2024-2025學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.
2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答題無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A B. C. D.
2. 設(shè)，，是非零向量，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 下圖是我國(guó)2018～2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A. 我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)
B. 這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬(wàn)輛
C. 這六年增長(zhǎng)率最大的為2019年至2020年
D. 2020年銷量高于這六年銷量的平均值
4. 直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
5. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）
A. B. C. D.
6. 如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）

A. B. C. D.
7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
8. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）
A. B. C. D.
9. 在中，若，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
10. 已知雙曲線，則（）
A. 的取值范圍是
B. 時(shí)，的漸近線方程為
C. 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 可以是等軸雙曲線
11. 如圖，正方形中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
12. 直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A. 點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.
B. 直線與平面所成的角為定值．
C. 點(diǎn)到平面的距離的最小值為.
D. 最小值為-2．
第II卷
注意事項(xiàng)：
第II卷共2頁(yè)，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無(wú)效.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
13. 已知雙曲線離心率分別為和，則的最小值為_(kāi)_________.
14. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.
15. 法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個(gè)根不同冪的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
16. 如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后的幾何體，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).

（1）判斷BF和CE是否垂直，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17. 將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為，設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機(jī)變量X.
（1）求在的條件下，的概率；
（2）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
18. 如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.
（1）求證：；
（2）求異面直線與BE的距離；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19. 已知，，M是圓O：上任意一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)T，記點(diǎn)T的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)（）為曲線C上一點(diǎn)，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點(diǎn)（異于E點(diǎn)）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).
20. 在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：y=fx上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示y=fx在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
（2）求橢圓在處曲率；
（3）定義為曲線y=fx的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
2024-2025學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷
本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.
2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答題無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先解出集合M，再由子集關(guān)系求解集合N即可.
【詳解】由得，所以，
因?yàn)?，所以?duì)恒成立，
所以.
故選：A.
2. 設(shè)，，是非零向量，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.
【詳解】若，則，；
若，則，即
“”是“”的必要而不充分條件；
故選：B.
3. 下圖是我國(guó)2018～2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A. 我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)
B. 這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬(wàn)輛
C. 這六年增長(zhǎng)率最大的為2019年至2020年
D. 2020年銷量高于這六年銷量的平均值
【正確答案】D
【分析】根據(jù)條形圖，結(jié)合百分位數(shù)、平均數(shù)求法及各項(xiàng)描述判斷正誤即可.
【詳解】A：由條形圖知，我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)；
B：由，故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬(wàn)輛，對(duì)；
C：由圖知：2019年到2020年增長(zhǎng)率超過(guò)了100%，其它都不超過(guò)100%，對(duì)；
D：由，錯(cuò)；
故選：D
4. 直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)拋物線方程可得通徑長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑長(zhǎng)最短可確定，由此可得所求范圍.
【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為，通徑長(zhǎng)為，
當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，
此時(shí)，且，
即拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，
所以.
故選：A．
5. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用的坐標(biāo)相等建立齊次方程，求解離心率即可.
【詳解】
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由題意可知直線AB的方程為，
線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，
聯(lián)立，解得，所以，
另一方面，聯(lián)立，得.
易知，由韋達(dá)定理得，解得，
所以，故離心率，故D正確.
故選：D.
6. 如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）

A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，利用共線定理設(shè)，表示出，，根據(jù)建立等式求解，分別求出各邊的長(zhǎng)度，然后即可求解．
【詳解】由，
知為銳角，
又因?yàn)椋?br>所以．
設(shè)，即，
．
由，
得
，
又，故．
則，
因此，
即．在中，由正弦定理，
以及，
整理計(jì)算得．
故選：B．
7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別將與代入方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，再由離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】易得該橢圓的對(duì)稱中心為，且關(guān)于直線對(duì)稱，
將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
所以該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，所以半焦距，
所以其離心率為.
故選：C．
8. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，
再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.
【詳解】
設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).
根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，
所以MO是的中位線，所以，
又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.
所以，，雙曲線C的漸近線方程為，
設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，
由，即，
又T在上，則，即，解得，，
由，故，即距離之和為.
故選：A.
由平面幾何知識(shí)，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進(jìn)而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
9. 在中，若，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先由已知條件結(jié)合整理得，，，再對(duì)進(jìn)行弦化切，結(jié)合換元法、基本不等式、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可求解取值范圍.
【詳解】由以及得
，
又由得，
所以，且B，C均為銳角，即，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，
則.
故選：B.
思路點(diǎn)睛：解三角形取值范圍問(wèn)題通常結(jié)合使用輔助角利用三角函數(shù)有界性、一元二次函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等求解.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
10. 已知雙曲線，則（）
A. 的取值范圍是
B. 時(shí)，的漸近線方程為
C. 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 可以是等軸雙曲線
【正確答案】ACD
【分析】選項(xiàng)A，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用求雙曲線漸近線的求法，即可求解；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知焦點(diǎn)在軸上，再由，即可求解；選項(xiàng)D，利用等軸雙曲線的定義，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得0，所以焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的半焦距為，
則，解得，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
11. 如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
【正確答案】ABD
【分析】依題意建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)選項(xiàng)中的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得選項(xiàng)ABD中的表達(dá)式可寫(xiě)成只含有和的式子，結(jié)果為定值，而C選項(xiàng)中的結(jié)果最終含有，即與點(diǎn)位置有關(guān)，不是定值.
【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；
則可得，且；
易知；
所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，
，為定值，所以B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長(zhǎng)和半徑的式子，
即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，為定值，故D正確；
故選：ABD
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量坐標(biāo)化，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解是否為定值.
12. 直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A. 點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.
B. 直線與平面所成的角為定值．
C. 點(diǎn)到平面的距離的最小值為.
D. 的最小值為-2．
【正確答案】BC
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，化簡(jiǎn)后得點(diǎn)的軌跡方程，得軌跡長(zhǎng)度判斷A；向量法求線面角判斷B，向量法求點(diǎn)到平面距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡得最小值判斷C；坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，結(jié)合點(diǎn)的軌跡最小值判斷D.
【詳解】直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，則底面為菱形，
又，則和都是等邊三角形，
設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，
點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，
由，有，
即，
所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，
所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為， A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
平面的法向量為，，
直線與平面所成的角為，則，
又由，則，
所以直線與平面所成的角為定值， B選項(xiàng)正確；
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則有，令，得，，
所以點(diǎn)到平面的距離，
，所以時(shí)，，
所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；
，
，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)0,4距離的平方減12，
由，點(diǎn)到點(diǎn)0,4距離最小值，
的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
方法點(diǎn)睛：
空間幾何體中的相關(guān)問(wèn)題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問(wèn)題，也是常用的方法.
第II卷
注意事項(xiàng)：
第II卷共2頁(yè)，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無(wú)效.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
13. 已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為_(kāi)_________.
【正確答案】##1.5
【分析】由雙曲線離心率公式結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】，，
由題意得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
故答案為.
14. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.
【正確答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)知識(shí)求得正確答案.
【詳解】由于，
所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故
15. 法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個(gè)根不同冪的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.
【正確答案】123
【分析】利用韋達(dá)定理及，可先計(jì)算立方和，再求五次方和，結(jié)合完全平方公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，，?br>所以，
所以，
所以.
故123
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
16. 如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后的幾何體，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).

