一、單選題
1．，則（ ）
A．B．C．D．2
2．已知向量，的夾角為45°，且，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3．已知命題，，命題，，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足等式，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．6C．D．
6．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮?，得到函?shù)的圖象.則（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在四棱臺(tái)中，底面為平行四邊形，側(cè)棱平面，，，若四棱臺(tái)的體積為．則直線與平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
8．“求方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且，所以原方程有唯一解．類比上述解題思路，不等式的解集是（ ）
A．B．1,+∞C．D．
二、多選題
9．已知a，，有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，，，8，10，，12，13，若在這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8，則（ ）
A．平均數(shù)不變B．中位數(shù)不變C．方差不變D．極差不變
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．在0,1單調(diào)遞增B．y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱
C．y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
11．設(shè)曲線C的方程為x2＋y2＝2|x|－2|y|，則（ ）
A．曲線C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
B．曲線C圍成圖形的面積為
C．曲線C的周長(zhǎng)為
D．曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4
三、填空題
12．從2024年伊始，各地旅游業(yè)爆火，兵馬俑是陜西省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有 ；（用數(shù)字做答）
13．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2 …an的最大值為 ．
14．已知，，則 ．
四、解答題
15．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，為邊邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積．
16．某趣味運(yùn)動(dòng)設(shè)置了“謎語競(jìng)猜”活動(dòng)，在活動(dòng)中設(shè)置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對(duì)當(dāng)前謎語才能繼續(xù)競(jìng)猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎(jiǎng)金．每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立．猜對(duì)三道謎語的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：
(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎(jiǎng)金至少為30元的概率；
(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，按哪種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？
17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是上任一點(diǎn)，.
(1)求證：平面平面.
(2)四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，若，求直線與平面所成角的正弦值.
18．已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.
19．已知曲線，對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)，定義．若兩點(diǎn)，滿足，稱點(diǎn)在曲線同側(cè)；若，稱點(diǎn)在曲線兩側(cè)．
(1)直線過原點(diǎn)，線段上所有點(diǎn)都在直線同側(cè)，其中、，求直線的斜率的取值范圍；
(2)已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)集的面積；
(3)記到點(diǎn)與到軸距離和為的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn)在曲線兩側(cè)，求曲線的方程與實(shí)數(shù)的取值范圍．
謎語
①
②
③
猜對(duì)的概率
0.8
0.5
獲得的獎(jiǎng)金（元）
10
20
30
參考答案：
1．C
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模的運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，
得，
故選：C.
2．B
【分析】化簡(jiǎn)求出，進(jìn)而求出在上的投影向即可．
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>所以，解得，
從而，在上的投影向量為．
故選：B．
3．A
【分析】先判斷命題的真假性，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對(duì)于命題，，當(dāng)時(shí)，
，所以為假命題.
對(duì)于命題，，
畫出與的圖象如下圖所示，由圖可知，
兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)公共點(diǎn)，所以為真命題.
所以且為真命題，
且、且、且為假命題.
故選：A
4．D
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足等式，得到點(diǎn)A的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓求解.
【詳解】解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足等式，
所以表示點(diǎn)A到點(diǎn)的距離之和為8，且，
所以點(diǎn)A的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
其中：，
所以橢圓的方程是，
故選：D
5．D
【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【詳解】由可得，因，則，
于是，
因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，時(shí)，的最小值為.
故選：D.
6．C
【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖象變換結(jié)論求的解析式，再求.
【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，橫坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象，
所以，故.
故選：C.
7．A
【分析】過點(diǎn)，作，連接，根據(jù)平面，得到平面，連接，從而為與平面的夾角求解.
【詳解】如圖所示：
過點(diǎn)，作，連接，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面平面，
所以平面，連接，
則為與平面的夾角，
在平面中，，，，則，
，，
所以四棱臺(tái)的體積為：，
所以，，
為的中點(diǎn)， ，
．
故選：A
8．D
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性即可得，從而可得不等式的解集.
【詳解】原式化簡(jiǎn)為：，即
令，則，則y=gx在上單調(diào)遞增，
則不等式轉(zhuǎn)化為，所以方程解集為.
故選：D．
9．AD
【分析】求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷A的真假；令取特殊值，驗(yàn)證B的真假；利用方差的計(jì)算公式求方差判斷C的真假；因?yàn)?不是最值，所以插入8不影響極差，可判斷D的真假.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，插入一個(gè)數(shù)8，平均數(shù)不變，正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，取，，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5，錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的方差為，錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所?不是最值，故新數(shù)據(jù)的極差不變，正確．
故選：AD
10．ACD
