2023~2024學(xué)年山東省青島市嶗山區(qū)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份2023~2024學(xué)年山東省青島市嶗山區(qū)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共19頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第Ⅰ卷（共30分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 方程的兩個根為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
故選：D．
2. 下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A. 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、、
【答案】D
【解析】根據(jù)兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．
A，，所以四條線段不成比例，故A選項不符合題意；
B，，所以四條線段不成比例，故B選項不符合題意；
C，，所以四條線段不成比例，故C選項不符合題意；
D，，所以四條線段成比例，故D選項符合題意．
故選：D．
3. 某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（ ）
A. 袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個紅球和2個黃球，從中隨機取一個，取到紅球
B. 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點數(shù)是偶數(shù)
C. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面
D. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點數(shù)之和是7或超過9
【答案】D
【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，試驗結(jié)果在0.33附近波動，即其概率P≈0.33，
A、袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個紅球和2個黃球，從中隨機取一個，取到紅球的概率為，不符合題意；
B、擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點數(shù)是偶數(shù)的概率為，不符合題意；
C、先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面的概率為，不符合題意；
D、先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點數(shù)之和是7或超過9的概率為，符合題意，
故選D．
4. 如圖1，在菱形中，對角線相交于點O，要在對角線AC上找兩點E，F(xiàn)，使得四邊形是菱形，現(xiàn)有如圖2所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（ ）

A. 只有甲對B. 只有乙對
C. 甲、乙都對D. 甲、乙都不對
【答案】C
【解析】∵四邊形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四邊形是菱形．
故方案甲正確；
∵四邊形是菱形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形．
故方案乙正確．
故選：C．
5. 如圖，在5×6的方格紙中，畫有格點△EFG，下列選項中的格點，與E，G兩點構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A. 點AB. 點BC. 點CD. 點D
【答案】D
【解析】觀察圖形可得△EFG中，直角邊比為，
觀各選項，，只有D選項三角形符合，與所給圖形的三角形相似．
故選：D．
6. 某超市一月份的營業(yè)額為萬元，第一季度的營業(yè)額共35萬元，如果平均每月增長率為，則所列方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵平均每月增長率為，
∴二月份的營業(yè)額為，三月份的營業(yè)額為，
由題意，得：；
故選D．
7. 如圖，矩形中，，點E、F是的三等分點，連接，，相交于點M，則線段的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵矩形，，
∴，，，
∵點E、F是的三等分點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴；
故選A．
8. 如圖，已知點C是線段的黃金分割點，且．若表示以為邊的正方形的面積，表示長為、寬為的矩形的面積，則與的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】∵點C是線段的黃金分割點，且，
∴，
∵表示以為邊的正方形的面積，表示長為、寬為的矩形的面積，
∴，
∴．
故選：A．
9. 如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AE平分∠BAD，交BC于F，交DC延長線于E，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//DE，AD//BC，
∴∠BAE=∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE，
∴∠E=∠EAD，
∴AD=DE=5，
∴CE=DE-CD=5-3=2，
∵BC//AD，
∴△AED∽△FEC
∴
∴.
???????故答案為B.
10. 如圖,邊長為的正方形的對角線與交于點,將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點,則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四邊形ABCD正方形，
∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵將正方形ABCD沿直線DF折疊，點C落在對角線BD上的點E處，
∴DE=DC=，DF⊥CE，
∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在△OEC與△OMD中，
，
△OEC≌△OMD（ASA），
∴OM=OE=-1，
故選：D．
第II卷（共90分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒子中棋子的總個數(shù)是_________．
【答案】
【解析】，∴盒子中棋子的總個數(shù)是．故答案為：．
12. 在平面直角坐標系中，已知點E（-4，2），F(xiàn)（-2，-2），以原點O為位似中心，相似比為1：2，把△EFO縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標是______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）．
【解析】∵頂點E的坐標是（-4，2），以原點O為位似中心相似比為1：2將△EFO縮小得到它的位似圖形△E′F′O，
∴點E′的坐標是：（×（-4），×2），[- ×（-4），- ×2]，即（-2，1）或（2，-1）．
故答案為（-2，1）或（2，-1）．
13. 若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．
【答案】k＞﹣1且k≠0
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△==＞0，且，解得：k＞﹣1且k≠0，
故答案為：k＞﹣1且k≠0.
14. 如圖，小李身高，在路燈O的照射下，影子不全落在地面上．小李離路燈的距離，落在地面上影長，留在墻上的影高，則路燈高為_________．

【答案】
【解析】過點D作于點F，交于點E，
∵，
∴四邊形、四邊形均為矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案為：．

