注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼．請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的考號(hào)、姓名和科目．
2．解答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．解答填空題、解答題時(shí)，請?jiān)诖痤}卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分）．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（注意：在試題卷上作答無效）
1. 的立方根是（ ）
A. B. 3C. D.
2. 下列各數(shù)中是無理數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列計(jì)算正確是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如圖，，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，且，，則的長為（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
5. 為了解、、、四種品牌的碳素筆的銷售情況，某商店統(tǒng)計(jì)了一個(gè)季度這四種碳素筆的銷售數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．已知品牌碳素筆的銷量為支，則品牌碳素筆的銷量為（ ）
A. 支B. 支C. 支D. 支
6. 如圖，四邊形中，，，則四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 斜邊及一銳角對應(yīng)相等兩個(gè)直角三角形全等
B. 有一個(gè)角等于的三角形是等邊三角形
C. 等腰三角形的高線，中線，角平分線互相重合
D. 在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5
8. 若是完全平方式，則m的值為（ ）
A. 7B. 4或C. 7或D. 4
9. 如圖，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P、Q，作直線交于點(diǎn)D，連接．若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
10. 已知：，則（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
11. 如圖，在中，，平分，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
12. 如圖，點(diǎn)D為的外角平分線上一點(diǎn)，且垂直平分交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交的延長線于F，連結(jié)、，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）．請把答案直接填在答題卡對應(yīng)題目中的橫線上．（注意：在試題卷上作答無效）
13. 因式分解： ______________．
14. 在一個(gè)不透明的布袋中裝有紅色、白色玻璃球共個(gè)，除顏色外其他完全相同．小明每次從中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后將球放回并攪勻，通過多次重復(fù)試驗(yàn)，算得摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計(jì)該布袋中紅色球有 ______個(gè)．
15. 已知，那么的值為______．
16. 已知關(guān)于x的多項(xiàng)式與的乘積展開式中不含x的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，則的值為______．
17. 如圖，在長方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，交于點(diǎn)H，延長、相交于點(diǎn)G，若，，則______．
18. 如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，且滿足，，，則______°．
三、解答題：（本大題共7個(gè)小題，共78分）解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．（注意：在試題卷上作答無效）
19. （1）計(jì)算：；
（2）化簡：．
20. 先化簡，再求值：，其中，．
21. 如圖，且，．
（1）求證：；
（2）若，，求長度．
22. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣，敘州區(qū)某初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______人，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“足球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）若學(xué)校有2300名學(xué)生，請你估計(jì)該校喜愛羽毛球的有多少人？
23. 在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，C為燈塔，港口A在燈塔C的北偏西方向上，港口A與燈塔C的距離是40海里；港口B在燈塔C的南偏西方向上，港口B與燈塔C的距離是30海里，一艘貨船將從A港口沿直線向港口B運(yùn)輸貨物，貨船的航行速度為10海里/小時(shí)．
（1）貨船從港口A航行到港口B需要多少時(shí)間；
（2）為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發(fā)送安全信號(hào)，信號(hào)有效覆蓋半徑為25海里，這艘貨船在由港口A向港口B運(yùn)輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信號(hào)時(shí)間不低于1小時(shí)才符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)．請問這艘貨船在本次運(yùn)輸中是否符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由？
24. 通過完全平方公式的靈活運(yùn)用，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，
例如：若，，求的值．
解：，
，
．
根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若，，求的值．
（2）如圖，已知，，分別以、為直角邊向兩側(cè)作等腰直角和等腰直角，其中．若面積為9，和的面積之和為，求線段的長．
25. （1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，連結(jié)，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)，發(fā)現(xiàn)．請證明．
（2）拓展：如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若，，求的長度．
（3）應(yīng)用：如圖3，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求的長．
宜賓市敘州區(qū)2024～2025學(xué)年秋期義務(wù)教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
