一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.）
1. 已知，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，，A錯(cuò)誤；
由元素與集合、集合與集合的關(guān)系知BC錯(cuò)誤；
，D正確.
故選：D.
2. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 5
【答案】C
【解析】由已知，.
故選：C．
3. 下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】奇函數(shù)是C和D，ABD都是增函數(shù)，因此只有D中函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).
故選：D．
4. 十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次命題正確的是使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)屆接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．已知a，b，c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，由，則，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，，則，由，則，所以，
故B正確；
對于C，由B可知，由，則，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，則，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
5. 若，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴，又，
所以不等式的解為或．
故選：C．
6. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由圖可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)為奇函數(shù)，
且函數(shù)在上不單調(diào)，
對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，則函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)椋?，?br>所以，，，則函數(shù)在上不單調(diào)，合乎要求；
對于B選項(xiàng)，對于函數(shù)，有，即，即，
解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，不合乎要求?br>對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，即函數(shù)不是奇函數(shù)，不合乎題意；
對于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，則函數(shù)為奇函數(shù)，
任取、，且，則，
所以，，即，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
不合乎要求.
故選：A.
7. 已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且.則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】令，可得，由，，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故選：A.
8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
綜上，函數(shù)，
在時(shí)的解析式等價(jià)于.
根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱作出函數(shù)在上的大致圖像如圖所示，
觀察圖像可知，要使，，則需滿足，
解得.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.）
9. 下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（ ）
A. ，B. ，2x為偶數(shù)
C. 所有菱形的四條邊都相等D. 每個(gè)二次函數(shù)的圖像都是軸對稱圖形
【答案】ACD
【解析】選項(xiàng)ACD是全稱命題，選項(xiàng)B是特稱命題，
A中，由，正確；
CD均正確．
故選：ACD．
10. 若的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)m的值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】ABC
【解析】由題意可得，則，解得，
易知.
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
令，則，則，，故B正確；
令，則，故D正確；
取函數(shù)，則，，
故滿足是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，
而，，故AC錯(cuò)誤.
故選：BD.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. __________.（填“＞”或“＝”或“＜”）
【答案】＞
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，，所以.
13. 已知函數(shù)，若在上有解，則m的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】由題意，解得.
14. 已知函數(shù)（）在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．若函數(shù)（）在正整數(shù)集合內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，要使函數(shù)（）在正整數(shù)集合內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，解得.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 化簡：
（1）；
（2）（）.
解：（1）原式.
（2）原式.
16. 已知集合，，全集.
（1）求：；；
（2）若，且，求m的取值范圍；
（3）若，且，求a的值.
解：（1），或，，
，.
（2）∵，∴.
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得.
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上所述，.
（3）∵，∴，
又∵，∴方程的兩個(gè)根都在內(nèi).
∴令，則，
解得.
17. 已知函數(shù)（）.
（1）若函數(shù)y=fx在上不單調(diào)，求的取值范圍.
（2）若函數(shù)y=fx在0,2上的最小值為，求函數(shù)的最大值.
解：（1）函數(shù)y=fx的對稱軸為.
∵函數(shù)y=fx在上不單調(diào)，∴，解得；
（2）（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx在0,2上單調(diào)遞增，
∴
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，∴，
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=fx在0,2上單調(diào)遞減，∴，
綜上所述，
∵當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，.
18. 洞頭一中的校課外興趣小組的學(xué)生為了給學(xué)校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過實(shí)驗(yàn)后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放m（，且）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？
（2）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放m個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求m的最小值．
解：（1）∵，∴.
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)．
綜上，得．故若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污的時(shí)間可達(dá)8天．
（2）當(dāng)時(shí)，
，
又，，則．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.
令，解得，故所求m的最小值為1．
19. 已知函數(shù).
（1）若，，求該函數(shù)的值域.
（2）若該函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交，求該函數(shù)的解析式并寫出其單調(diào)性（寫出即可，不用證明）.
（3）若，，，且對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：（1）若，，則，
∵，單調(diào)遞減，∴的值域?yàn)?
（2）∵該函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交.
∴且，所以，
∴，
是減函數(shù)，在上遞減，在上遞增，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（3）若，，，
∴，
當(dāng)時(shí)，即為，即.
∵，
∴對于恒成立．
∵，∴，
故m的取值范圍是．

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