（1）判斷BF和CE是否垂直，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【正確答案】（1）BF和CE不垂直，理由見(jiàn)解析
（2）存在實(shí)數(shù)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出即可判斷.
（2）利用（1）中坐標(biāo)系，平面PBF的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
BF和CE不垂直，理由如下：
以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，
，，，，
因?yàn)椋?br>所以BF和CE不垂直.
【小問(wèn)2詳解】
假設(shè)存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，由，得，
顯然平面ABC的一個(gè)法向量為，，
設(shè)平面PBF的法向量為，則，取，得，
設(shè)平面ABC與平面PBF的夾角為，
則，而，解得，
所以存在實(shí)數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.
17. 將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為，設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機(jī)變量X.
（1）求在的條件下，的概率；
（2）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
【正確答案】（1）
（2）分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）列舉與的樣本點(diǎn)，利用條件概率公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列與期望公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，
設(shè)事件A為：，事件B為：，
則A為：{，
，
}，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為21，
，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為14，
根據(jù)條件概率得；
【小問(wèn)2詳解】
隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，，，
所以其分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望
18. 如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.
（1）求證：；
（2）求異面直線與BE的距離；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【分析】（1）在圖1中，連接CE，證明，，可證平面，即可得證；
（2）過(guò)作垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，求出即可的解；
（3）在圖2中延長(zhǎng)BE，CD，設(shè)，連接AG，則是平面與平面的交線，由面面垂直得性質(zhì)可得平面，即可得，作，垂足為H，連接CH，證得，則即為平面與平面所成銳二面角的平面角，從而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在圖1中，連接CE，易求.
∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點(diǎn)O，則.
∴在圖2中，，.又于O，
∴平面.
又平面，∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由勾股定理可得，∴.
過(guò)作的垂線OM，交于M，
則OM即異面直線與BE的距離，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：在圖2中延長(zhǎng)BE，CD，設(shè)，連接AG.
∵平面，平面.
又平面，平面.
∴是平面與平面的交線，
∵平面平面BCDE，，平面平面，
∴平面，又平面，∴，
作，垂足為H，連接CH，
又，∴平面OCH，又平面OCH，∴.
∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.
由（1）知，，為等邊三角形，
∴，∵，∴，解得.
在中，，∴.
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19. 已知，，M是圓O：上任意一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)T，記點(diǎn)T的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)（）為曲線C上一點(diǎn)，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點(diǎn)（異于E點(diǎn)）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).
【正確答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）畫(huà)出圖形，結(jié)合題意由雙曲線的定義得到點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，求出即可；
（2）設(shè)直線l的方程為，，，直曲聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，然后得出斜率間關(guān)系，進(jìn)而解出或，然后再求直線過(guò)定點(diǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
連接OM，
由題意可得，且M為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，
所以，且|.
因?yàn)榫€段的中垂線與直線相交于點(diǎn)T，
所以，
所以，
由雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)T的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線.
設(shè)其方程為，則，，，
故曲線C的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
證明：由（1）知
依題意直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為，，，
由，得，
，由，得，
所以，
則
，
整理得，
即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，
直線l過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，
直線l過(guò)定點(diǎn)，不合題意，舍去.
綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).
方法點(diǎn)睛：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可把直線方程中的看成已知，把參數(shù)看成未知量，（類似于主元變換的性質(zhì)）求出所過(guò)定點(diǎn).
20. 在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：y=fx上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示y=fx在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
（1）求單位圓上圓心角為60°圓弧的平均曲率；
（2）求橢圓在處的曲率；
（3）定義為曲線y=fx的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
【正確答案】（1）1 （2）
（3）
【分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.
（2）直接利用定義求解即可.
（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，結(jié)合高觀點(diǎn)極限方法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
．
【小問(wèn)2詳解】
，，，
故，，故．
【小問(wèn)3詳解】
，，故，其中，
令，，則，則，其中（不妨）
令，在遞減，在遞增，故；
令，
，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
故有，
則在1,+∞遞增，
又，，故，
故．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解．
X
0
1
2
3
4
5
6
P

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