一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1. 企業(yè)標(biāo)志反映了思想、理念等企業(yè)文化，在設(shè)計(jì)上特別注重對(duì)稱美，下列企業(yè)標(biāo)志圖為中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選C．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故選D．
3. 將拋物線先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新的拋物線的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】拋物線先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得：，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得：．
故選：D．
4. 如圖，是直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的直徑，∴，
∵，
∴，
∵，∴；
故選：A．
5. 如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
在中，，
∵是旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
故選：．
6. 如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 拋物線的對(duì)稱軸為直線
B. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
C. ，兩點(diǎn)之間距離為
D. 當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大
【答案】C
【解析】∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴
∴
∴二次函數(shù)解析式為，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B選項(xiàng)不正確，不符合題意；
∵，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
即
∴，
∴，故C選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：C．
7. 如圖，切于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖，連接，

∵切于點(diǎn)，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故選：D．
8. 一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過(guò)（秒）時(shí)球距離地面的高度（米）適用公式，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間（秒）是（ ）
A. 5B. 10C. 1D. 2
【答案】D
【解析】球彈起后又回到地面時(shí)，即，
解得（不合題意，舍去），，
∴球彈起后又回到地面所花的時(shí)間（秒）是2，
故選：D
9. 如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在弧上，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖所示，連接，
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴∠COD= =60°，
∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，
∴
∴
∴
故選：B．
10. 如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，
可得，，，
無(wú)法證明，，故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意，
，故C選項(xiàng)不符合題意，
，故A選項(xiàng)符合題意，
故選：A．
11. 如圖，與相切于點(diǎn)交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 3B. 3.5C. D. 4
【答案】C
【解析】連接，
與相切于點(diǎn)，
，
，，，
，
，
在中，，，
，
的面積的面積的面積，
，
，
，
，
故選：C
12. 規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“函數(shù)”圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，
此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)成立，
當(dāng)時(shí)，可得，解得，
與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
，即，解得，
函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，得，解得，
根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，它的“函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為或，故選：D．
二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值是_____.
【答案】1
【解析】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴．
故答案為：1．
14. 若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】12
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的上兩動(dòng)點(diǎn)，且，P為弦的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積的最大值是___________

【答案】3
【解析】作于Q，連接、、，如圖：

∵，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
由得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
即點(diǎn)，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是中線，
則，
由三角形三邊關(guān)系得：，
由題得，當(dāng)P、O、Q共線時(shí)，此時(shí)，最大，
∵P為中點(diǎn)，∴，∴，
∴；
故答案為：3．
16. 如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是______（填序號(hào)）
【答案】①③④
【解析】①∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開(kāi)口方向向下，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，
∴，
故②錯(cuò)誤，不符合題意；
③∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，
設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，
∴，
故③正確，符合題意；
④∵關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
故④正確，符合題意．
故答案為：①③④
三、解答題（共7小題，共72分）
17. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求出方程的解．
解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，且，解得：且；
（2）當(dāng)時(shí)，
原方程為，即，
移項(xiàng)得：，配方得：，即，
直接開(kāi)平方得：
解得：．
18. 將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請(qǐng)?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫(huà)出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

【答案】見(jiàn)解析（答案不唯一，符合題意即可）
【解析】①要求是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；
②要求是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；
③要求既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；
④要求既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

19. 問(wèn)題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．
問(wèn)題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)，經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問(wèn)題解決：
（1）求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，的度數(shù)；
（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）
解：（1）∵旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，
∴每秒旋轉(zhuǎn)，
當(dāng)經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，，
∵，
∴；
（2）作于點(diǎn)C，設(shè)與水平面交于點(diǎn)D，則，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為米．
20. 如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640的羊圈？
（2）羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）設(shè)矩形的邊，則邊．
根據(jù)題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
解得，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈．
（2）不能，理由如下：
由題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
∵，
∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達(dá)到．
21. 如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．

（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．
解：（1）∵與相切于點(diǎn)A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切線；
（2）∵的半徑為4，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
22. 乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球．2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開(kāi)的．如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．
（1）乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：），測(cè)得如下數(shù)據(jù)：
在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫(huà)出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象；
（2）①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是______，當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是______；
②求滿足條件的拋物線解析式；
（3）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過(guò)網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)練．如圖②，乒乓球臺(tái)長(zhǎng)為，球網(wǎng)高為．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過(guò)網(wǎng)的擊球高度的值約為．請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．
解：（1）描出各點(diǎn)，畫(huà)出圖象如下：
（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，
可知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，
對(duì)稱軸為直線，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線開(kāi)口向下，
最高點(diǎn)時(shí)，乒乓球與球臺(tái)之間的距離是，
當(dāng)時(shí)，，
乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是；
故答案為：49；230；
②設(shè)拋物線解析式，
將代入得，，
解得：，
拋物線解析式為；
（3）當(dāng)時(shí)，
拋物線的解析式為，
設(shè)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值為，則平移距離為，
平移后的拋物線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：；
答：乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值為．
23. 如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作射線，垂足為，點(diǎn)在上．

（1）【動(dòng)手操作】
如圖②，若點(diǎn)在線段上，畫(huà)出射線，并將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中的度數(shù)為_(kāi)______度；
（2）【問(wèn)題探究】
根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【拓展延伸】
如圖③，若點(diǎn)在射線上移動(dòng)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
解：（1）如圖所示：

∵，∴，
∵，∴，
∴；
故答案為：135．
（2）；理由如下：
連接，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、P、B、E四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，連接，延長(zhǎng)，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
即；
當(dāng)點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、B、P、E四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
即；
綜上分析可知，或．

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