1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，,
故，
故選；C
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為復(fù)數(shù)滿足，則，
因此，復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
3. 已知向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】.
而，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 圓的圓心到直線的距離為1，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由配方得，所以圓心為，
因為圓的圓心到直線的距離為1，
所以，解得.
故選：A.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，則，，
因為，
則①，
等式①的兩邊同時除以可得，
解得，
故選：D.
6. 等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.設(shè)，則數(shù)列的前項和（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則，
所以，所以，因為，可得，
所以，
所以，
所以，，
即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
因此.
故選：B.
7. 已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線于、兩點.若的中點坐標為，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)、，
若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，
因為線段的中點坐標為，則，
則，兩式相減得，
則，
因為，所以，，
所以，，解得，
因此，雙曲線的標準方程為.
故選：D.
8. 某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 3937萬元B. 3837萬元C. 3737萬元D. 3637萬元
【答案】A
【解析】設(shè)該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為.
依題意可得，則，
所以數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，
則，即，
則，
故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.
故選：A.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則.
C. 若，則
D. 若，則.
【答案】AC
【解析】對于A：因為，可知在平面內(nèi)存在直線，使得，如圖所示，

又因為，且，則，所以，因此A正確；
對于B：如圖所示：，但，故B錯誤；

對于C：若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確.

對于D：，如圖所示，，故D錯誤.

故選：AC.
10. 已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C.D. 6個零點之和是6
【答案】BD
【解析】由函數(shù)的圖像，經(jīng)過軸翻折變換，可得函數(shù)的圖像，
再向右平移1個單位，可得的圖像，
最終經(jīng)過軸翻折變換，可得的圖像，如圖所示，
則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，
令，
因為函數(shù)最小的零點為，且，
故當時，方程gx=0有4個零點，
所以要使函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則或，
由，可得或，
設(shè)的四個根從小到大依次為，
由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對稱，可得，
所以的所有零點之和是6，故D正確；
關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為和，
由韋達定理，得，所以B正確，A，C錯誤.故選：BD.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 當時，在上單調(diào)遞增
B. 若，且，則函數(shù)的最小正周期為
C. 若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關(guān)于軸對稱，
則的最小值為3
D. 若在上恰有4個零點，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】對于A，當時，若，則，
由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增；故A正確；
對于B，若，且，則當且僅當，
故B正確；
對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，
得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達式為：，
若的圖象關(guān)于軸對稱，則，
注意到，
所以當且僅當時，的最小值為4，故C錯誤；
對于D，，，得到，
若在上恰有4個零點，
則當且僅當，解得，即的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD.
三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2 +y2- 4y= 0所截得的弦長為__________.
【答案】
【解析】設(shè)弦長為，過原點且傾斜角為60°的直線方程為
整理圓的方程為：，圓心為，半徑
圓心到直線的距離為：
則：
故答案為：
13. 已知數(shù)列前項和為，且，若存在兩項使得，當時，則最小值是__________.
【答案】4
【解析】由，得，
兩式相減得，
而，
所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即，
因為，則，即，
因為，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，所以最小值是，
故答案為：.
14. 已知曲線在點處的切線與曲線相切，則__________.
【答案】
【解析】因為的導(dǎo)數(shù)為，則，
所以曲線在處的切線方程為，即，
又切線與曲線相切，
設(shè)切點為，
因為，所以切線斜率為，解得，
所以，則，解得.
故答案為；.
四?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 如圖，已知的半徑是1，點在直徑的延長線上，，點是上半圓上的動點，以為邊作等邊三角形，且點與圓心分別在的兩側(cè).
（1）若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù).
（2）求四邊形的面積的最大值.
解：（1）由已知：，
在中，，
由余弦定理知：，
所以，，
，
即；
（2）由（1）知，
則，
所以，
當，即時取到最大值.
即四邊形的面積的最大值為.
16. 統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為年—年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對應(yīng)的代碼依次為—.
，，，其中
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到）；
（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學(xué)期望和方差.
解：（1）設(shè)，則，
因為，，，
所以，，
所以，與的擬合函數(shù)關(guān)系式為
當時，，
則估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.
（2）由題意知，
所以，，，
由，可得，
因為，解得，
所以，，.
17. 如圖，在正四棱柱中，.點分別在棱上，.
（1）證明：；
（2）是在棱上否存在點，使得二面角為，若存在，求出點位置，若不存在，請說明理由.
（1）證明：以坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，
，
，
又不在同一條直線上，.
（2）解： 假設(shè)在棱上存在點，使得二面角為，
則，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
化簡可得，，解得或，或，
所以在棱上存在點，使得二面角為，點是線段靠近兩端點的兩個四等分點.
18. 已知拋物線的準線與橢圓相交所得線段長為.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)圓過，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當在拋物線上運動時，弦的長是否有定值？說明理由；
（3）過作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.
（1）解：由已知，拋物線準線與橢圓相交線段的一個端點坐標是，
把代入橢圓方程化簡得，解得.
所以拋物線的方程為.
（2）解：假設(shè)在拋物線上運動時弦的長為定值，理由如下：

設(shè)在拋物線上，可知到軸距離為，
根據(jù)圓的弦長公式可知：，
由已知，，
所以，
則在拋物線上運動時弦的長的定值為.
（3）解：若過點且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，
則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
設(shè)過的的兩條直線的方程分別為、，其中，
設(shè)直線交拋物線于點、，
由得，，
由韋達定理可得，則，
同理可得，
所以，四邊形的面積
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
即四邊形的面積的最小值為.
19. 已知函數(shù)．
（1）當時，則過點的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）當時，，，
設(shè)切點為，
因為切線過點0,2，所以切線斜率存在，故可設(shè)切線方程為，
則，
化簡可得，
即，
由的判別式知方程有2個不等實根且不為1，
故有3個不等的實根，
所以切線有3條，其中一條切點橫坐標為1，故，
所以切線方程為.
（2），
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，所以或時，f'x>0，單調(diào)遞增，
當時，f'x

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