一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）下列說法錯誤的是（ ）
A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
2．（3分）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4B．xy+x＝3C．D．x2﹣2x+1＝0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5時，此方程可變形為（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
4．（3分）如圖，在Rt△ABC中，點D是AB的中點，若∠B＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常數(shù)項為0，則m的值為（ ）
A．3B．0C．3或0D．2
6．（3分）如圖，電路圖上有四個開關(guān)A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關(guān)D或同時閉合開關(guān)A、B、C都可使小燈泡發(fā)光，則任意閉合其中兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是正方形內(nèi)的一點，且△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD＝4，則EF的長是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
8．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范圍是（ ）
A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
9．（3分）某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，那么符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（ ）
A．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”
B．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的面點數(shù)是6
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭”
D．袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球
10．（3分）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別為S1，S2，則S1和S2的大小關(guān)系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．5S1＝4S2
11．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？意思是：矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步？設(shè)長為x步，可列方程為（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864
C．2x+2（x+12）＝864D．2x+2（x﹣12）＝864
12．（3分）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止．設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（ ）
A．B．2C．3D．4
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則m的值為 ．
14．（3分）如圖，菱形ABCD的面積為24，AC＝8，則菱形的邊長為 ．
15．（3分）一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共m個，它們除顏色外完全相同，每次攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色，再放回袋中，不斷重復，統(tǒng)計匯總數(shù)據(jù)如下表：
已知袋子里白球有10個，根據(jù)表格信息，可估計m的值為 ．
16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，R和P分別是DC，BC上的點，E和F分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從點B向點C移動，CR＝2時，線段EF的長是 ．
三、解答題（共72分）
17．（4分）解方程：4x2﹣（3x+1）2＝0．
18．（4分）解方程：2x2﹣6x+3＝0．
19．（5分）如圖所示在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，且∠BAE：∠EAD＝1：2，若BC＝3，求AE的長．
20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的最大整數(shù)值；
（2）在（1）的條件下，方程的實數(shù)根是x1，x2，求代數(shù)式x12+x22﹣x1x2的值．
21．（6分）某校為紀念歷史，緬懷先烈，舉行以“致敬抗美援朝，爭做時代新人”為主題的故事會，校團委將抗美援朝中四位歷史英雄人物頭像制成編號為A、B、C、D的四張卡片（除編號和頭像外其余完全相同），活動時先將四張卡片背面朝上洗勻放好，再從中隨機抽取一張，記下卡片上的英雄人物，然后放回．學生根據(jù)所抽取的卡片來講述他們波瀾壯闊、可歌可泣的歷史事跡．請用列表或畫樹狀圖的方法求小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的概率．
22．（6分）如圖所示，在長和寬分別為a，b的矩形紙片的四個角上都剪去一個邊長為x的正方形．
（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積．
（2）當a＝6，b＝4時，且剩余部分的面積是剪去部分面積的2倍時，求正方形的邊長．
23．（6分）如圖，點E是平行四邊形ABCD中邊BC的中點，連接AE并延長，交DC的延長線于點F．連接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．
24．（6分）某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40元．經(jīng)市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個．因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過180個，商店若將準備獲利2000元，則應(yīng)進貨多少個？定價為多少元？
25．（6分）勞動教育具有樹德、增智、強體、美育的綜合育人價值觀，有利于學生樹立正確的勞動價值觀，某學校為了了解學生參加家務(wù)勞動的情況，隨機抽取了m名學生在某個休息日做家務(wù)的勞動時間作為樣本，并繪制了以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)題中已有信息，解答下列問題：
（1）m＝ ，a＝ ；（直接寫出答案）
（2）該校學生有1200人，試估計勞動時間在2≤t≤3范圍的學生有多少人？
（3）勞動時間在2.5≤t≤3范圍的學生中有男生2名，女生2名，學校準備從中任意抽取2名交流勞動感受，求抽取的2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率．
26．（7分）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD．
