（考試時(shí)間：120分鐘，全卷滿分：150分，考試形式：閉卷）
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、立方根的定義，逐項(xiàng)分析解題即可．
【詳解】A. ，故A錯(cuò)誤；
B. ，故B錯(cuò)誤；
C. ，故C錯(cuò)誤；
D. ，故D正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根與立方根，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2. 下列各數(shù)：，，，，，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間多一個(gè)），其中是無理數(shù)的有（ ）個(gè)．
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)，先化簡(jiǎn)，再根據(jù)無理數(shù)的定義即可判斷求解，掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
詳解】解：∵，，
∴下列各數(shù)：，，，，，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間多一個(gè)），其中是無理數(shù)的有，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間多一個(gè)），共個(gè)，
故選：．
3. 下列算式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查整式的運(yùn)算和冪的運(yùn)算法則．根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
4. 以下四個(gè)說法：①負(fù)數(shù)沒有平方根；②一個(gè)正數(shù)一定有兩個(gè)平方根；③平方根等于它本身的數(shù)是0和1；④一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù).其中正確的說法有( ).
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】C
【解析】
【詳解】①負(fù)數(shù)沒有平方根，正確；
②一個(gè)正數(shù)一定有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，正確；
③平方根等于它本身的數(shù)是0，故③錯(cuò)誤；
④一個(gè)數(shù)的立方根可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)，還可能是0，故錯(cuò)誤，
其中正確的有2個(gè)．
故選C．
5. 下列運(yùn)算：①；②；③；④．其中，運(yùn)算錯(cuò)誤的有( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式．熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式計(jì)算求解即可．
【詳解】解：，錯(cuò)誤，故①符合要求；
，錯(cuò)誤，故②符合要求；
，正確，故③不符合要求；
，錯(cuò)誤，故④符合要求；
故選：C．
6. 秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，下列估算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用夾逼法估算無理數(shù)即可得出答案．
【詳解】解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，圖1中的陰影部分移動(dòng)成圖2，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗(yàn)證下列哪個(gè)計(jì)算公式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖形確定出圖1與圖2中陰影部分的面積，即可作出判斷．
【詳解】解：根據(jù)題意得：圖1中陰影部分的面積為，
圖2中陰影部分的面積，
根據(jù)圖1與圖2中陰影部分的面積相等可得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的幾何背景，弄清陰影部分面積的求法是解本題的關(guān)鍵．
8. 一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是和．如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)是（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)D. 點(diǎn)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平方根的概念及無理數(shù)的估算；根據(jù)一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根互為相反數(shù)及平方根的定義，可得，，得出表示出的值，再利用夾逼法進(jìn)行無理數(shù)的估算即可．
【詳解】一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根分別是和，
，，
解得，
，
，
，即，
故選：B．
9. 已知關(guān)于x多項(xiàng)式與的乘積的展開式中不含x的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，則a的值為（ ）
A. B. C. -3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確不含的二次項(xiàng)，則二次項(xiàng)的系數(shù)為．根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再將計(jì)算結(jié)果中，利用二次項(xiàng)系數(shù)為零與一次項(xiàng)的系數(shù)為的要求建立方程組，即可求解．
【詳解】解：；
；
；
∵多項(xiàng)式與的乘積的展開式中不含二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為；
∴；
解得：，
∴；
故選：C．
10. 若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式分解因式后可得結(jié)論．
【詳解】解：
，
∴的值總能被5整除．
故選C．
11. 我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．
當(dāng)代數(shù)式值為1時(shí)，則x的值為（ ）
A. 2B. -4C. 2或4D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)系數(shù)規(guī)律得出，令，，由代數(shù)式的值為1得出，進(jìn)而求出x的值．
