1．（3分）下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．1，，2D．，，8
3．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x≠﹣2
4．（3分）下列計(jì)算不正確的是（ ）
A．B．
C．D．+＝＝＝3
5．（3分）在下列命題中，正確的是（ ）
A．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形
B．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形式菱形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．60°B．120°C．72°D．36°
7．（3分）如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長(zhǎng)度為5米，若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即DE＝3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（ ）
A．1米B．米C．2米D．4米
8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2bD．0
10．（3分）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為20m，寬為16m的矩形草地上放著一根長(zhǎng)方體木塊，已知該木塊的較長(zhǎng)邊和場(chǎng)地寬AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為2m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處爬過(guò)木塊到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是（ ）m．
A．B．C．D．
11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是（ ）
A．一直增大B．一直減小
C．先減小后增大D．先增大后減少
12．（3分）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（ ）
A．47B．62C．79D．98
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（3分）若最簡(jiǎn)二次根式與能合并，則＝ ．
14．（3分）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為 ．
15．（3分）如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB＝2，BC＝3，則圖中陰影部分的面積為 ．
16．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（2，2）、C（0，3），在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo) ．
三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）（1）計(jì)算：；
（2）．
18．（8分）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，．
（1）求它的周長(zhǎng)（要求結(jié)果化簡(jiǎn)）；
（2）請(qǐng)你給出一個(gè)適當(dāng)?shù)膞的值，使它的周長(zhǎng)為整數(shù)，并求出此時(shí)三角形的周長(zhǎng)．
19．（8分）定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝12，AM＝5，求BN的長(zhǎng)．
20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）求四邊形ABCD的面積．
21．（9分）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問(wèn)題：
兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出兩個(gè)二次根式，使它們互為有理化因式： ．
化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：．
（2）請(qǐng)仿照上述方法化簡(jiǎn)：．
（3）比較與 的大?。?br>22．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G．
（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度數(shù)；
（2）求證：AF＝DE．
23．（10分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，且DE＝AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F．
（1）求證：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠ABC＝60°，求AE的長(zhǎng)．
24．（11分）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問(wèn)題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；
②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝ ．
2023-2024學(xué)年河北省石家莊市趙縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題有12個(gè)小題，每小題3分，共36分）
1．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)中不含分母，判斷即可．
【解答】解：A.＝，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
B.＝，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
C．﹣，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
D.＝2，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
2．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，當(dāng)三角形中三邊的關(guān)系為：a2+b2＝c2時(shí)，則三角形為直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；
D、（）2+（）2≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足：a2+b2＝c2時(shí)，則三角形ABC是直角三角形．解答時(shí)，只需看兩較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．
3．【分析】根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍．
【解答】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范圍是：x≥2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
4．【分析】利用二次根式的加減法對(duì)A、D進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷．
【解答】解：A．原式＝2，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B．原式＝＝，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C．原式＝，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D． 與不能合并，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定一一判斷即可．
【解答】解：A、對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤，比如等腰梯形的對(duì)角線相等，不是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意．
B、有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，錯(cuò)誤，應(yīng)該是有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，本選項(xiàng)不符合題意．
C、有一組鄰邊相等的平行四邊形式菱形，正確，本選項(xiàng)符合題意．
D、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，應(yīng)該是對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住特殊四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
6．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴3∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．【分析】作CF⊥AB，根據(jù)勾股定理求得AF的長(zhǎng)，可得BF的長(zhǎng)度．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