（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，BE＝3cm，求證：四邊形BFCE是菱形．
27．（8分）曉東在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可變形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．
直接開平方并整理，得．
我們稱曉東這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是曉東用“平均數(shù)法”解方程（x+2）（x+6）＝5時寫的解題過程．
解：原方程可變形，得
[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．
（x+□）2﹣〇2＝5，
（x+□）2＝5+〇2．
直接開平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．
上述過程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的數(shù)分別為 ， ， ， ．
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
28．（9分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE+GD．
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面積．
2024-2025學年甘肅省蘭州市榆中縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）下列說法錯誤的是（ ）
A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【分析】根據(jù)正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理對選項一一分析，判斷出答案．
【解答】解：A、正方形是對角線互相垂直平分且相等的四邊形，故選項錯誤；
B、根據(jù)矩形的判定：對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項正確；
C、根據(jù)菱形的判定，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項正確；
D、根據(jù)平行四邊形的判定對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項正確．
故選：A．
【點評】本題考查正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理．難度不大，熟練掌握其判定定理是解答此類問題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4B．xy+x＝3C．D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐一判斷即可得到答案．
【解答】解：A、2x﹣1＝4，該方程不是一元一次方程，不符合題意；
B、xy+x＝3，該方程是二元二次方程，不符合題意；
C、x﹣＝5是分式方程，不符合題意；
D、x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的概念．解題關(guān)鍵是熟練掌握其概念：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5時，此方程可變形為（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9．故選：D．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應(yīng)用．
4．（3分）如圖，在Rt△ABC中，點D是AB的中點，若∠B＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
【分析】因為點D是AB的中點，則AD＝BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．
故選：A．
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常數(shù)項為0，則m的值為（ ）
A．3B．0C．3或0D．2
【分析】根據(jù)形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中c為常數(shù)項，得出m﹣3≠0且m2﹣3m＝0，進行計算即可得到答案，
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常數(shù)項為0，
∴m﹣3≠0且m2﹣3m＝0，
解得：m＝0，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的相關(guān)概念，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)概念是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，電路圖上有四個開關(guān)A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關(guān)D或同時閉合開關(guān)A、B、C都可使小燈泡發(fā)光，則任意閉合其中兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有6種情況，
∴小燈泡發(fā)光的概率為：＝．
故選：A．
【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（3分）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是正方形內(nèi)的一點，且△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD＝4，則EF的長是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到△AFE為含30度角的直角三角形，AE＝AD＝4，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB，AD＝4，
∴∠FAD＝90°，∠EAD＝60°，∠AFE＝90°，AD＝AE＝4，
∴∠FAE＝30°，
∴；
故選：C．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
8．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范圍是（ ）
A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及方程有解，結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元二次不等式組，解不等式即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，
∴，
解得：m≥且m≠2．
故選：D．
【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)根的判別式以及二次項系數(shù)不為0得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，那么符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（ ）
A．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”
B．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的面點數(shù)是6
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭”
