1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由可得，所以．
故選：C．
2. 已知集合，，若，則（ ）
A. 6B. 4C. D.
【答案】B
【解析】，，
因?yàn)椋?，則，
故選：B．
3. 已知直線，與平面滿足，，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①“”是“”的充分不必要條件；②“”是“”的必要不充分條件.判斷正確的是（ ）
A. ①，②都是真命題B. ①是真命題，②是假命題
C. ①是假命題，②是真命題D. ①，②都是假命題
【答案】A
【解析】①若，則“”“”，
反之，“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要條件，故①是真命題；
②若，則“”“”，
反之，“”推不出“”，
所以“”是“”的必要不充分條件，故②是真命題．故選：A．
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定義域?yàn)?，?br>為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除BC；
，可排除D.
故選：A.
5. 已知，且，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>所以，，
所以
．
故選：D．
6. 已知平面向量，，，若，則在上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，解得，
所以，所以在上的投影向量為．
故選：D．
7. 已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以方程有5個(gè)根．
設(shè)，結(jié)合fx圖象可得至多有三根，則方程化為，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，
結(jié)合的圖象可知，，，
令，
則由二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況得：解得．
故選:B．
8. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．若，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. （0，1）B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，
可得，解得，所以，
所以．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，得，
所以對(duì)任意的偶數(shù)成立，
因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取最大值，
故；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得，
所以對(duì)任意的奇數(shù)成立，
因?yàn)閱握{(diào)遞增，且當(dāng)是無限接近于12，故．
綜上所述，．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知實(shí)數(shù)，，滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，，所以，故C正確；
對(duì)于D，取，，可得，，不滿足，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 若函數(shù)圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
B. 在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)
C. 的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
D. 直線是曲線的切線
【答案】ABD
【解析】由題知，的最小正周期為，所以，
所以，
又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
即，，
因?yàn)?，所以，故?br>令，解得，
故在上單調(diào)遞減，故A正確；
，令，得，，
所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以的圖像與的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
，令，解得或，，
故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
故切線方程為，即，故D正確．
故選：ABD．
11. 已知函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A. 的圖像關(guān)于軸對(duì)稱
B. 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C. 若恒成立，則或
D.
【答案】AD
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
通過整體向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)．
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以是上的奇函數(shù)．
對(duì)于A，由于，所以為偶函數(shù)，
其函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，，所以為偶函數(shù)，
易知不恒成立，所以的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且為偶函數(shù)，由恒成立，
得恒成立，
又，所以，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，即，
所以，所以，故D正確．
故選：AD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為_____．
【答案】
【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），
，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.
13. 用鐵水灌注上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和的正四棱臺(tái)工件，若其側(cè)面梯形的高為，則所需鐵水的體積為_____．（灌注過程中鐵水無額外損耗）
【答案】
【解析】如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，
，分別為側(cè)面上的高以及棱臺(tái)的高，則，，
在等腰梯形中，，
等腰梯形中，過作，垂足為，
則，
所以，
所以該正四棱臺(tái)的體積為，
即所需鐵水的體積為．
14. 設(shè)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】，
令，則，且，
所以，
因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，
即．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)．
（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值．
解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
則，
在正方體中，，，
所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)?，?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，所以，，，四點(diǎn)共面．
（2）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
連接，，，則點(diǎn)在上．
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，
所以是的中點(diǎn)，
所以，，
所以是平面與平面的夾角．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，
所以．
16. 如圖，在平面四邊形中，，，，．
（1）求四邊形的周長(zhǎng)；
（2）求四邊形的面積．
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四邊形的周長(zhǎng)為；
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以四邊形的面積為．
17. 已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，記數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，證明：．
解：（1）因?yàn)?，，且?br>所以，解得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
兩式相減可得，
所以，
因?yàn)?，所以，且?br>所以是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即有．
（2），
所以，
兩式相減得，
所以，因?yàn)椋?br>所以．
18. 已知函數(shù)．
（1）證明：的圖象與軸相切；
（2）設(shè)．
（i）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，
所以，令，解得，
當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x0，hx單調(diào)遞增，
又，得，
則，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
19. 定義：多面體在點(diǎn)處離散曲率為，其中為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，（，且）為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面、平面、、平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，．
（1）求四棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率；
（2）求四棱錐內(nèi)切球的表面積；
（3）若是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍．
解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，則．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，即，
由離散曲率的定義得．
（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>設(shè)四棱錐表面積為，
則
．
設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，
則，
所以，
所以四棱錐內(nèi)切球的表面積．
（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
則為直線與平面所成的角．
易知，當(dāng)與重合時(shí)，；
當(dāng)與不重合時(shí)，設(shè)，
在中，由余弦定理得
因?yàn)?，所以，所以，則，
所以．
當(dāng)分母最小時(shí)，最大，即最大，此時(shí)（與重合），
由，得，即，
所以的最大值為，
所以直線與平面所成角的取值范圍為．

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