八年級(jí)數(shù)學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘；全卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼．請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的考號(hào)、姓名和科目．
2．解答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．解答填空題、解答題時(shí)，請?jiān)诖痤}卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分）．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（注意：在試題卷上作答無效）
1. 的立方根是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查立方根，根據(jù)立方根定義與求法直接求解即可得到答案，熟記立方根定義與求法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：的立方根是，
故選：C．
2. 下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的識(shí)別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）．
【詳解】解：A．是無理數(shù)，故符合題意；
B．是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；
C．是小數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；
D．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意．
故選：A．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘法和除法，掌握冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪乘法和除法的法則是解決問題的關(guān)鍵．利用冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪乘法和除法的法則對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．
【詳解】解：A．，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
B． , 選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
C．, 選項(xiàng)C正確，符合題意；
D． , 選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
4. 如圖，，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，且，，則長為（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故選：C．
5. 為了解、、、四種品牌的碳素筆的銷售情況，某商店統(tǒng)計(jì)了一個(gè)季度這四種碳素筆的銷售數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．已知品牌碳素筆的銷量為支，則品牌碳素筆的銷量為（ ）
A. 支B. 支C. 支D. 支
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)品牌碳素筆的銷量為支，從扇形統(tǒng)計(jì)圖中可知品牌碳素筆的銷量占總數(shù)的，可以求出這個(gè)季度四種碳素筆的銷售總數(shù)，再根據(jù)品牌碳素筆銷量占總數(shù)的百分比求出品牌碳素筆的銷量．
【詳解】解：品牌碳素筆的銷量為支，
從扇形統(tǒng)計(jì)圖中可知品牌碳素筆的銷量占總數(shù)的，
這個(gè)季度這四種碳素筆的銷售總數(shù)為(支)，
由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，則品牌碳素筆的銷量占總銷量的，
品牌碳素筆的銷量為(支)．
故選：D．
6. 如圖，四邊形中，，，則四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，連接，勾股定理求出的長，勾股定理逆定理得到為直角三角形，再利用分割法求出四邊形的面積即可．
【詳解】解：連接，
∵
∴，
∵，
∴為直角三角形，
∴四邊形的面積；
故選B．
7. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
B. 有一個(gè)角等于的三角形是等邊三角形
C. 等腰三角形的高線，中線，角平分線互相重合
D. 在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查命題的真假判斷、全等三角形判定、等邊三角形判定、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．根據(jù)正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，利用三角形相關(guān)的性質(zhì)定理，全等三角形判定、等邊三角形判定、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理，對選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，即可解題．
【詳解】解：A、斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，所以A是真命題，符合題意．
B、有一個(gè)角是的三角形不一定是等邊三角形，所以B不是真命題，不符合題意．
C、等腰三角形底邊上的高線，中線，頂角平分線互相重合，所以C不是真命題，不符合題意．
D、在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5或，所以D不是真命題，不符合題意．
故選：A．
8. 若是完全平方式，則m的值為（ ）
A. 7B. 4或C. 7或D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)得到是解決問題的關(guān)鍵．
先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，然后再根據(jù)完全平方公式的乘積的二倍項(xiàng)即可確定m的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
解得或．
故選：C．
9. 如圖，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P、Q，作直線交于點(diǎn)D，連接．若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì) ．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出，由尺規(guī)作圖可知：是的垂直平分線，所以可得，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)可求結(jié)果．
【詳解】解：∵在中，，，
，
由尺規(guī)作圖可知：是的垂直平分線，
，
，
．
故選：B ．
10. 已知：，則（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查冪乘方，同底數(shù)冪的乘法．熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．利用冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的法則把進(jìn)行變形后，再整體代入即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：B．
