一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由一元二次函數(shù)性質(zhì)求出集合B，再由交集定義計算即可得解.
【詳解】因為，
所以
，又，
所以.
故選：B.
2. 已知，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及同角公式計算得解.
【詳解】由，則，
得.
故選：D
3. 已知a，b，c成等差數(shù)列，直線與圓交于A，B兩點，則的最小值為（ ）
A. 1B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.
【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，
代入直線方程得，
即，令，得，
故直線恒過，設(shè)，該點在圓內(nèi)，
畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，最小，
，，此時.
故選：C.
4. 已知關(guān)于x的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】由題意，在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且對于恒成立，
則，解得.
故選：A.
5. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運用全概率和條件概率公式，結(jié)合對立事件概率求解即可.
【詳解】，則.
由于，則.
則，
則.
故選：B．
6. 如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，在下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D. 向量與的夾角是
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體的向量運算、向量的模、向量的夾角，數(shù)量積等概念和公式.通過向量運算法則分別對每個選項進行分析判斷.
【詳解】對于A，在平行六面體中，根據(jù)向量加法的三角形法則，，
由于，，所以，選項A正確.
對于B，已知以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是.
，則
.所以，選項B正確.
對于C，，
，
因為，所以，選項C正確.
對于D，，設(shè)向量與的夾角為
，
，
所以，選項D錯誤.
故選：D.
7. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷a,b,c與的大小關(guān)系，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性即可確定a,b,c的關(guān)系.
【詳解】，
，
因為單調(diào)遞增，所以，
因為單調(diào)遞減，所以，
所以，綜上,
故選：D
8. 過橢圓上的點M作圓的兩條切線，切點分別為P，Q.若直線PQ在軸、軸上的截距分別為，若，則橢圓離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，借助垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出直線方程，進而求出，再代入已知并求出離心率.
【詳解】設(shè)，則，
令坐標(biāo)原點為，，由切圓于，
得，則，于是，
同理，因此直線的方程為，，
因此，即，
所以橢圓離心率.
故選：A
二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9. 下列說法命題正確的是（ ）
A. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，，則三點共線
B. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知，，則在上的投影向量為
D. 已知三棱錐，點為平面上一點，且，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件計算可判定A，利用空間向量研究線面關(guān)系可判定B，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算投影向量可判定C，利用四點共面的推論可判定D.
【詳解】對于A，易知，顯然，所以不共線，即A錯誤；
對于B，由題意可知，所以不垂直，即B錯誤；
對于C，在上的投影向量為，即C正確；
對于D，由于四點共面，則，所以，即D正確.
故選：CD
10. 下圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點法作圖求出，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項分析判斷.
【詳解】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，
由，得，，而，則，，
所以，故A正確；
對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，
而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．
對于D，因為，取，滿足條件，
此時，故D錯誤．
故選：AC.
11. 已知為坐標(biāo)原點，拋物線y2=2pxp>0上有異于原點的Ax1,y1，Bx2,y2兩點，為拋物線的焦點，以為切點的拋物線的切線分別記為，，則（ ）
A. 若，則三點共線B. 若，則三點共線
C. 若，則三點共線D. 若，則三點共線
【答案】BC
【解析】
【分析】設(shè)方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理表示，.AB：結(jié)合所給的條件即可判斷；C：分別求出切線、的方程，由斜率之積為可得即可判斷；D：結(jié)合拋物線的定義化簡計算即可判斷.
【詳解】設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，
則，，，
所以，
.
選項A：若，則，得，
故直線：，不一定經(jīng)過焦點，三點不一定共線，故A錯誤.
選項B：若，則，得，
故直線：，經(jīng)過焦點，三點共線，故B正確.
選項C：設(shè)在點Ax1,y1處的切線方程為：，即，
與拋物線方程聯(lián)立得，
，即，解得，
所以：，即，
即切線的方程為，同理切線的方程為，
由，得，得，由B知直線經(jīng)過焦點，故C正確.
選項D：因為，
則，
整理得，則，故直線：，
不一定經(jīng)過焦點，三點不一定共線，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知，拋物線的焦點為F，為上一點，若，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)題意，即，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算和點在拋物線上求得，最后再由拋物線的定義求解.
【詳解】由題可知，，，
因為，所以，
又，所以，解得，
所以，所以.
故答案為：5.
13. 二項式的展開式中，項的系數(shù)為______.
【答案】80
【解析】
【分析】利用二項式定理計算得到答案.
【詳解】的展開式的通項為：
，
令，解得，
所以項的系數(shù)為.
故答案為：80.
