注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】依題意，，
所以在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第三象限.
故選：C
2. 已知命題：，，命題q：，，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
【答案】B
【解析】因?qū)τ诿}：，，若取，則，故命題是假命題；
對于命題q：，，因函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且值域為,
故必有解，即命題為真命題.
故A項錯誤；B項正確；C項錯誤；D項錯誤.
故選：B.
3. 若，則=（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】由，得，所以.
故選：B
4. 已知是R上的減函數(shù)，，是其圖象上的兩點，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，不等式化為：，
而函數(shù)是R上的減函數(shù)，則，解得，
所以不等式的解集為.
故選：C
5. 若是函數(shù)的極小值點，則的極大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)，
求導(dǎo)得，
由是的極小值點，得，解得或，
當時，，
當時，；當時，，
則是的極大值點，不符合題意；
當時，，
當時，；當時，，
則是的極小值點，符合題意，，
又當時，，
所以函數(shù)在處取得極大值.
故選：D
6. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，，則=（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】在等差數(shù)列中，由及，
得，則，
所以.
故選：A
7. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故選：A.
8. 在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為
得，即
所以點在的角平分線上，設(shè)的中點為

因為，所以點在線段上，
不妨設(shè)，
所以
易知
所以
因為
所以
因為
所以
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知集合，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】函數(shù)中，，則，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，則，C正確；
對于D，集合的元素是數(shù)，集合的元素是有序?qū)崝?shù)對，因此，D正確.
故選：BCD
10. 函數(shù)，，的最小正周期為，且方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則
C.
D.
【答案】BCD
【解析】依題意，函數(shù)，
由的最小正周期為，得，解得，
對于A，，A錯誤；
對于B，把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，
得，
則，B正確；
對于C，當時，，而正弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對稱，
依題意，，解得，C正確；
對于D，由，得，解得，
由選項C知，，
因此，D正確.
故選：BCD
11. 已知函數(shù)，的定義域均為，且，若為偶函數(shù)，且，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于點對稱
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】①，
②，
由②可得：③，
①③聯(lián)立可得：④，
所以的圖象關(guān)于點對稱，A錯；
由④，又為偶函數(shù)，所以，
所以，兩式相減可得：，
又，，結(jié)合
所以，B對，
，由，可知：，
所以，所以，C錯；
由，可得，結(jié)合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正確.
故選：BD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．
12. 已知，使得不等式成立的一個充分不必要條件是，則m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】不等式，解得，
依題意，，則，此時，
所以m的取值范圍是.
故答案為：
13. 如圖，在中，，，、是邊上的兩點，且，則______．
【答案】
【解析】因為，，則，
不妨設(shè)，則，
因為，則，
所以，，同理可得，
因為，則，
故，
由二倍角的余弦公式可得，可得，
所以，.
故答案為：.
14. 在正方體中，，為棱AB的中點，一束光線從點射出，經(jīng)側(cè)面反射，反射光線又經(jīng)側(cè)面反射后經(jīng)過點，則這束光線在正方體內(nèi)的總長度為______．
【答案】
【解析】如圖1，光線從點射出，經(jīng)側(cè)面反射，反射光線又經(jīng)側(cè)面反射后經(jīng)過點，
則其路徑必在平面內(nèi)，設(shè)光線在平面和平面內(nèi)的反射點分別是，如圖所示.
在矩形中，，過點作于點，
由反射的性質(zhì)，可得，且，
易得，則得，因，則，
故，，
于是，
所以該光線經(jīng)過路徑長為：
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
解：（1）因為，設(shè)，則，，
由余弦定理可得，
因為，故.
（2）設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，
所以，，，，
所以，
，
所以，，，
由三角形的面積公式可得.
16. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性．
解：（1）當時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，由，得；由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
17. 在四棱錐中，已知平面，，，，是線段上的點，.

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
（1）證明：連接交于點，連接，如下圖所示：

因為，則，，所以，，
所以，，
又因為，所以，，
因為平面，平面，故平面.
（2）解：因為平面，，且，則，
以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，
因為，則，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，
所以為平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量為，，
則，
取，則，
，
所以，，
因此，平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知數(shù)列滿足，，公差不為的等差數(shù)列滿足，，成等比數(shù)列，
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）求和的通項公式．
（3）在與之間從的第一項起依次插入中的項，構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，….求中前項的和．
（1）證明：數(shù)列中，，
則，而，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為.
（2）解：由（1）知，，，
所以數(shù)列的通項公式為；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由成等比數(shù)列，得，
即，則有，
又，即，于是，
所以數(shù)列的通項公式為.
（3）解：依題意，數(shù)列中，前有數(shù)列中的前項，有數(shù)列中的前項，
因此數(shù)列中，前共有項，當時，，
當時，，因此數(shù)列的前項中有數(shù)列中的前項，有數(shù)列中的前項，
所以
.
19. 若存在正實數(shù)a，對任意，使得，則稱函數(shù)在D上是一個“函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)在上是一個“函數(shù)”，求a的取值范圍．
（2）（i）已知當時，，證明：函數(shù)在上是一個“函數(shù)”．
（ii）設(shè)，證明：.
（1）解：因為函數(shù)在上一個“函數(shù)”，
所以對任意，恒成立，即.
令，
則，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增.
所以當，，
又，則.
要使恒成立，則，解得.
故的取值范圍為.
（2）證明：（i）要證明函數(shù)在上是一個“函數(shù)”，
只需證當時，，下面證明：
當時，，
由圖象對稱性可知，當時，.
令，
則，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增.
所以，即，.
令，
則，
同理可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
則，即，.
綜上所述，
所以，函數(shù)在上是一個“函數(shù)”.
（ii）當時，，
由（i）可得，,且.
所以，即當時，.
令，則，
則有，
所以
.
故，得證.

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