D．袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球
【分析】分別計算出每個事件的概率，其值約為0.16的即符合題意；
【解答】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”的概率為，不符合題意；
B、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是6的概率為，符合題意；
C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小小明隨機出的是“石頭”的概率為，不符合題意；
D、袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球的概率，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題主要考查概率的計算和頻率估計概率思想，注意這種概率的得出是在大量實驗的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定．
10．（3分）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別為S1，S2，則S1和S2的大小關(guān)系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．5S1＝4S2
【分析】由于矩形ABCD的面積與矩形AEFC的面積都等于2個△ABC的面積，即可得兩個矩形的面積關(guān)系．
【解答】解：∵S矩形ABCD＝2S△ABC，S矩形AEFC＝2S△ABC，
∴S矩形ABCD＝S矩形AEFC，
即S1＝S2．
故選：B．
【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及面積的計算，能夠熟練運用矩形的性質(zhì)進行一些面積的計算問題．
11．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？意思是：矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步？設(shè)長為x步，可列方程為（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864
C．2x+2（x+12）＝864D．2x+2（x﹣12）＝864
【分析】根據(jù)長與寬之間的關(guān)系，可得出寬為（x﹣12）步，結(jié)合矩形面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵寬比長少12步，且長為x步，
∴寬為（x﹣12）步．
根據(jù)題意得：x（x﹣12）＝864
故選：A．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止．設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形ABD為等邊三角形，它的面積為3解答即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
設(shè)AB＝a，由圖2可知，△ABD的面積為3，
∴△ABD的面積＝a2＝3，
解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
故選：B．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則m的值為 ﹣4 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得到關(guān)于m的方程，然后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得1+3+m＝0，
解得m＝﹣4．
故答案為﹣4．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
14．（3分）如圖，菱形ABCD的面積為24，AC＝8，則菱形的邊長為 5 ．
【分析】設(shè)AC與BD相交于點O，然后根據(jù)菱形的面積可求BD＝6，進而根據(jù)勾股定理可求解．
【解答】解：設(shè)AC與BD相交于點O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，面積為24，且AC＝8，
∴，
在Rt△AOB中，；
故答案為：5．
【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共m個，它們除顏色外完全相同，每次攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色，再放回袋中，不斷重復，統(tǒng)計匯總數(shù)據(jù)如下表：
已知袋子里白球有10個，根據(jù)表格信息，可估計m的值為 25 ．
【分析】根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.4；根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.4，然后利用概率公式計算即可．
【解答】解：根據(jù)表格信息，摸到白球的頻率將會接近0.4，
故摸到白球的概率為0.4，所以可估計袋子中球的個數(shù)m＝10÷0.4＝25；
故答案為：25．
【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，R和P分別是DC，BC上的點，E和F分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從點B向點C移動，CR＝2時，線段EF的長是 ．
【分析】連接AR，根據(jù)勾股定理可求出AR，再根據(jù)中位線定理即可得出答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，CR＝2，如圖，連接AR，
∴CD＝3，AD＝5，∠D＝90°，
∴DR＝3﹣2＝1，
在直角三角形ADR中，由勾股定理得：
AR＝＝＝，
∵點E、F分別是AP，RP的中點，
∴EF＝AR＝，
故答案為：．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．
三、解答題（共72分）
17．（4分）解方程：4x2﹣（3x+1）2＝0．
【分析】利用因式分解法求出x的值即可．
【解答】解：4x2﹣（3x+1）2＝0，
（2x﹣3x﹣1）（2x+3x+1）＝0，
（﹣x﹣1）（5x+1）＝0，
﹣x﹣1＝0或5x+1＝0，
x1＝﹣1，x2＝﹣．
【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）解方程：2x2﹣6x+3＝0．
【分析】此題可以采用公式法和配方法，公式法要注意化為一般形式，配方法注意解題步驟．
【解答】解：解法1：∵a＝2，b＝﹣6，c＝3
∴x＝
∴x1＝，x2＝；
解法2：x2﹣3x+3＝
x2﹣3x+＝+
（x）2＝
x＝
∴x1＝，x2＝．
【點評】此題考查了學生的計算能力．應(yīng)用公式法要注意將方程化為一般形式，確定a、b、c的值．
配方法的一般步驟：
把常數(shù)項移到等號的右邊；
把二次項的系數(shù)化為1；
等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
19．（5分）如圖所示在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，且∠BAE：∠EAD＝1：2，若BC＝3，求AE的長．
【分析】由角的數(shù)量關(guān)系可求∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵∠BAE：∠EAD＝1：2，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝30°，
