一、選擇題
1．已知,則( )
A.3B.-3C.2D.-2
2．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是( )
A.B.C.D.
3．已知命題,,命題,,若命題p,q都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.或D.
4．若,則( )
A.180B.C.D.90
5．已知函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
6．若函數(shù)在定義域上的值域為,則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知向量,,且實數(shù),若A,B,C三點共線.則( )
A.0B.1C.2D.3
8．中國南宋大數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術”,即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a,b,c,則三角形的面積可由公式求得,其中p為三角形周長的一半,這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足,,則此三角形面積的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知,,,則( )
A.B.C.D.
10．關于空間向量,以下說法正確的是( )
A.已知向量,,則在上的投影向量為
B.直線的傾斜角的取值范圍是
C.設是空間中的一組基底,則也是空間的一組基底
D.已知A,B,C三點不共線對于空間任意一點O,若,則P,A,B,C四點共面
11．已知函數(shù),則( )
A.函數(shù)的最小正周期為
B.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
C.若時,恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為
D.將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的,再將所得的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,若時,函數(shù)有且僅有5個零點,則實數(shù)t的取值范圍為.
三、填空題
12．已知是偶函數(shù),當時,,則__________.
13．已知角的頂點在坐標原點,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點,則_____________.
14．已知函數(shù),對于函數(shù)有下述四個結論：
①函數(shù)在其定義域上為增函數(shù);
②有且僅有一個零點;
③對于任意的,都有成立;
④若曲線在點處的切線也是曲線的切線,則必是的零點.
其中所有正確的結論序號是_____________.
四、解答題
15．某企業(yè)采用新工藝,把企業(yè)生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
16．已知函數(shù),且.
(1)求a的值;
(2)求不等式的解集.
17．已知向量,,函數(shù).
(1)求的最小正周期;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
18．肥胖不僅影響形體美,而且給生活帶來不便,此外還有關節(jié)軟組織損傷?心臟病?糖尿病?脂肪肝?痛風等危害.小王通過運動和節(jié)食進行減肥,并將時間x（單位：周）和體重（單位：）記錄制作如下統(tǒng)計表：
(1)若x和y滿足經驗回歸模型,求,;
(2)求該模型的決定系數(shù),并判斷該經驗回歸方程是否有價值（認為有價值）;
(3)當某組數(shù)據(jù)殘差的絕對值不超過0.3時,稱該組數(shù)據(jù)為“身材有效管理數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從這六組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組,設抽取的“身材有效管理數(shù)據(jù)”的個數(shù)為Y,求Y的分布列和期望.
附：經驗回歸方程中,,
,,
參考數(shù)據(jù)：,,,.
19．已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的零點.
(2)若使得成立,試求a的取值范圍
(3)當在點處的切線與函數(shù)的圖象交于點B時,若的面積為,試求a的值.
參考答案
1．答案：B
解析：
.
故選：B.
2．答案：A
解析：函數(shù),因為,解得.
所以函數(shù)的定義域為,且,.
因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,
在區(qū)間上單調遞減,函數(shù)單調遞增,
所以由復合函數(shù)的單調性知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,
在區(qū)間上單調遞減,
故選：A.
3．答案：C
解析：愿明天即命題,為真命題,
,
又,,當且僅當,即時,等號成立,
,
命題,,為真命題,
,或,
命題p,q都是真命題,
或.
故選：C.
4．答案：A
解析：因,其二項展開式的通項為:,
而是的系數(shù), 故只需取,得, 即.
故選：A.
5．答案：C
解析：由題意知,問題等價于在區(qū)間上有解,
即有解,而,
由二次函數(shù)的性質知,即.
故選：C.
6．答案：C
解析：由題意可知的定義域為,
又因為函數(shù)是“函數(shù)”,故其值域為;
而,,則值域為;
當時,,
當時,,此時函數(shù)在上單調遞增,則,
故由函數(shù)是“函數(shù)”可得,
解得,即實數(shù)m的取值范圍是,
故選：C.
7．答案：D
解析：,,
因為A,B,C三點共線,所以,
則,解得或,
,.
故選：D.
8．答案：B
解析：由題意可知,三角形的周長為12,則,
,
因為,所以,當且僅當時等號成立,
所以的最大值為16,
所以三角形面積的最大值.
故選：B.
