2025屆上海市閔行區(qū)六校聯(lián)合教研高三(上)期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知全集，集合，，則________.
【答案】
【解析】因?yàn)榧希?br>所以.
2. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是________.
【答案】
【解析】由，則，當(dāng)時，.
3. 已知，函數(shù)的最小正周期是，則正數(shù)的值為______.
【答案】2
【解析】因?yàn)?，函?shù)的最小正周期是，
則，解得.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
【答案】
【解析】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為
由，
解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
5. 設(shè)是實(shí)數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則________.
【答案】
【解析】由函數(shù)，則其定義域?yàn)椋?br>由函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時，，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.
6. 設(shè)集合有且只有兩個子集，則______________.
【答案】.
【解析】因?yàn)榧嫌星抑挥袃蓚€子集，
所以集合有且只有一個元素，
所以方程有且僅有1個解，
所以，解得.
故答案為：.
7. 設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)時，則_________.
【答案】-1
【解析】∵f(x)是以2為周期的函數(shù)，且時，，
則.
8. 若“”是“”的充分條件，則的最小值為________.
【答案】2
【解析】，解得，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，
所以，
所以，
所以的最小值為2，
故答案為：2.
9. 若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，則__________．
【答案】
【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，
要使該函數(shù)為奇函數(shù)，則，，
即，，
又，則．
10. 函數(shù)的最大值為3，則的取值范圍為______________.
【答案】
【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以函數(shù)式可化為
函數(shù)圖象如圖所示：
因?yàn)?時最大值為3，又當(dāng)時，，當(dāng)時，；
由圖知，.
11. 已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______.
【答案】
【解析】依題意是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
由圖象可知，在區(qū)間遞減，；
在區(qū)間遞增，.
所以的解集.
12. 已知函數(shù)，若對任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】，
，
即對任意的，都存在，使恒成立，
有，
當(dāng)時，顯然不等式恒成立；
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，此時不成立.
綜上，.
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.
13. 若實(shí)數(shù)滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于ABC，令，顯然滿足，同時，，，故ABC錯誤；
對于D，若，則，故D正確.
故選：D.
14. 若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值是（）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】對于A，，在上單調(diào)遞減，所以A不正確；
對于B，，，定義域?yàn)闉?，是非奇非偶函?shù)，所以B不正確；
對于C，，，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以C正確；
對于D，，，是偶函數(shù)，所以D不正確；
故選：C.
15. 下列命題錯誤的是（）
A.
B. 若，且，，則
C. 若，則
D. 若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
【答案】D
【解析】對于A，，故A正確；
對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；
對于C，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由，則成立，故C正確；
對于D，在數(shù)軸上數(shù)字與分別對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為，若，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤.
故選：D.
16. 數(shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，其中、、分別為內(nèi)角、、的對邊.若，，則面積的最大值為（）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理得
的面積，
，
將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng) 即 a=2時，的面積S 有最大值為.
故選：A .
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17. （1）已知，為第二象限角，求和的值；
（2）在中，角的對邊分別為、、，已知，，，求的面積和邊.
解：（1）由于，為第二象限角，
可得，
所以可得；
又易知；
（2）由且，可得，
所以的面積為；
由余弦定理可得，
可得.
18. 已知函數(shù)，.
（1）①判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
②判斷函數(shù)的單調(diào)性，無需說明理由；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
解：（1）①為定義域上的奇函數(shù)，證明如下：
定義域，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又，
為奇函數(shù)；
②在上單調(diào)遞增，證明如下：
任取，，且，
則
，
，，且，
，，，，
，即，
在上單調(diào)遞增；
（2）由①知，為奇函數(shù)，
等價于，
由②知在上單調(diào)遞增，
，解得或，
不等式的解集為：；
19. 某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為米、圓心角為60°的扇形草坪上，由數(shù)千人的表演團(tuán)隊(duì)手持光影屏組成紅旗圖案，已知紅旗圖案為矩形，其四個頂點(diǎn)中有兩個頂點(diǎn)、在線段上，另兩個頂點(diǎn)、分別在弧、線段上.

（1）若，求此紅旗圖案面積；（精確到）
（2）求組成的紅旗圖案的最大面積.（精確到）
解：（1）由題意，則，，
，
，
；
（2）設(shè)，則，，
，
，
，
故當(dāng)時，即時，取得最大值．
20. 已知關(guān)于的不等式的解集為或．
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍；
（3）關(guān)于的不等式的解集中恰有5個正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由題意可知，，且方程有兩個實(shí)數(shù)根，分別為和，
則，得，則，得，
所以，；
（2），，所以，，
，
當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3），，
不等式的解集中恰有5個正整數(shù)，
即的解集中恰有5個正整數(shù)，
即集合中恰有5個正整數(shù)，
所以，解得：.
21. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：有最小值，且最小值小于．
解：（1）當(dāng)時，，，
，故，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）定義域?yàn)椋?br>，
若是增函數(shù)，則恒成立，故，
即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故，解得，
a的取值范圍是
（3）定義域?yàn)椋?br>，
結(jié)合（2）可知，當(dāng)時，是增函數(shù)，故在處取得最小值，且最小值小于，
當(dāng)時，令得，，
該方程有兩個正實(shí)數(shù)根，設(shè)為，由韋達(dá)定理得，即，
令得，，或，令得，，
隨著的變化，的變化情況如下：
所以的極小值為，故的最小值為，記為，
當(dāng)時，若，則，此時與矛盾，舍去，
所以，則或，
故，所以肯定小于，所以，
當(dāng)時，，所以，此時，，
，即，故此時，
綜上，有最小值，且最小值小于.+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增