【詳解】解：由系數(shù)規(guī)律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，整式的乘法，熟練掌握展開式的系數(shù)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12. 我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)都可以進(jìn)行這樣的分解：（，是正整數(shù)，且），在的所有這種分解中，如果，兩因數(shù)之差的絕對(duì)值的小，我們就稱是的最佳分解，并規(guī)定：．例如：12可以分解成，或，因?yàn)?，所以?2的最佳分解，所以．如果一個(gè)兩位正整數(shù)，（，，為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”．根據(jù)以上新定義，下列說法正確的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥數(shù)”；（3）“吉祥數(shù)”中，的最大值為．
（4）如果一個(gè)正整數(shù)是另外一個(gè)正整數(shù)的平方，我們稱正整數(shù)是完全平方數(shù)，則對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)，總有；
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)最佳分解的定義判斷（1）和（4），根據(jù)吉祥數(shù)的定義判斷（2）和（3），即可得出答案．
【詳解】（1）48可以分解為1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵
∴6×8是48的最佳分解，
∴，故（1）正確；
（2），故15為吉祥數(shù)；，故36為吉祥數(shù)，故（2）正確；
（3）設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為
∵t為吉祥數(shù)
∴
∴
∵，x，y為自然數(shù)
∴吉祥數(shù)有：15，26，37，48，59
∴，，，，
∴最大值為，故（3）正確；
（4）對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m設(shè)（n為正整數(shù)）
∵
∴是m的最佳分解
∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有，故（4）正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義，難度適中，解題關(guān)鍵是掌握最佳分解和吉祥數(shù)的概念．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．請(qǐng)把答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)題目中的橫線上．（注意：在試題卷上作答無效）
13. 若，，那么代數(shù)式的值為______；
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了平方根，立方根的計(jì)算，根據(jù)題意可得，分類代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：，，
∴，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故答案為：或 ．
14. 已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為__________．

【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置確定出，的正負(fù)，原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，立方根及算術(shù)平方根性質(zhì)計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，
，，
則原式．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，立方根，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
15. 已知：，則的算術(shù)平方根為______．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查了立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的計(jì)算，根據(jù)立方根的性質(zhì)“正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0”，解題意可得，由此可得的值，代入計(jì)算算術(shù)平方根即可．
【詳解】解：∵，
∴，即與互為相反數(shù)，
∴，
解得，，
∴，
∴的算術(shù)平方根是3，
故答案為：3 ．
16. 現(xiàn)有甲、乙兩種正方形和丙種長方形紙片，邊長如圖所示，瑤瑤同學(xué)要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲種紙片9塊，再取乙種紙片4塊，還需取丙種紙片______塊．
【答案】12
【解析】
【分析】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用．運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方、求解．
【詳解】解：∵
，
∴還需取丙種紙片12塊，
故答案為：12．
17. 若規(guī)定符號(hào)的意義是：，則當(dāng)時(shí)，的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算的運(yùn)算法則，得出的值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后再整體代入即可求值．
【詳解】
∵，
∴，
∴原式=．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式的乘法法則和整體代入法是解題的關(guān)鍵．
18. 已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足，則a+b等于_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得a≥3，化簡(jiǎn)原式得，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出a，b的值，從而求得a+b的值．
【詳解】解∶根據(jù)題意得∶a≥3，
∴，
∴原等式可化
即，
∴b+2=0且，
∴a=3，b=﹣2，
∴a+b=1．
故答案為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方都是非負(fù)數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19. 計(jì)算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）2
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)、整式的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，
（1）先算乘方，立方根，算術(shù)平方，絕對(duì)值，再運(yùn)用實(shí)數(shù)的加減混合運(yùn)算求解；
（2）先算冪的乘方，再算乘除，最后算加減即可；
（3）根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算方法計(jì)算即可；
