本試卷共四大題，19小題；考試時長120分鐘，卷面滿分150分。
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場/座位號填寫在答題卡上，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。涂寫在本試卷上無效。
3．作答非選擇題時，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將答題卡交回。
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1．已知集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數z滿足，i為虛數單位，則z等于（ ）
A．B．C．D．
3．是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．設，均為非零向量，且，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則b=（ ）
A．B．C．D．3
6．下列函數的圖象不可能與直線，相切的是（ ）
A．B．C．D．
7．將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起，折起后點D記為．若，則四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定義域為R的偶函數，當時，，若有且僅有3個零點，則關于x的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知是某個簡諧運動的函數解析式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A．
B．這個簡諧運動的初相為或
C．在上單調遞減
D．將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應的函數是偶函數
10．設函數，則（ ）
A．當時，的極大值大于0
B．當時，無極值點
C．，使在R上是減函數
D．，曲線的對稱中心的橫坐標為定值
11．已知等比數列的首項，公比為，前n項和為，前n項積為，則（ ）
A．若數列是遞增數列，則
B．若數列是遞增數列，則
C．當時，存在實數M，使得恒成立
D．若，則使得成立的n的最大值為10
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知，則=______．
13．已知正項數列滿足，則=______．
14．在坐標平面內，橫、縱坐標均為整數的點稱為整點．點P從原點出發(fā)，在坐標平面內跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處．則點P到達點所跳躍次數的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題13分）若銳角的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且．
（1）求角A的大?。?br>（2）求的取值范圍．
16．（本小題15分）如圖，三棱柱中，，，，，．
（1）求證：平面ABC；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．
17．（本小題15分）已知橢圓C：經過點，下頂點A為拋物線的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點，均在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，求證：直線PQ過定點；
18．（本小題17分）近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了A，B兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉．
（1）該校學生甲、乙、丙三人某周均從A，B兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為，，，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；
（2）該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為．若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為．求丁周日選擇B健身中心健身的概率；
（3）現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定k值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統(tǒng)計發(fā)現從全校學生中隨機抽取一人，其k值低于1分的概率為0.02．現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過n．若抽取次數的期望值不超過23，求n的最大值．
參考數據：，，．
19．（本小題17分）已知函數（，且）．
（1）當時，證明：為增函數；
（2）若存在兩個極值點，．
（?。┣骯的取值范圍；
（ⅱ）設的極大值為M，求M的取值范圍．
寶雞中學2022級高三月考三考試參考答案
一．選擇題
二．填空題
12．13．14．10
三解答題
15．解：（1）因為，
所以，
即，
由正弦定理得：，
顯然，，所以，所以，
因為，所以．
（2）因為外接圓的半徑為，所以由正弦定理得：，所以，，
所以，
因為為銳角三角形，所以，解得，即．
令，，
根據對勾函數的性質可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范圍為．
16．（1）證明：因為，，，由余弦定理得，
所以，所以，又因為，
又因為，所以平面ABC．
（2）解：由已知和（1）得，CA、CB、CA兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，，，，，，
設平面和平面的法向量分別為，，
，令，，
，令，，
直線與平面所成角的正弦值為，解得，
，，
所以二面角的余弦值為．
17．解：（1）因為拋物線的焦點為，
所以橢圓C的下頂點，可得，
因為橢圓C經過點，所以，解得，
則橢圓C的方程為．
（2）證明：當直線PQ的斜率不存在時，
不妨設，此時，
則，整理得，
由與解得不符題意，所以直線PQ的斜率存在，
因為直線AP，AQ斜率同號，所以直線PQ的斜率存在且不為0，
不妨設直線PQ的方程為，，，
聯(lián)立，消去y并整理得，
此時，即，
由韋達定理得，，
所以
，
此時，
整理得，
即，解得或，
當時，直線PQ方程為，令，解得，
所以直線PQ恒過定點，不符合題意，
當時，直線PQ方程為，令，解得，
所以直線PQ恒過定點，符合題意，
綜上所述，直線PQ恒過定點．
18．解：（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率
；
（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，則，，，
由全概率公式得，
故丁周日選擇B健身中心健身的概率為；
（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為p，則，
設抽取次數為X，則X的分布列為：
故，
又，
兩式相減得
所以，所以在時單調遞增，
可知當時，，
當時，，
當時，，
若抽取次數的期望值不超過23，則n的最大值為30．
19．（1）證明：當時，，，
設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，所以，所以為增函數．
（2）解：（i）設，則，
則．
設，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，
當時，令，由，且在上單調遞增，
故僅有一個零點，不符合題意；
當時，，
①當時，則，此時，，單調遞增，不符合題意；
②當時，則，此時存在兩個零點，
當時，，當時，，；
當時，，，存在兩個極值點，符合題意．
綜上可知，．
（ⅱ）由（i）可知，且，滿足，
故，
設，則，
設，則，
故單調遞減，且，則，
即．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
B
C
C
D
A
A
AD
BD
BCD
X
1
2
3
…
n
P
p
…

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