【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后將函數(shù)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算變形，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則以及二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷A,B,C即可；分析函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象的交點(diǎn)，即可判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷D.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，又?br>令，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；
因?yàn)?，所以函?shù)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，
則函數(shù)與函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示：
故函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD．
11．ABD
【分析】根據(jù)方程特點(diǎn)分類討論分別畫出圖像，然后逐個(gè)判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)方程為，
當(dāng)時(shí)方程為，
當(dāng)時(shí)方程為，
當(dāng)時(shí)方程為，
如圖所示，
，
對(duì)于A：易知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B：因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
所以只需要計(jì)算第一象限內(nèi)圖像的面積即可，
因?yàn)?，且圓的半徑，所以弦心距，
所以所對(duì)的圓心角為，
所以該圖形為圓心角為的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形，
所以，所以總面積為，B正確；
對(duì)于C：第一象限內(nèi)的圖形是圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)，所以，
所以曲線C的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為，D正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)分類討論得到不同情況下的方程進(jìn)而得到圖像是解決該類題型的關(guān)鍵.
12．120
【分析】根據(jù)相鄰問題“捆綁法”和排列數(shù)公式，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.
【詳解】先將“捆綁”看成一個(gè)元素，與另外四人在五個(gè)位置上進(jìn)行全排，
再考慮在的左邊，最后“解綁”，故有種方法.
故答案為：120.
13．
【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用
14．45/0.8
【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
即，
因?yàn)椋?br>則．
故答案為：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換的知識(shí)求得.
（2）利用三角形的面積公式、余弦定理列方程，求得，進(jìn)而求得三角形的面積.
【詳解】（1）由，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，得．
（2）由為的平分線，得，
因?yàn)椋?br>所以，
即，①
由余弦定理得，
即，②
由①②，得，
所以．
16．(1)0.4
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)事件,依題，根據(jù)事件與事件的互斥與的相互獨(dú)立，利用概率公式計(jì)算即得；
（2）分兩種方案分別計(jì)算隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)取值的概率，列出分布列，計(jì)算期望值，作差比較即得.
【詳解】（1）設(shè)“猜謎者①猜對(duì)”為事件A；“猜謎者②猜對(duì)”為事件B；“猜謎者③猜對(duì)”為事件C．
記“所獲得獎(jiǎng)金至少為30元”為事件，則包括獲得獎(jiǎng)金30元或60元．
獎(jiǎng)金30元指①、②猜對(duì)，③猜錯(cuò)，即事件發(fā)生；
獎(jiǎng)金60元指①、②猜對(duì)，③猜對(duì)，即事件發(fā)生.
因事件與事件互斥，且相互獨(dú)立，
則
.
即所獲得獎(jiǎng)金至少為30元的概率為0.4;
（2）若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語．
則他所獲獎(jiǎng)金的所有可能取值為0，10，30，60（元），
，
，
，
，
列出的分布列為：
故；
若猜謎者按“③、②、①”順序猜謎語．
則他所獲獎(jiǎng)金的所有可能取值為0，30，50，60（元），
，
，
，
，
列出的分布列為：
故.
由，
當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)按①、②、③順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多；
當(dāng)，即時(shí)，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎(jiǎng)金一樣多；
當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)按③、②、①順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多．
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明；
（2）由錐體的體積公式可得E是PC的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由線面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）在四棱錐中，底面為菱形，所以，
又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面，所以，
，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，，
設(shè)到平面的距離為，
則，
所以，所以E是PC的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑吻遥?br>所以為等邊三角形，所以，所以，
如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
令，則，，，
，，所以，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，
即，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)條件，利用（1）中結(jié)果得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的最小值，即可求解.
【詳解】（1）易知，因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得到，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，
由（1）知，要使對(duì)任意的恒成立，則，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，則，由，得到，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故的最小值為.
19．(1)
(2)
(3)和，
【分析】（1）設(shè)直線，由可解不等式求得結(jié)果；
（2）根據(jù)方程的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓在直線下方的部分（不含邊界）的面積的求解，結(jié)合扇形和三角形面積公式可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)已知等量關(guān)系可整理得到曲線的方程，將整理為，，通過討論曲線上的點(diǎn)到的距離可構(gòu)造不等關(guān)系求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知：直線斜率存在，可設(shè)其方程為，即，
，解得：，
直線斜率的取值范圍為.
（2），，
，即，
點(diǎn)集表示圓在直線下方的部分（不含邊界），如下圖陰影部分所示，
設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，
則圓心O0,0到直線的距離為，，
，，
陰影部分面積，
即點(diǎn)集的面積為.
（3）設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為，則，
化簡(jiǎn)得曲線的方程為：和，其軌跡為兩段拋物線?。?br>由得：；
設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
則；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
則曲線上的點(diǎn)到的距離的范圍是，
曲線上總存在兩點(diǎn)在曲線兩側(cè)，
，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與曲線中的位置關(guān)系的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠充分理解新定義的含義，將所求式子利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而采用數(shù)形結(jié)合的方式來幫助求解.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
C
A
D
AD
ACD
題號(hào)
11









答案
ABD









0
10
30
60
0.2
0
30
50
60
0.5

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