一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得，即，則.
故選：D.
2. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A：令，定義域為R，，
則，所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調遞減，
故A不符合題意；
B：令，定義域為R，，則，
所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調遞增，故B不符合題意；
C：令，定義域為R，，
所以為偶函數(shù)，在上單調遞增，故C符合題意；
D：令，定義域為R，，
所以為偶函數(shù)，
當時，，則在上單調遞減，故D不符合題意.
故選：C.
3. 命題“，使得”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】命題“，使得”的否定為“，”.
故選：D.
4. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數(shù)在上單調遞減，且，則；
由函數(shù)在上單調遞增，且，則，
由，則.
故選：A.
5. 為實現(xiàn)碳達峰、碳中和，中共中央國務院提出，到2025年單位國內生產總值二氧化碳排放比2020年下降18%，則2020年至2025年要求單位國內生產總值二氧化碳排放的年均減排率最低是（ ）
A. 0.036B. C. D.
【答案】C
【解析】設2020年單位國內生產總值二氧化碳排放量為，
2020年至2025年要求單位國內生產總值二氧化碳排放的年均減排率最低為，
則2020年單位國內生產總值二氧化碳排放量為，
故，解得．
故選：C．
6. 設，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當時，則，由，得，
整理得，解得或0（舍去）；
當時，則，由，得，無解.
綜上，.
故選：B.
7. 甲、乙、丙、丁四位同學猜測校運會長跑比賽中最終獲得冠軍的運動員.
甲說：“冠軍是李亮或張正”，
乙說：“冠軍是林帥或張正”，
丙說：“林帥和李亮都不是冠軍”，
丁說：“陳奇是冠軍”．
結果出來后，只有兩個人的推斷是正確的，則冠軍是（ ）
A. 林帥B. 李亮C. 陳奇D. 張正
【答案】C
【解析】對A，若林帥獲得冠軍，則乙正確，甲、丙、丁都錯誤，故A錯誤；
對B，若李亮獲得冠軍，則甲正確，乙、丙、丁錯誤，故B錯誤；
對C，若陳奇獲得冠軍，則丙、丁正確，甲、乙錯誤，故C正確；
對D，若張正獲得冠軍，則甲、乙、丙正確，丁錯誤，故D錯誤.
故選：C.
8. 我們知道，函數(shù)圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．則函數(shù)圖象的對稱中心為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設函數(shù)圖象的對稱中心為，
則函數(shù)
是奇函數(shù)，則，
即：，
化簡得：對于定義域內任意恒成立，
則，解得，即對稱中心為.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. “，”是“”成立的充分不必要條件
D. “”是“”的必要不充分條件
【答案】ACD
【解析】A：由，得，故A正確；
B：由，令，則不滿足，故B錯誤；
C：若，則，所以充分性成立；
若，令，不滿足，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，故C正確；
D：若，若，則不成立，所以充分性不成立；
若，則，所以必要性成立，
所以“”是“”是必要不充分條件，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知正實數(shù)x，y滿足，下列說法正確的是（ ）
A. xy的最大值為2B. 的最小值為4
C. 的最小值為D. 的最大值為1
【答案】BC
【解析】對于A，由，則，
由，則，解得，
，可得，，
解得或，綜上可得，當且僅當，等號成立，
所以的最大值為，故A錯誤；
對于B，由，則，
由，則，解得，
，可得，
，解得或，
綜上可得，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為，故B正確；
對于C，由，則，由，則，解得，
由題意可得，，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，
故C正確；
對于D，由A可知，當且僅當時，等號成立，且，
，由，則，所以的最小值為，故D錯誤.
故選：BC.
11. 設，，，，記為平行四邊形內部（不包含邊界）的“格點”的個數(shù)（格點是指橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），則函數(shù)可能的值為（ ）
A. B.
C. 10D.
【答案】ABD
【解析】對，設平行四邊形內部位于直線上的格點數(shù)目為，
則.
而就是開區(qū)間上的整數(shù)個數(shù)，所以當是整數(shù)時，；
當不是整數(shù)時，.
