵頂點恰好落在原點上，
∴﹣a+1＝0，
∴a＝1，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴頂點坐標為（1，﹣9）；
（2）把x＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝7，
∴m＝7，
把y＝16代入函數(shù)解析式得16＝n2﹣2n﹣8，
解得n＝6或n＝﹣4，
∵n＞0，
∴n＝6，
∴點A坐標為（﹣3，7），點B坐標為（6，16），
∵拋物線開口向上，頂點坐標為（1，﹣9），
∴拋物線頂點在AB下方，
∴﹣3＜xP＜6，﹣9≤yP＜16．
22．【解答】解：（1）連接OC，過點C作CF⊥AB于F，如圖所示：
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOD＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°；
（2）設OF＝a，
∵△OAC是等邊三角形，CF⊥AB，
∴AF＝OF＝a，
∴AC＝OA＝OC＝OB＝2a，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF＝＝，
∵E為OB的中點，
∴OE＝BE＝a，
∴EF＝OE+OF＝2a，
在Rt△CEF中，CE＝7，
由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，
∴（，
解得：，或（不符合題意，舍去）
∴OA＝OB＝2a＝，
∴AB＝2OA＝．
23．【解答】解：（1）由題意，設甲產(chǎn)品的利潤為：y1＝kx（k≠0），
∵C（8，2）在函數(shù)圖象上，
∴2＝8k，
∴k＝，
∴甲產(chǎn)品的利潤與投資之間的關系式為y1＝x；
設乙產(chǎn)品的利潤y2與投資金額x的函數(shù)關系為：y2＝ax2+bx（a≠0），
∵二次函數(shù)的圖象過A（4，﹣2），B（10，﹣1.25），
∴，
解得：，
∴y2＝0.0625x2﹣0.75x；
（2）當y2＝0時，
0.0625x2﹣0.75x＝0，
解得：x1＝0，x2＝12．
∴該企業(yè)將資金全力投入乙產(chǎn)品的生產(chǎn)，至少要投入超過12萬元資金才能使企業(yè)獲利；
（3）設該企業(yè)準備籌集x萬元投入乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，則投入甲種產(chǎn)品的資金為（a﹣x）萬元，
設總利潤為y萬元，
則y＝y(tǒng)1+y2＝0.0625x2﹣0.75x+（a﹣x）＝0.0625x2﹣x+0.25a，
函數(shù)y的對稱軸為直線x＝8，
當x＝8時，ymin＝0.0625x2﹣x+0.25a＝0.25a﹣4，
則0.25a﹣4≥20%a，
解得：a≥80，
即該企業(yè)至少要籌集到80萬元資金．
24．【解答】解：（1）如圖，連接OC、OD，
∵點D，E分別為弧AC，弧BC的中點，
∴∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∴弧DE的度數(shù)為90°；
（2）DE＝2OF，理由如下，
∵EG是直徑，
∴∠GDE＝90°，
設GD與AB交于點H，
∵D、G關于AB對稱，
∴DH⊥AB，即∠DHB＝90°，GH＝DH，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴四邊形DHEF是矩形，
∴DE＝FH，DH＝EF，
∴GH＝EF，
∵∠COH＝∠EOF，∠GHO＝EFO，
∴△GOH≌△EOF（AAS），
∴OF＝OH，
∴FH＝2OF，
∴DE＝2OF；
（3）過E作EM⊥GD于點M，
由（1）知∠DOE＝90°，
∴∠DGE＝45°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴EM＝EG＝x，
∵∠GMH＝∠MHF＝∠EFH＝90°，
∴四邊形EMHF是矩形，
∴EM＝FH＝x，
∵∠DOH＝∠OEF＝90°﹣∠EOF，DOD＝OE，
∴△ODH≌△EOF（AAS）
∴OH＝EF，
設OH＝EF＝a，則OF＝FH﹣OH＝x﹣a，
在Rt△OEF中，OF2+EF2＝OE2，
即（x﹣a）2+a2＝1，
整理得2a2﹣xa+x2﹣1＝0，
解得a＝或（舍去），
∴S＝OF?EF
＝（x﹣a）a
＝xa﹣a2
＝x?﹣?（）2
＝﹣
＝x2﹣．
∴S關于x的函數(shù)解析式為S＝x2﹣．

小明
小強
小慧
小紅
小明
（小強，小明）
（小慧，小明）
（小紅，小明）
小強
（小明，小強）
（小慧，小強）
（小紅，小強）
小慧
（小明，小慧）
（小強，小慧）
（小紅，小慧）
小紅
（小明，小紅）
（小強，小紅）
（小慧，小紅）

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