2021屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期階段性檢測(cè)（八）數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的定義可得.【詳解】由，，依題意，.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)求出，即可得出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，.故選：C.3．若、、滿足，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，可得，，即，，，因此，.故選：A.4．設(shè)命題，，則p是q的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：由，得，則成立，而當(dāng)時(shí)，，不一定有，所以不能得到，所以p是q的充分不必要條件，故選：A5．若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為15，則（    ）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)的系數(shù)且等于15可得答案 .【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，解得.故選：D.6．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積分別為，，若，則n的最大值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】首先求出數(shù)列的公比，從而表示數(shù)列的前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積分別為，，要想，需，求解不等式得，所以n的最大值為4.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，所以，(舍負(fù))，，，因?yàn)?/span>，所以即整理得：，解得：，n的最大值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．7．已知正方體的棱長(zhǎng)為，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為（    ）A． B． C．5 D．25【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，可得，取中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而得∥，由已知條件可得在上，求出到最小距離，進(jìn)而可求出面積的最小值【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，由，可得≌，所以,所以，所以取中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，所以∥,因?yàn)辄c(diǎn)N在側(cè)面內(nèi)，且，所以在上，且到最小距離為，所以面積的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正方體模型中異面直線問題，解題的關(guān)鍵是取的中點(diǎn)，連接，可得，再取中點(diǎn)，連接，可得∥，從而可得在上，然后進(jìn)行計(jì)算，屬于中檔題8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，可得出，即可得解.【詳解】由已知可得，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則.故選：D. 二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．與可以作為基底C． D．與方向相反【答案】AD【分析】由量，，可得，，，從而可進(jìn)行判斷【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，，，所以，與方向相反，所以A，D正確，C錯(cuò)誤，因?yàn)?/span>，所以與不能作為基底，所以B正確，故選：AD10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，下列說法正確的是（    ）A．B．是的一條對(duì)稱軸C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】由題意先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，求出平移后的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】把的圖象向右平移個(gè)單位后得到，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，，即，則，，故A錯(cuò)誤；，故是的一條對(duì)稱軸，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故的值域?yàn)?/span>，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（    ）A．的最大值為 B．在上是增函數(shù)C．的解集為 D．的解集為【答案】CD【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取的最大值為，故A錯(cuò)誤；則可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由是偶函數(shù)可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，由解得；當(dāng)時(shí)，由解得，故的解集為，故C正確；當(dāng)，由解得；當(dāng)，不等式無解，故的解集為，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查偶函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先得出時(shí)，，再分段討論判斷每個(gè)選項(xiàng).12．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則（    ）A．若A，B同在雙曲線的右支，則l的斜率大于B．的最短長(zhǎng)度為6C．若A在雙曲線的右支，則的最短長(zhǎng)度為D．滿足的直線有4條【答案】BD【分析】對(duì)A，由直線AB垂直于軸時(shí)斜率不存在可判斷；對(duì)B，分直線AB垂直于軸時(shí)和當(dāng)AB為實(shí)軸時(shí)討論判斷；對(duì)C，分直線AB垂直于軸時(shí)和當(dāng)AB為實(shí)軸時(shí)討論判斷；對(duì)D，分A，B同在雙曲線的右支和分別在雙曲線的一支上可判斷.【詳解】由雙曲線方程可得，漸近線方程為，若A，B同在雙曲線的右支，且直線AB垂直于軸，可得直線AB的斜率不存在，故A錯(cuò)誤；當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)，易得，當(dāng)AB為實(shí)軸時(shí)，，，則的最短長(zhǎng)度為6，故B正確；當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)，可令，可得，即，當(dāng)AB為實(shí)軸時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；若A，B同在雙曲線的右支，由于，可得過F的直線有兩條；若A，B分別在雙曲線的一支上，由，可得過F的直線有兩條，則滿足的直線有4條，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的關(guān)系，解題的關(guān)系是分特殊情況進(jìn)行討論求解，如當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)和當(dāng)AB為實(shí)軸時(shí).  三、填空題13．已知向量，，，，則______【答案】7.【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算展開即可得到答案.【詳解】.故答案為：7.14．直線與函數(shù)相切，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線與函數(shù)相切，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入，可求得的值.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，∵，∴，因?yàn)橹本€與函數(shù)相切，∴，解得，∴，∴，又在直線上，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查根據(jù)切線的斜率求解參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.15．拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在l的右下方，則面積的最大值為______【答案】【分析】先聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得，接著有兩種方法：方法一是將點(diǎn)D到直線的距離用坐標(biāo)表示出來，借助二次函數(shù)求出最值；方法二是利用相切時(shí)點(diǎn)D到直線的距離最大，此時(shí)兩平行線間的距離即為點(diǎn)D到直線的距離最大值，進(jìn)而求出面積的最大值即可.【詳解】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為,所以直線方程為：，聯(lián)立得設(shè)，由韋達(dá)定理知：所以，故，方法一：設(shè)，因?yàn)橹本€方程為：，其中所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿足點(diǎn)D在l的右下方，所以面積的最大值為. 方法二： 因?yàn)?/span>，要想面積的最大，只需點(diǎn)到直線的距離最大，如圖，設(shè)斜率為2的直線與拋物線相切與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，因?yàn)橹本€方程為：設(shè)切線方程為，聯(lián)立拋物線得：，令，解得，此時(shí)所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)且焦點(diǎn)在y軸上，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．16．已知有兩個(gè)半徑為2的球記為O1，O2，兩個(gè)半徑為3的球記為O3，O4，這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球O與這四個(gè)球O1，O2，O3，O4都相內(nèi)切，則球O的表面積為________．【答案】144π【分析】先確定球心O在MN上，然后在和中根據(jù)勾股定理求，利用求球O的半徑，從而求球O的表面積.【詳解】由題意可知，，取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接，因?yàn)?/span>，所以，所以面 ，面，所以球O的球心在MN上，且在中，，在中，，設(shè)球O的半徑為R，在中， ，在中， ，所以，解得R=6，所以球的表面積為.故答案為：. 四、解答題17．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，______，，.（1）求角；（2）求的面積.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選①：利用余弦定理求得的值，結(jié)合可求得角的值；選②：利用正弦定理化簡(jiǎn)可得出的，結(jié)合可求得角的值；選③：利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合可求得角的值；（2）利用正弦定理求出的值，并求出的值，利用三角形的面積公式可求得.【詳解】（1）若選①：，可得，由余弦定理可得，，因此，；若選②：，由正弦定理可得，，，則，，即．，因此，；若選③：由，可得，所以． ，則，則，因此，；（2）由正弦定理可得，所以,.所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）4；（2）；【分析】(1)利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可；（2）參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，通過最值給出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)由題意：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為.(2) 因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以即，參變分離得：在上恒成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.19．在等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求取得最小值時(shí)的值．【答案】（1），；（2），，.【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出，結(jié)合即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后通過求出，結(jié)合即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）本題首先可以根據(jù)題意得出，然后通過錯(cuò)位相減法得出，再然后分為、兩種情況進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，所以，，即，，，因?yàn)?/span>，所以，，，，，即，，，，，綜上所述，，.（2），則，，，，當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最小值，.20．如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，已知，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，結(jié)合，可得出平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值．【詳解】（1）在中，，，，，故，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則四邊形為矩形，則．平面，平面，，又，平面．又，平面；（2）平面，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，，由圖可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為．21．已知橢圓的離心率為，且其右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為5.（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且（O為原點(diǎn)），證明：存在定點(diǎn)P，使得P到直線的距離為定值.【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，證明詳見解析.【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，寫出橢圓方程；（2）若直線與x軸垂直，求得的坐標(biāo)，若直線不與x軸垂直，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由，可得，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，則有P到直線的距離為定值，即可證得存在定點(diǎn)符合條件.【詳解】（1）解：由題意得解得，，故橢圓C的方程是． （2）證明：設(shè)，，①若直線MN與x軸垂直，由對(duì)稱性可知，將點(diǎn)代入橢圓方程中，解得； ②若直線MN不與x軸垂直，設(shè)直線MN的方程是，由消去y整理得，故，．又，則，即，故，整理得，即，故存在定點(diǎn)，綜上，存在定點(diǎn)，使得P到直線MN的距離為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決存在性問題的注意事項(xiàng)：（1）存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在；（2）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論；（3）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；（3）當(dāng)條件和結(jié)論都未知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑。22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可判斷；（2）不等式等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)討論的取值范圍即可確定.【詳解】（1）證明：∵當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，， 令，.由，解得；由，可得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即，∴在上單調(diào)遞減， 又∵，∴有唯一的零點(diǎn)；（2）∵當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，則． 考慮的分子：令，開口向下，對(duì)稱軸為，在上遞減，.①當(dāng)，即時(shí)，，所以，，∴在上單調(diào)遞減，∴成立；②當(dāng)時(shí)，．設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，∵，∴，．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，不合題意．綜上所述，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題. 

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