9．答案：AD
解析：對于A,由,,利用基本不等式,可得,解得,
又（當且僅當時,等號成立）,
而,所以,所以,故A正確;
對于B,由,,利用基本不等式,化簡,
得（當且僅當時,等號成立）,
解得,即,故B錯誤;
對于C,由,,利用基本不等式,
化簡得（當且僅當時,等號成立）,
解得,故C錯誤;
對于D,,又,即,
由B選項知,所以,故D正確;
故選：AD.
10．答案：AD
解析：對于A,在上的投影向量為,
故選項A正確,符合題意;
對于B,直線的斜率為,
當時,傾斜角;當時,傾斜角,
直線的傾斜角的取值范圍是,
故選項B錯誤,不符合題意;
對于C,若,則,
所以,,共面,故不能作為基底,
故選項C錯誤,不符合題意;
對于D,因為,所以P,A,B,C四點共面,
故選項D正確,符合題意;
故選：AD.
11．答案：ACD
解析：因為,
所以的最小正周期為,故A正確;
又由,故B錯誤;
當時,可得,
當,即時,取得最小值,
因為,恒成立,所以,
即實數(shù)m的取值范圍為,故C正確;
由題意得函數(shù),因為,
所以,又因為函數(shù)有且僅有5個零點,
則滿足,解得,
所以實數(shù)t的取值范圍是,故D正確.
故選：ACD.
12．答案：2
解析：是偶函數(shù),.
故答案為：2.
13．答案：
解析：因為角的頂點在坐標原點,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點,
所以由三角函數(shù)的定義可得：,
.
故答案為：.
14．答案：③④
解析：對于①,的定義域為,
因為,,①錯誤;
對于②,因為,所以在和上單調遞增,
又,,,,
所以在區(qū)間和上都存在零點,
又在和上單調遞增,
即在區(qū)間和上各有一個零點,②錯誤;
對于③,因為,所以,所以,
即,所以③正確;
對于④,因為,所以曲線在點處的切線斜率為,
得切線l方程為,即,
設l與相切于點,因為,所以切線斜率為,
得切線l方程為,即,
所以,即,
消去得,整理得,即是的零點,④正確.
故答案為：③④.
15．答案：(1)該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低
(2)該單位每月不能獲利,國家至少需要補貼40000元才能使該單位不虧損
解析：(1)由題意可知,月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為,
所以,每噸二氧化碳的平均處理成本為,
由基本不等式可得（元）,
當且僅當時,即當時,等號成立,
因此,該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低;
(2)令
,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,
當時,函數(shù)取得最大值,即.
所以,該單位每月不能獲利,國家至少需要補貼40000元才能使該單位不虧損.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因為,所以,
則.
又,所以,
所以,
從而.
(2)由(1)可知,
顯然在R上單調遞增.
因為,所以由,可得,
則,解得或,
故不等式的解集為.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)
的最小正周期;
(2)由題知在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,
即函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線恰有兩個交點,
令,,,
作出的圖象與直線,如圖.
由圖知,當時,的圖象與直線有兩個交點,
實數(shù)a的取值范圍為.
18．答案：(1);.
(2);該經驗回歸方程有價值.
(3)分布列見解析;數(shù)學期望是1.
解析：(1)設則,
因,
則
又,且經驗回歸直線過點,
故得,,
(2)由(1),,
則,
因,則該經驗回歸方程有價值;
(3)經計算,這六組數(shù)據(jù)中,殘差的絕對值不超過0.3的有三組,分別是第一組、第四組和第八組,
故從這六組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組,Y的可能值有0,1,2,
于是,,,,
則Y的分布列為：
故數(shù)學期望為.
19．答案：(1)e
(2)
(3)
解析：(1)由,解得,
即函數(shù)的零點為e.
(2),
,
令,則,
在上單調遞減,
,,
故在上單調遞增,
,
,即.
(3)由題可知,故切點為,
,,
所以切線方程為：,
交x軸于,交y軸于,
設切線交函數(shù)于點,因為,故,
又,故B的位置只能在C的上方.
如圖,則的面積為,
或（舍）,故,
所以函數(shù)過點,
,.
x
1
2
3
4
6
8
90.1
87.6
87.2
86.2
84.2
84.3
1
2
3
4
6
8
90.1
87.6
87.2
86.2
84.2
84.3
90
88
86.8
86
84.8
84
0.01
0.16
0.16
0.04
0.36
0.09
12.25
1
0.36
0.16
5.76
5.29
Y
0
1
2
P

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