一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)．
1. 下列各數(shù)中最小的是（ ）
A. B. 0C. πD.
答案：A
解：∵，
∴最小的數(shù)是，
故選：A．
2. 桿秤是中國(guó)最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀皇褂玫暮饬抗ぞ?，由秤桿、秤砣、秤盤(pán)三個(gè)部分組成.秤砣、秤桿分別叫做“權(quán)”和“衡”，指的是做任何事都要權(quán)衡輕重.如圖是常見(jiàn)的一種秤砣，則它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：這個(gè)常見(jiàn)的一種秤砣的主視圖是
故選A．
3. 由可以得到用含x的式子表示y，下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：
∴，
∴，
∴，
故選：B．
4. 風(fēng)鈴，又稱(chēng)鐵馬，古稱(chēng)“鐸”，常見(jiàn)于中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②是六角形風(fēng)鈴的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形，連接，則的度數(shù)為為（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：六邊形是正六邊形，
，
由對(duì)稱(chēng)性可知，
故選：C．
5. 一個(gè)底面半徑為10cm、高為30cm的圓柱形大杯中存滿(mǎn)了水，把水倒入底面直徑為10cm的圓柱形小杯中，剛好倒?jié)M12杯，則小杯的高為（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12 cm
答案：C
解：設(shè)小杯的高為x，
根據(jù)題意得：π×102×30=π×（10÷2）2?x×12
解得：x=10
則小杯的高為10cm．
故選C．
6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，，
∴，
∵四邊形是菱形
∴，
∵，
∴，
∴
故選：D．
7. 如圖，在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：A、由二次函數(shù)圖象，可得 ，一次函數(shù)圖象，可得 ，相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、由二次函數(shù)圖象，可得 ，一次函數(shù)圖象，可得 ，相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由二次函數(shù)圖象，可得 ，一次函數(shù)圖象，可得 ，相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、由二次函數(shù)圖象，可得 ，，一次函數(shù)圖象，可得 ，，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D
8. 有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入x的值為16時(shí)，輸出的y的值為（ ）．
A. 4B. C. 2D. 1
答案：B
解：當(dāng)輸入是時(shí)，取算術(shù)平方根是4，4是有理數(shù)，
再次輸入，4的算術(shù)平方根是2，2是有理數(shù)，
再次輸入，2的算術(shù)平方根是，是無(wú)理數(shù)，
所以輸出是，
故選B．
9. 桿秤是人類(lèi)發(fā)明的各種衡器中歷史最悠久的一種，是利用杠桿原理來(lái)測(cè)定物體質(zhì)量的簡(jiǎn)易衡器．如圖1所示是興趣小組自制的一個(gè)無(wú)刻度簡(jiǎn)易桿秤，其使用原理：將待測(cè)物掛于秤鉤處，提起提紐，在秤桿上移動(dòng)金屬秤錘（質(zhì)量為），當(dāng)秤桿水平時(shí)，金屬秤錘所在的位置對(duì)應(yīng)的刻度就是待測(cè)物的質(zhì)量（量程范圍內(nèi)）．為了給秤桿標(biāo)上刻度，興趣小組做了如下試驗(yàn)，用（單位：）表示待測(cè)物的質(zhì)量，（單位：）表示秤桿水平時(shí)秤錘與提紐之間的水平距離，則水平距離與待測(cè)物質(zhì)量之間的關(guān)系如圖2所示．
根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 待測(cè)物的質(zhì)量越大（量程范圍內(nèi)），秤桿水平時(shí)秤錘與提紐之間的水平距離越小
B. 當(dāng)待測(cè)物的質(zhì)量時(shí)，測(cè)得的距離為
C. 若秤錘C在水平距離為的位置，則秤桿在此處的刻度應(yīng)為
D. 若秤桿長(zhǎng)為，則桿秤的最大稱(chēng)重質(zhì)量為
答案：B
解：根據(jù)題意，重物的質(zhì)量越大，則金屬秤錐與提紐的水平距離越大，故A正確，符合題意；
由圖2可知，待測(cè)物體質(zhì)量為，則秤桿水平時(shí)秤錘與提紐之間的水平距離為，故B正確，符合題意；
若金屬秤錘移動(dòng)到處時(shí)，測(cè)得距離為，則秤桿處的刻度應(yīng)為，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
若，則待測(cè)物體的質(zhì)量為，故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
10. 我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形的形狀可以發(fā)生改變，在這個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)菱形的面積為y，的長(zhǎng)度為x，則下列圖象中，可以表示y 與x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于E；
當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，，則，
此時(shí)面積最大，且為，
當(dāng)A往右方向移動(dòng)時(shí)，減小，也減小，
而跟著減小，
即隨著x由減小到接近0，但不為0，面積由4減小到接近0，但不為0；
同理，隨著x的增大到，面積也增大到4，
前三個(gè)選項(xiàng)中圖象均不滿(mǎn)足，只有移項(xiàng)D滿(mǎn)足；
故選：D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11. 分解因式：___________．
答案：
解：
，
故答案為：．
12. 七（1）班 40 名同學(xué)進(jìn)行 跑素質(zhì)測(cè)試， 測(cè)試后體育委員把數(shù)據(jù)整理后制作頻數(shù)分布表． 把它分成五組， 第一組到第三組的頻數(shù)分別為 ， 第四組的頻率為 0.3 ， 則第五組的頻數(shù)為 _________ ．
答案：
解：∵第四組頻數(shù)：，
∴第五組頻數(shù)為：；
故答案為：．
13. 如圖，BC為圓錐底面直徑，AD為圓錐的高，若，，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________（結(jié)果保留）．
答案：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案為：．
14. 我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著《續(xù)古摘奇算法》中的攢九圖一節(jié)中提出了“幻圓”的概念．如圖是一個(gè)二階幻圓模型，其內(nèi)外兩個(gè)圓周上四個(gè)數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個(gè)數(shù)字之和都相等，則______．