11. 如圖，在中，，平分，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對稱中的光線反射問題（最短路線問題），角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，垂線段最短，垂線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形，利用垂線段最短解決最短路線問題是解題的關(guān)鍵．在上截取，連接，利用可證得，于是可得，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且時(shí)，的值最小，即的值最小，然后根據(jù)各角之間的和差關(guān)系即可求出結(jié)果．
【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
垂線段最短，
當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且時(shí)，的值最小，即的值最小，
當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且時(shí)，，
，
，
，
，
故選：．
12. 如圖，點(diǎn)D為的外角平分線上一點(diǎn)，且垂直平分交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交的延長線于F，連結(jié)、，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論有（ ）
A 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，逐一判斷即可得解．
【詳解】解：點(diǎn)D為的外角平分線上一點(diǎn)，，，
，
又垂直平分交于點(diǎn)，
，
和中，
，
故正確；
，
，
，
，
故錯(cuò)誤；
∵垂直平分交于點(diǎn)G
，
，
，
，
故錯(cuò)誤；
點(diǎn)D為的外角平分線上一點(diǎn)，，，，
，
，
，
，
，
故正確；
綜上所述，正確的有個(gè)，
故選：B．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）．請把答案直接填在答題卡對應(yīng)題目中的橫線上．（注意：在試題卷上作答無效）
13. 因式分解： ______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解題關(guān)鍵．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
14. 在一個(gè)不透明的布袋中裝有紅色、白色玻璃球共個(gè)，除顏色外其他完全相同．小明每次從中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后將球放回并攪勻，通過多次重復(fù)試驗(yàn)，算得摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計(jì)該布袋中紅色球有 ______個(gè)．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了頻數(shù)和頻率的相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)“頻數(shù)總數(shù)頻率”計(jì)算即可，熟悉相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在左右，
∴紅球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），
故答案為：．
15. 已知，那么的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值的知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性的條件是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性，求出的值、，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．
【詳解】解：，
，
，
．
故答案為：．
16. 已知關(guān)于x的多項(xiàng)式與的乘積展開式中不含x的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確不含的二次項(xiàng)，則二次項(xiàng)的系數(shù)為．
根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再將計(jì)算結(jié)果中，利用二次項(xiàng)是系數(shù)與一次項(xiàng)的系數(shù)的要求建立方程組，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
∵多項(xiàng)式與的乘積展開式中不含的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，
解得，，
，
故答案為：．
17. 如圖，在長方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，交于點(diǎn)H，延長、相交于點(diǎn)G，若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，連接，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)得，根據(jù)四邊形是長方形得，根據(jù)將沿翻折得到得，利用證明，得，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形是長方形，
∴，
∵將沿翻折得到，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
∴，
解得，
故答案為：．
18. 如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，且滿足，，，則______°．
【答案】35
【解析】
【分析】延長，取點(diǎn)H，使，連接，過點(diǎn)B作，使，連接，，，證明，得出，，根據(jù)等腰三角形的判定得出，證明四邊形為平行四邊形，得出，，證明四邊形為菱形，得出，，證明，得出，，證明為等邊三角形，得出，求出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出．
【詳解】解：延長，取點(diǎn)H，使，連接，過點(diǎn)B作，使，連接，，，如圖所示：
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：35．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
三、解答題：（本大題共7個(gè)小題，共78分）解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．（注意：在試題卷上作答無效）
19. （1）計(jì)算：；
（2）化簡：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算法則及乘法公式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用乘方、算術(shù)平方根的定義、絕對值、立方根，依次化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到結(jié)果；
（2）先利用提取公因式法化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