∴AE＝AD＝BC＝．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的最大整數(shù)值；
（2）在（1）的條件下，方程的實數(shù)根是x1，x2，求代數(shù)式x12+x22﹣x1x2的值．
【分析】（1）若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，進而得出m的最大整數(shù)值；
（2）根據(jù)（1）可知：m＝1，繼而可得一元二次方程為x2﹣2x+1＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2＝2，x1x2＝1，再將x12+x22﹣x1x2變形為（x1+x2）2﹣3x1x2，則可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝8﹣4m＞0，
解得m＜2，
故整數(shù)m的最大值為1；
（2）∵m＝1，
∴此一元二次方程為：x2﹣2x+1＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝8﹣3＝5．
【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．
掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝．
21．（6分）某校為紀念歷史，緬懷先烈，舉行以“致敬抗美援朝，爭做時代新人”為主題的故事會，校團委將抗美援朝中四位歷史英雄人物頭像制成編號為A、B、C、D的四張卡片（除編號和頭像外其余完全相同），活動時先將四張卡片背面朝上洗勻放好，再從中隨機抽取一張，記下卡片上的英雄人物，然后放回．學生根據(jù)所抽取的卡片來講述他們波瀾壯闊、可歌可泣的歷史事跡．請用列表或畫樹狀圖的方法求小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的概率．
【分析】根據(jù)列表法求出所有等可能結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的結(jié)果有4種，
所以小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物概率為＝．
【點評】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，注意放回實驗還是不放回實驗是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）如圖所示，在長和寬分別為a，b的矩形紙片的四個角上都剪去一個邊長為x的正方形．
（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積．
（2）當a＝6，b＝4時，且剩余部分的面積是剪去部分面積的2倍時，求正方形的邊長．
【分析】（1）邊長為x的正方形面積為x2，矩形面積減去4個小正方形的面積即可．
（2）依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積的2倍，列方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）由題意可知紙片剩余部分的面積：ab﹣4x2；
（2）由題意得：ab﹣4x2＝2×4x2，
將a＝6，b＝4，代入上式，得：
6×4﹣4x2＝2×4x2，
x2＝2，
解得x1＝，x2＝﹣（不合題意，舍去）．
答：正方形的邊長．
【點評】此題考查了列代數(shù)式、代數(shù)式求值，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，點E是平行四邊形ABCD中邊BC的中點，連接AE并延長，交DC的延長線于點F．連接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．
【分析】由AB∥DF，得∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，由BE＝CE得△AEB≌△FEC（AAS），得出AE＝FE，即證明四邊形ABFC是平行四邊形．由∠AEC＝2∠ABE結(jié)合三角形外角性質(zhì)，得出∠ABE＝∠BAE，從而得出AE＝BE，進而得AF＝BC，即證明平行四邊形ABFC是矩形．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．
又∵BE＝CE
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
∵∠AEC＝2∠ABE，∠AEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AF＝BC，
∴平行四邊形ABFC是矩形．
【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
24．（6分）某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40元．經(jīng)市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個．因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過180個，商店若將準備獲利2000元，則應(yīng)進貨多少個？定價為多少元？
【分析】利用銷售利潤＝售價﹣進價，根據(jù)題中條件可以列出利潤與x的關(guān)系式，求出即可．
【解答】解：設(shè)每個商品的定價是x元，
由題意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，
整理，得x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝50，x2＝60．
當x＝50時，進貨180﹣10（50﹣52）＝200個＞180個，不符合題意，舍去；
當x＝60時，進貨180﹣10（60﹣52）＝100個＜180個，符合題意．
答：當該商品每個定價為60元時，進貨100個．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用；找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
25．（6分）勞動教育具有樹德、增智、強體、美育的綜合育人價值觀，有利于學生樹立正確的勞動價值觀，某學校為了了解學生參加家務(wù)勞動的情況，隨機抽取了m名學生在某個休息日做家務(wù)的勞動時間作為樣本，并繪制了以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)題中已有信息，解答下列問題：
（1）m＝ 80 ，a＝ 20 ；（直接寫出答案）
（2）該校學生有1200人，試估計勞動時間在2≤t≤3范圍的學生有多少人？
（3）勞動時間在2.5≤t≤3范圍的學生中有男生2名，女生2名，學校準備從中任意抽取2名交流勞動感受，求抽取的2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用表格中勞動時間為0.5≤t＜1的頻數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中A的百分比可得m的值；用m的值分別減去表格中0.5≤t＜1，1.5≤t＜2，2≤t＜2.5，2.5≤t＜3的頻數(shù)可得a的值．
（2）根據(jù)用樣本估計總體，用1200乘以樣本中勞動時間為2≤t＜2.5，2.5≤t＜3的頻數(shù)所占的百分比之和，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的2名學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意得，m＝12÷15%＝80，a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20．
故答案為：80；20．
（2）1200×＝300（人）．
∴估計勞動時間在2≤t≤3范圍的學生約有300人．