（4）運(yùn)用乘法公式變形計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
；
【小問3詳解】
解：
；
【小問4詳解】
解：
=1．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值，其中滿足．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，代入求值，先運(yùn)用乘法公式計(jì)算括號(hào)里的，再根據(jù)整式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，代入求值即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 如果是的算術(shù)平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了立方根以及算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是算出的值．
根據(jù)“是的算術(shù)平方根，是的立方根”即可列出關(guān)于的二元一次方程組，解方程組即可得出的值，將其代入中求出的值，再求出的值即可．
【詳解】解：由題得：．
解得：，
∴，
∴的立方根為：．
22 已知：，，．
（1）求的值；
（2）證明：．
【答案】（1）125 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）逆用同底數(shù)冪乘法和同底數(shù)冪除法運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）利用，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，，，
∴
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪除法與同底數(shù)冪乘法性質(zhì)的逆向運(yùn)用，逆向思維是解題的關(guān)鍵．
23. 已知，B是多項(xiàng)式，在計(jì)算時(shí)，小馬虎同學(xué)把看成了，結(jié)果得，試求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了整式的加法，整式的乘除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可得，從而求出，然后再計(jì)算，即可解答．
（2）根據(jù)（1）中的值，再代入，即可解答．
【小問1詳解】
解：由題意得：，
，
．
【小問2詳解】
解：由（1）可得，
∴．
24. 閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．
【知識(shí)理解】
（1）若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為_________．
（2）配方：________；
【知識(shí)運(yùn)用】
（3）已知，則______，______；
（4）求多項(xiàng)式：的最小值．
【答案】（1）
（2）19 （3），4
（4）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完全平方式的形式求解即可；
（2）利用配方法的步驟求解即可；
（3）先分組分別配方，再利用平方式的非負(fù)性求解m、n值即可；
（4）先分組分別配方，再利用平方式的非負(fù)性求解即可．
【小問1詳解】
解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，
∴，則，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：
，
故答案為：19；
【小問3詳解】
解：由得
，
即，
∴，，
解得：，，
故答案為：，；
【小問4詳解】
解：
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值2．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式、配方法、平方式的非負(fù)性，理解題意，掌握配方法并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
25. 學(xué)習(xí)新方法：把比較復(fù)雜的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，這種方法稱為“換元法”．請(qǐng)閱讀以下材料，回答問題：
閱讀材料（一）若，，試比較M，N的大?。?br>解：設(shè)，那么，．
因?yàn)?，所以?br>問題（1）請(qǐng)仿照例題比較下列兩數(shù)大小：若，，則P___________Q．（填“>”或“＜”）
閱讀材料（二）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．
解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因?yàn)?，所以：?br>問題（2）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足，則___________；
閱讀材料（三）如圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．
問題（3）請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系：___________；
若x滿足，求的值．
解：設(shè)，，則，，
∴
問題（4）請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：
①已知，那么的值為___________．
②已知，用換元法求的值為___________．
③已知，如圖3，正方形的邊長為x，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是48，分別以作正方形，則陰影部分的面積為___________．
【答案】（1）>；（2）3；（3）；（4）①4045，②51，③28
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式以及平方差公式的綜合應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）模仿題干的過程，直接運(yùn)算作答即可；
（2）模仿題干的過程，直接運(yùn)算作答即可；
（3）根據(jù)等面積法，即可作答．
（4）模仿上述過程，逐步解答①②③即可．
【詳解】解：（1）依題意，
∴
故答案為：>；
（2）依題意，設(shè)，
則原方程變?yōu)椋?br>整理得，，
∴，因?yàn)?，所以：?br>則；
（3）結(jié)合圖形，運(yùn)用等面積法，得
（4）①由上面過程，記
原式等于
則
運(yùn)用（3）的結(jié)論，得
則
即
解得；
②整理原式得
∴
令
∴
則
則
∴的值為；
③依題意，得
∵長方形的面積是48
∴
令
∴
∴
∴
∴（舍去）
則陰影部分的面積為

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四川省宜賓市敘州區(qū)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九上開學(xué)達(dá)標(biāo)測(cè)試試題【含答案】：

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