．
20. 先化簡，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式以及整式除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
把，代入得：
原式．
21. 如圖，且，．
（1）求證：；
（2）若，，求的長度．
【答案】（1）見解析 （2）2
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
（1）先由平行線的性質(zhì)可得，最后再利用證明即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，從而即可得解．
【小問1詳解】
證明：∵，
，
在和中，
，
；
【小問2詳解】
解：由（1）可得：，
，，
∵，，
，，
．
22. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣，敘州區(qū)某初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______人，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“足球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）若學(xué)校有2300名學(xué)生，請你估計(jì)該校喜愛羽毛球的有多少人？
【答案】（1）100；見解析
（2）
（3）230人
【解析】
【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，是解題的關(guān)鍵．
（1）用選擇籃球的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）用選擇“足球”的人數(shù)占比乘以360度即可；
（3）用2300乘以選擇喜愛羽毛球所占的百分比即可得出答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名），
選擇足球的學(xué)生人數(shù)為（名），
補(bǔ)全圖形如下：
【小問2詳解】
解：，
即扇形統(tǒng)計(jì)圖中“足球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為，
【小問3詳解】
解：（人），
答：估計(jì)該校喜愛“羽毛球”的有230人．
23. 在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，C為燈塔，港口A在燈塔C的北偏西方向上，港口A與燈塔C的距離是40海里；港口B在燈塔C的南偏西方向上，港口B與燈塔C的距離是30海里，一艘貨船將從A港口沿直線向港口B運(yùn)輸貨物，貨船的航行速度為10海里/小時(shí)．
（1）貨船從港口A航行到港口B需要多少時(shí)間；
（2）為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發(fā)送安全信號(hào)，信號(hào)有效覆蓋半徑為25海里，這艘貨船在由港口A向港口B運(yùn)輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信號(hào)時(shí)間不低于1小時(shí)才符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)．請問這艘貨船在本次運(yùn)輸中是否符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由？
【答案】（1）5小時(shí) （2）符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及方位角的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先得出，結(jié)合勾股定理列式（海里），因?yàn)樨洿暮叫兴俣葹?0海里/小時(shí)，則（小時(shí)），即可作答．
（2）先在上取兩點(diǎn)M，N使得海里，結(jié)合，分別算出的長度，然后結(jié)合等腰三角形的三線合一，得出海里，因?yàn)樨洿暮叫兴俣葹?0海里/小時(shí)，則（小時(shí)），即可作答．
【小問1詳解】
解：∵港口A在燈塔C的北偏西方向上，港口A與燈塔C的距離是40海里；港口B在燈塔C的南偏西方向上
∴，
∵港口A與燈塔C的距離是40海里，港口B與燈塔C的距離是30海里
（海里），
∵貨船的航行速度為10海里/小時(shí)
（小時(shí)），
答：貨船從A港口到B港口需要5小時(shí)；
【小問2詳解】
答：這艘船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由如下：
如圖：過C作交于D，
在上取兩點(diǎn)M，N使得海里
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵，
∴是等腰三角形
∵
∴海里，
∴（小時(shí)）
∵1.4>1，
∴這艘貨船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)．
24. 通過完全平方公式的靈活運(yùn)用，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，
例如：若，，求的值．
解：，
，
．
根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若，，求值．
（2）如圖，已知，，分別以、為直角邊向兩側(cè)作等腰直角和等腰直角，其中．若的面積為9，和的面積之和為，求線段的長．
【答案】（1）的值為；
（2）線段的長為．
【解析】
【分析】本題主要考查完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
（1）利用完全平方公式變形，整體代入求解即可；
（2）設(shè)，，先求出的乘積，再求出，把線段的長轉(zhuǎn)化為即可得解．
【小問1詳解】
解： ，
把，代入，
可得，
∴；
【小問2詳解】
解：設(shè)，，
由面積為，得，即，
和是等腰直角三角形，
和的面積之和為，
，
，
即，化簡得，
∴，
（負(fù)值舍去），
線段的長為：．
25. （1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，連結(jié)，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)，發(fā)現(xiàn)．請證明．
（2）拓展：如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若，，求的長度．
（3）應(yīng)用：如圖3，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）的長為；（3）的長為．
【解析】
【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)而通過證明；
（2）先證明，再通過勾股定理即可得解；
（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則，進(jìn)而證明，再通過勾股定理即可得解．
【詳解】解：（1）和均為等邊三角形，
，
，
即，
在和中，
；
（2），
即，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
的長為；
（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，如圖所示，
，
則，
，，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
即D、P、E在同一條直線上，
，
在中，
，
的長為：．

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