14. 已知正實數(shù)滿足則當(dāng) 取得最小值時，______
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出點之間的距離，由基本不等式求出最值，利用點和圓的位置關(guān)系確定自變量取值，代入求解即可.
【詳解】設(shè)點與點之間的距離為，則，
易知的幾何意義是點與點之間的距離的平方，
點在以為圓心，半徑為的圓上，又，則，
設(shè)點與點之間距離為，則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
此時取得最小值，由點與圓的位置關(guān)系得，此時，
代入得，.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用基本不等式找到關(guān)于的取值．再利用點與圓的位置關(guān)系確定此時也取得最小值，然后將代入目標(biāo)式，得到所要求的結(jié)果即可．
四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.）
15. 在中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求證：；
（2）若，且，求的面積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理計算可得結(jié)果；
（2）利用余弦定理以及各邊長度代入解方程可得，再由三角形面積公式計算可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由可得，
根據(jù)正弦定理可得.
【小問2詳解】
由可得，
整理可得，即；
解得或；
當(dāng)時，由，可得，與矛盾，舍去；
可得，代入，可得，
解得，所以；
由可得，即；
所以的面積為
16. 記為數(shù)列的前項和，已知．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若成等比數(shù)列，求的最大值．
【答案】（1）證明見解析.
（2）90.
【解析】
【分析】（1）利用與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明.
（2）利用等差數(shù)列的通項公式與等比中項的性質(zhì)求出，從而得到，再借助單調(diào)性及等差數(shù)列前項和公式求得答案.
【小問1詳解】
數(shù)列中，由，得，
當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
因此，所以是等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知數(shù)列的公差為，
由成等比數(shù)列，得，解得，
于是，由，得，
數(shù)列是首項為正，公差為負的遞減等差數(shù)列，前9項為正，第10項為0，從第11項起為負，
所以數(shù)列前9項或前10項和最大，的最大值為.
17. 如圖（1），在平面四邊形中，，， 過點作，垂足為．如圖（2），把沿折起，使得點A到達點處，且．
（1）證明：．
（2）若點為中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先證明平面，可得，連接，再證明平面，進而可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，代入空間線面角公式計算即可；
【小問1詳解】
依題意，，而，平面，
則平面，又平面，則，
由，，得，，
連接，則，而，平面PCE，
因此平面，又平面，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
18. 近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)上買菜迅速進入了我們的生活.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）試根據(jù)的獨立性檢驗，分析社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？
（2）M社區(qū)的市民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，如果周一選每平臺買菜，那么周二選擇平合買菜的概率為，求小張周二選擇平臺買菜的概率；
（3）用頻率估計概率，現(xiàn)從M社區(qū)隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為隨機變量，并記隨機變量，求、的期望和方差.
參考公式：，其中.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
【答案】（1）有關(guān) （2）
（3），，，
【解析】
【分析】（1）由獨立性檢驗相關(guān)知識可得答案；
（2）由題結(jié)合全概率公式可得答案；
（3）由題可得，后由期望與方差性質(zhì)可得答案.
【小問1詳解】
假設(shè)：M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關(guān).
由給定的列聯(lián)表，得：.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.
【小問2詳解】
設(shè)表示周在A平臺買菜，表示周在B平臺買菜，
由題可得，
由全概率公式，小張周二選擇平臺買菜的概率為：
；
【小問3詳解】
依題意，喜歡網(wǎng)上買菜的概率為：.
從M社區(qū)隨機抽取20名市民，其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)服從二項分布：，所以，.
又，所以，.
19. 已知，分別是橢圓的左、右頂點，P（異于點A，B）是C上的一個動點，面積的最大值為2．
（1）求橢圓C方程；
（2）記直線PA，PB的斜率分別為，，求的值；
（3）直線l交橢圓C于M，N兩點（異于A，B兩點），直線AM，AN的斜率分別為，，且，證明：直線MN過定點．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件可知當(dāng)點在橢圓上、下頂點處時，面積的最大，由此可計算橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)Px0,y0，表示，利用點在橢圓上可求結(jié)果.
（3）設(shè)l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用可計算出的值，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意得，.
當(dāng)點在橢圓上、下頂點處時，面積的最大，此時面積為，
∴，∴橢圓C的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)Px0,y0，則，即，
∴．
【小問3詳解】
由題意知直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為，Mx1,y1，Nx2,y2．
由得，
，
∴，，
∴，，
∵，∴，即，
∴，
解得或（舍）．
當(dāng)時，滿足，此時MN的方程為，故直線MN過定點．
喜歡網(wǎng)上買菜
不喜歡網(wǎng)上買菜
合計
年齡不超過45歲的市民
40
10
50
年齡超過45歲的市民
20
30
50
合計
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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