答案：3
解：由題意得，，
即，
兩式相加得：
，
故答案為：3．
15. 一種玻璃水杯的截面如圖①所示，其左右輪廓線(xiàn)，為某一拋物線(xiàn)的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如圖②若盛有部分水的水杯傾斜（即），水面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則此時(shí)點(diǎn)P到杯口的距離為_(kāi)______．
答案：
解：如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，垂直的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∴，，，，
設(shè)輪廓線(xiàn)、所在拋物線(xiàn)的解析式為，記與軸的交點(diǎn)為，
把、代入拋物線(xiàn)解析式，得：
，
解得：，
∴輪廓線(xiàn)、所在拋物線(xiàn)的解析式為：，
∵，
，
，
∴，
∴，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
把、代入直線(xiàn)的解析式，得：
，
解得：，
∴直線(xiàn)的解析式為：，
解方程組得：，，
∴，
此時(shí)點(diǎn)P到杯口的距離為，
故答案為：7．
16. 如圖，分別以正六邊形的頂點(diǎn)，，為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧，若正六邊形的邊長(zhǎng)為，則“三葉草”的面積為_(kāi)_____．
答案：
解：如圖，連接，，作于點(diǎn)，
依題意，是等邊三角形，
，，
，
，，
，，
，
，
陰影部分面積是：．
故答案為：．
三、解答題：本大題共6小題，共46分．解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 計(jì)算：．
答案：0
解：
．
18. 解不等式組：，把它的解集表示在數(shù)軸上．
答案：，見(jiàn)解析．
解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式組的解集為，
數(shù)軸上表示解集如圖：

19. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
答案：，
解：
．
當(dāng)，時(shí)，原式．
20. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理．如圖，已知是弦上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程．
（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：
①作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，分別交于點(diǎn)于點(diǎn)，連接；
②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)（兩點(diǎn)不重合），連接．
（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系．
答案：（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）
解：（1）作出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，連接；
以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接，如圖示：
（2）結(jié)論：．理由如下：
由作圖可得：是的垂直平分線(xiàn)，



四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，





21. 小明與小剛做游戲，在甲、乙兩個(gè)不透明的口袋中，分別裝有完全一樣的小球，其中甲口袋中的4個(gè)小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙口袋中的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，小明先從甲袋中隨意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字為y．
（1）請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）若x，y都是方程的解時(shí)，則小明獲勝；若x，y都不是方程的解時(shí)，則小剛獲勝，它們誰(shuí)獲勝的概率大？請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案：（1）答案見(jiàn)解析；
（2）小明獲勝的概率大；理由見(jiàn)解析．
【小問(wèn)1詳解】
解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：
由表可知共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．
【小問(wèn)2詳解】
∵方程的兩個(gè)根分別為2或3，
∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4種，都不是方程的解有，兩種，
∴P小明勝，P小剛勝，
∴小明獲勝的概率大．
22. 某校三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組測(cè)量某古城墻的高度．測(cè)量方案與測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：
2
3
4
1
2
3
4
項(xiàng)目
測(cè)量古城墻的高度
測(cè)量工具
測(cè)角儀，皮尺等
測(cè)量小組
第一小組
第二小組
第三小組
測(cè)量方案
說(shuō)明
點(diǎn)A，B在古城墻的地面邊緣線(xiàn)上，點(diǎn)C，D在古城墻的上部邊緣線(xiàn)上，且
問(wèn)題解決：
（1）直接指出所有可行方案的小組；
（2）在可行方案的小組里，任選一種方案，按照所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算古城墻的高度；(精確到 ，參考數(shù)據(jù)：，，，，，)
（3）計(jì)算的古城墻的高度和實(shí)際結(jié)果有一定的誤差，請(qǐng)?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理建議．
答案：（1）第一小組和第三小組的方案可行
（2）古城墻的高度約為
（3）多次測(cè)量取平均值(答案不唯一)
【小問(wèn)1詳解】
解：∵第一組和第三組都可以把分成兩個(gè)不同的三角形利用解直角三角形的知識(shí)解決問(wèn)題，而第二個(gè)只能通過(guò)已知求出，與的交點(diǎn)與點(diǎn)A，B組成的三角形的邊長(zhǎng)和高，而不能求出交點(diǎn)與組成的三角形的高，故不能求出城墻的高度，
測(cè)量數(shù)據(jù)
，
，
，
，
，
，
∴第一小組和第三小組的方案可行；
【小問(wèn)2詳解】
解：若選擇第一小組：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
,
在中，,
,
,
在中，,
,
,
,
,
即,
解得：，
答：大同古城墻的高度約為米；
若選擇第二小組，設(shè)與的交點(diǎn)為O，過(guò)O點(diǎn)作交于點(diǎn)Q，
,
在中，,
,
,