15. 如圖，中邊，高，正方形的四個頂點分別為三邊上的點（點為上的點，點為上的點，點為上的點），則正方形的邊長為_______．
【答案】
【解析】如圖所示：
四邊形為正方形，
，即，
，
，
設(shè)正方形的邊長為，
則，
，
解得：，
正方形的邊長為，
故答案為：．
16. 如圖，在菱形中，，E、F分別是，的中點，、相交于點G，連接，．有下列結(jié)論：①，②，③，④；其中正確的結(jié)論序號是_______．
【答案】①②③
【解析】①∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，，
∵E、F分別是，的中點，
∴，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵，
∴，
和①同理可得為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，故②正確，符合題意；
③∵點E為中點，為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正確，符合題意；
④∵，
∴與不全等，故④不正確，不符合題意；
綜上：正確的有①②③，
故答案為：①②③．
三、解答題（本大題共9小題，共72分）
17. 解下列方程：
（1）2x（x+1）＝x+1
（2）
解：（1），
，
，
或，
∴；
（2），
，
則，即，
∴，
∴，．
18. 已知一元二次方程有兩個實數(shù)根．
（1）求取值范圍；
（2）如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與有一個相同的根，求此時的值．
解：（1）∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
∵方程有兩個實數(shù)根，
∴，
解得：，
綜上： 的取值范圍且；
（2）∵且，
∴符合條件的最大整數(shù)，
把代入得：，
解得：，
∵方程與有一個相同的根，
∴方程的一個根為，
把代入得：，解得：．
19. 小明和小亮用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次，若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮勝，這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？說說你的理由．
解：把盤等分成三部分，使得被轉(zhuǎn)到的可能性相等，如下圖：
根據(jù)題意列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果出現(xiàn)，其中兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的有6種，兩次數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，
則（小明獲勝），（小亮獲勝），
，
這個游戲?qū)﹄p方公平．
20. 如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，連接BD并延長，與∠ACF的角平分線交于點E．
（1）求證：△ABD ∽△CED；
（2）若AB=8，AD=2CD，求CE的長．
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）∵△ABD∽△CED，
∴，
∵AD=2DC，AB=8；
∴
21. 如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝
∴BC＝5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米
∴樹高為6.5米．
22. 閱讀理解：
如圖1，在四邊形的邊上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接，，可以把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形的邊上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形的邊上的強相似點．
（1）如圖1，，試判斷點E是否是四邊形的邊上的相似點，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形中，四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個最小正方形的邊長為1）的格點（即每個最小正方形的頂點）上，若圖2中，矩形的邊上存在強相似點E，則 ；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點E處．若點E恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，試探究和的數(shù)量關(guān)系．
解：（1）是，理由如下：
，，
，
又，
，
點是否是四邊形的邊上的相似點；
（2）如圖，
故或．
故答案為：或；
（3）點恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，
，
，
，
，
，
即．
23. 如圖，平行四邊形的對角線、交于點O，E為中點，過點C作交的延長線于F，連接．
（1）求證：；
（2）當滿足什么條件時，四邊形為菱形？請說明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵E為中點，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）當時，四邊形為菱形，
理由如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，，
∴，
∴四邊形為菱形．
24. 某商店準備銷售一種多功能背包，計劃從廠家以每個元的價格進貨，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)當每個背包的售價為元時，月均銷量為280個，售價每增長2元，月均銷量就相應(yīng)減少20個．為保障商店的正常營銷，每個背包售價不高于55元．當這種背包銷售單價為多少元時，銷售利潤可達3120元？
解：設(shè)背包銷售單價為x元，
，
整理得：，
解得：，，
∵每個背包售價不高于55元，
∴當這種背包銷售單價為42元時，銷售利潤可達3120元．
25. 如圖，在中，，點P由點B出發(fā)沿的方向向點A勻速運動，速度為2cm/s，同時點Q由A出發(fā)沿方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接．
設(shè)運動的時間為t（s），其中．解答下列問題：

（1） ， ；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當t為何值時，以P、Q、A為頂點的三角形與相似？
（3）點P、Q在運動過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）在中，由勾股定理得：，
由題意得：，，
，
故答案為：，；
（2）分兩種情況：
①如圖1，

當時，，
則，
即，
解得：；
②如圖2，

當時，，
則，
即，
解得：；
綜上所述，的值為或時，以、、為頂點的三角形與相似；
（3）能成為等腰三角形，理由如下：
分三種情況：①如圖3，

當時，
，
解得：；
②如圖4，

當時，過點作于，
則，，
，
，
，
，
解得：；
③如圖5，

當時，過點作于，
則，，
，
，
，解得：，
綜上所述，當?shù)闹禐榛蚧驎r，能成為等腰三角形．
盤和盤
1
2
5
6
3
4
5
8
9
5
6
7
10
11
5
6
7
10
11