這就得到，所以由可得.
由于，故如果中有兩個是整數(shù)，則剩余的第三個一定是整數(shù)，
所以.
這就得到.
由，，可知，的全部可能值為.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，，則________.
【答案】
【解析】，，則.
13. 如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，則矩形廣告的總面積最小值為__________．
【答案】
【解析】設陰影部分矩形的底邊長為，則其高為，
所以，矩形廣告的總面積為
，
當且僅當時，即當時，取最小值.
14. 若關于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】關于的不等式在上有解，
即關于的不等式在上有解，
作出兩函數(shù)與的圖像，如下圖：
當與相切時，則，即，
由，解得：；
當過點0,3時，得.
由圖可知，，因此實數(shù)的取值范圍為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．
15. 已知集合，．
（1）若，，求；
（2）若，，求正數(shù)的取值范圍．
解：（1）由題意得，而，故，
得，.
（2）由，得，即，即，
而，由得，即，
而，故，且，得，
即a的取值范圍為．
16. 已知二次函數(shù)．
（1）若，解集為，求；
（2），方程的兩根為，求的最小值．
解：（1）當時，依題可知的解是或，
由韋達定理可知，，解得，.
（2）由和韋達定理可得，，且，
則（*），
由，可知，且，
由（*）式可得：．
當且僅當時等號成立，即時，的最小值為3．
17. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)在內的單調性，并證明你的結論；
（3）若，使成立，求實數(shù)k的取值范圍．
解：（1）因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以恒成立，
即，整理得恒成立，所以.
（2）由（1）可知，函數(shù)，
因為為增函數(shù)，且，所以在上為減函數(shù).
證明如下：，，，
，
因為，則，，
所以，故函數(shù)是減函數(shù)．
（3）由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，
由（2）知函數(shù)是上的減函數(shù)，則有，即，
因為，因為，有最大值9，
所以，即的取值范圍為．
18. 高斯是德國著名的數(shù)學家，用其名字命名的"高斯函數(shù)"為，其中表示不超過x的最大整數(shù)．例如：，，高斯函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，例如停車收費，出租車收費等都是按"高斯函數(shù)"進行計費的；“11.11”期間，某購物網站進行下面二項優(yōu)惠促銷活動：
第一項：一次性購買商品，每滿120元立減10元；
第二項：在享受了第一項優(yōu)惠以后，購買的商品總價每滿800元再減80元．
例如，一次購買商品1620元，則實際支付額元；
（1）小麗計劃在網站購買兩件價格分別是500元和1300元的商品，她是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；
（2）某商品是小麗常用必需品，其價格為60元/件，小麗預算不超過1000元，試求她應購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？
解：（1）分兩次支付：支付額為元；
一次支付：支付額為元；
所以一次支付好．
（2）設購買件，平均價格為元/件．由于預算不超過1000元，
若買20件，需要付額，
若買19件，需要付額，所以最多買19件；
當，時，；
若、3、5，7、9、11、13時，，
若、4、6、8、10、12、14時，；
所以當時，購買偶數(shù)件時，平均價格最低，為55元/件．
當時，能享受每滿800元減80元的優(yōu)惠，
，
代入，可知時，有最小值50元；
、19代入，可知時，有最小值50元．
綜上，購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為50元/件．
19. 對于給定的非空集合M，定義集合，，當時，則稱具有“對稱性”，而，稱為的對稱集合．
（1）試判斷集合，是否具有“對稱性”，如果有，求出其對稱集合；如果沒有，請說明理由
（2）若集合，且集合具有"對稱性"，求的最小值．
（3）已知，且，記，若集合B具有“對稱性”，求m的最小值．
解：（1）對于集合，，，，
所以具有“對稱”性質，且對稱集合為，；
對于集合，，，，
所以不具有對稱性．
（2）因，故或，于是2、3、4、、、，
0、1、、，因為，所以，，又，．
（3），，
因為，所以，解得，又，故．

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