在中，,
,
,
,
,
即,
解得：,
而題目中的已知沒(méi)法求出的高，
∴無(wú)法求出與間的距離，即在城墻的高；
若選擇第三小組：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
,
在中，,
,
,
在中，,
,
,
,
,
即,
解得：，
答：大同古城墻的高度約為米；
【小問(wèn)3詳解】
解：多次測(cè)量取平均值(答案不唯一)．
四、解答題：本大題共5小題，共50分．解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
23. 黃河之濱萬(wàn)物競(jìng)茂、豪情滿(mǎn)懷．來(lái)自世界各地的數(shù)萬(wàn)名選手相聚金城，用奔跑釋放生命活力，用激情演繹“蘭馬”精彩．某單位組織甲乙兩個(gè)代表隊(duì)參加半馬比賽，成績(jī)(精確到分)如下：
（1）已知該單位12位選手成績(jī)平均數(shù)是，其中甲隊(duì)6名選手成績(jī)平均數(shù)是，求m，n的值；
（2）求乙隊(duì)選手成績(jī)的眾數(shù)及中位數(shù)；
（3）從隊(duì)員發(fā)揮的穩(wěn)定程度考慮哪隊(duì)選手更加優(yōu)秀？
答案：（1），
（2）中位數(shù)為107，眾數(shù)為98
（3）甲隊(duì)更優(yōu)秀
【小問(wèn)1詳解】
解：，
．
【小問(wèn)2詳解】
解：乙隊(duì)選手成績(jī)重新排列為98，98，102，112，119，131，
∴其中位數(shù)為，眾數(shù)為98．
【小問(wèn)3詳解】
解：甲隊(duì)的方差為，
乙隊(duì)的平均數(shù)為，
乙隊(duì)的方差為，
∵＜，
∴甲隊(duì)更優(yōu)秀．
24. 如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，．
（1）如圖1，求證：是的切線(xiàn)；
（2）如圖2，若，，求的長(zhǎng)．
答案：（1）見(jiàn)詳解 （2）
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切線(xiàn)；
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，
甲隊(duì)選手
1
2
3
4
5
6
成績(jī)
96
m
118
106
124
110
乙隊(duì)選手
1
2
3
4
5
6
成績(jī)
98
112
102
n
131
119
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴長(zhǎng)為：．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將直線(xiàn)向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求a的值．
答案：（1），
（2）
（3）或
【小問(wèn)1詳解】
解：反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
，
，
反比例函數(shù)的解析式為，
∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
∴，
，
，
∵一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得，
一次函數(shù)的解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于，
此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
點(diǎn)，
，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
，解得，
直線(xiàn)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
小問(wèn)3詳解】
解：將直線(xiàn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，
直線(xiàn)解析式為，
，，
，
，
解得或．
26. 【模型建立】
（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且AE⊥DF，求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且，求的值；
【模型遷移】
（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，垂足為G，求的值．
答案：（1）見(jiàn)解析；（2）＝；（3）
（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，
，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，設(shè)，則，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得 (舍去)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
27. 綜合與探究
如圖1，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．直線(xiàn)l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D是x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．
①連接將沿直線(xiàn)翻折，得到，點(diǎn)恰好落在直線(xiàn)l上，請(qǐng)依題意，在圖1中補(bǔ)全圖形并求直線(xiàn)的解析式；
②如圖2，連接，交于點(diǎn)F；求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
答案：（1），點(diǎn)
（2）① ②的最大值為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為
【小問(wèn)1詳解】
由題意得：
∴解得：
則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
①由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)
設(shè)交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，如圖，
設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：，
則，，
，
解得： ，
則點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為
把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入得，
，解得，
∴直線(xiàn)的表達(dá)式為：；
②過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，
則
∴，
由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線(xiàn)的表達(dá)式為：
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn) ，即，
設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)則
則 ，
∴的最大值為，這時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

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