（3）列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的2名學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有8種，
∴抽取的2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率為．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)（率）分布表、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統(tǒng)計圖表，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．
26．（7分）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD．
（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，BE＝3cm，求證：四邊形BFCE是菱形．
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），進而求出BE＝FC，BE∥FC，即可得出答案；
（2）首先證得BC＝BE，利用∠EBD＝60°，得到△EBC是等邊三角形，進而推導出BE＝CE，得到四邊形BFCE是菱形．
【解答】證明：（1）在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，
∴四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）∵AD＝7cm，DC＝2cm，AB＝DC，
∴AB＝2cm，
∴BC＝7﹣2﹣2＝3（cm），
∵BE＝3cm，
∴BC＝BE，
∵∠EBD＝60°，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形，
∴BE＝CE，
∵四邊形BFCE是平行四邊形（已證），
∴四邊形BFCE是菱形．
【點評】此題主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．
27．（8分）曉東在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可變形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．
直接開平方并整理，得．
我們稱曉東這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是曉東用“平均數(shù)法”解方程（x+2）（x+6）＝5時寫的解題過程．
解：原方程可變形，得
[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．
（x+□）2﹣〇2＝5，
（x+□）2＝5+〇2．
直接開平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．
上述過程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的數(shù)分別為 4 ， ±2 ， ﹣1 ， ﹣7 ．
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的信息確定出上述過程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的數(shù)即可；
（2）利用“平均數(shù)法”解方程即可．
【解答】解：（1）4，±2，﹣1，﹣7（最后兩空可交換順序）；
故答案為：4，±2，﹣1，﹣7；
（2）（x﹣3）（x+1）＝5；
原方程可變形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，
整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，
（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，
直接開平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2．
【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
28．（9分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE+GD．
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面積．
【分析】（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE＝CF；
（2）首先延長AD至F，使DF＝BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF＝∠BCD＝90°，又由∠GCE＝45°，可得∠GCF＝∠GCE＝45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE＝BE+GD；
（3）首先過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED＝BE+DG，即可求得DG的長，設(shè)AB＝x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2＝AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長，繼而求得直角梯形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴∠B＝∠FDC，
∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF＝BE，連接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD．
（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四邊形ABCG為正方形．
∴AG＝BC，
∵∠DCE＝45°，
根據(jù)（1）（2）可知，ED＝BE+DG，
∴10＝4+DG，
即DG＝6．
設(shè)AB＝x，則AE＝x﹣4，AD＝x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2+AE2，即102＝（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解這個方程，得：x＝12或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝12．
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）?AB＝×（6+12）×12＝108．
即梯形ABCD的面積為108．
【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．摸球次數(shù)
300
600
900
1500
摸到白球的頻數(shù)
123
247
365
606
摸到白球的頻率
0.410
0.412
0.406
0.404
勞動時間t（單位：小時）
頻數(shù)
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t＜3
4
摸球次數(shù)
300
600
900
1500
摸到白球的頻數(shù)
123
247
365
606
摸到白球的頻率
0.410
0.412
0.406
0.404
勞動時間t（單位：小時）
頻數(shù)
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t＜3
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
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