根據(jù)題意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此時(shí)木馬上升的高度為1米，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
8．【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出BO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴AO＝3，
則BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出BO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
9．【分析】利用數(shù)軸得出b＜0＜a，|b|＞|a|，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．
【解答】解：由數(shù)軸可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a﹣b＞0，
則＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法是關(guān)鍵．
10．【分析】將長(zhǎng)方體木塊拉伸，結(jié)合兩點(diǎn)間距離及勾股定求解即可得到答案．
【解答】解：由題意可得，如圖所示，
，
∴AB＝20+2×2＝24（m），
∴最短路程是：（m），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理解決最短距離問(wèn)題，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
11．【分析】連接AP，先判斷出四邊形AFPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EF＝AP，再根據(jù)垂線段最短可得AP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，即可判斷出動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，線段EF的值大小變化情況．
【解答】解：如圖，連接AP．
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
由垂線段最短可得AP⊥BC時(shí)，AP最短，則線段EF的值最小，
∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵．
12．【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，進(jìn)而得出x+y的值．
【解答】解：由題可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴當(dāng)c＝n2+1＝65時(shí)，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．【分析】根據(jù)題意可得與是同類二次根式，并且被開(kāi)方數(shù)相同，進(jìn)而可得方程，再解即可．
【解答】解：由題意得：2x﹣1＝x+3，
解得：x＝4，
∴＝＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．
14．【分析】利用完全平方公式將原式進(jìn)行變形，然后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1，
當(dāng)x＝+1時(shí)，
原式＝（+1﹣1）2+1
＝（）2+1
＝2+1
＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題關(guān)鍵．
15．【分析】觀察圖形，陰影部分顯然不規(guī)則，想想怎么將它們進(jìn)行拼組，組成規(guī)則圖形；首先結(jié)合矩形的性質(zhì)可得OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，試著證明△AOE≌△COF，進(jìn)而可得△AOE與△COF的面積相等；接下來(lái)即可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△BCD的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，則S△AOE＝S△COF，
∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，
∴S△BCD＝BC?CD＝×3×2＝3，故S陰影＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的面積公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是把陰影圖形的面積補(bǔ)為一個(gè)直角三角形的面積．
16．【分析】需要分類討論：以AB為邊的平行四邊形和以AB為對(duì)角線的平行四邊形．
【解答】解：①當(dāng)AB為邊且AB、AC為鄰邊時(shí)：如圖1，
因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣1，0）、B（2，2），
所以點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得點(diǎn)B，
相應(yīng)的點(diǎn)C先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得點(diǎn)D，
∵C（0，3），
∴D（3，5）；
②當(dāng)AB為邊且AB、AD為鄰邊時(shí)：如圖2，
因?yàn)辄c(diǎn)B（2，2）、C（0，3），
所以點(diǎn)B先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得點(diǎn)C，
相應(yīng)的點(diǎn)A先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得點(diǎn)D，
∵A（﹣1，0），
∴D（﹣3，1）；
③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)：如圖
因?yàn)辄c(diǎn)B（2，2）、C（0，3），
所以點(diǎn)C先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得點(diǎn)B，
相應(yīng)的點(diǎn)A先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得點(diǎn)D，
∵A（﹣1，0），
∴D（1，﹣1）；
故答案為：（3，5），（﹣3，1），（1，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定及點(diǎn)的平移問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出對(duì)應(yīng)圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決．
三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．【分析】（1）先化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式；
（2）先展開(kāi)，再去括號(hào)合并同類二次根式．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3
＝﹣；
（2）原式＝3﹣1+2﹣（3﹣4+4）
＝3﹣1+2﹣3+4﹣4
＝6﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運(yùn)算的法則．
18．【分析】（1）把三角形的三邊長(zhǎng)相加，即為三角形的周長(zhǎng)．運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，選擇一個(gè)符合題意的x的值即可解答本題．
【解答】解：（1）∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，
∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：
++
＝++
＝；
（2）當(dāng)x＝20時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：＝×10＝25（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則．
19．【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．
（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2；②當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形．
故點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
綜上所述BN的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題參考勾股定理的逆定理、解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考?？碱}型．
20．【分析】（1）連接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，從而可得∠DAC＝90°，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）連接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度數(shù)為135°；
（2）由題意得：
四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積
＝AB?BC+AD?AC
＝×2×2+×1×2
＝2+，
∴四邊形ABCD的面積為2+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
21．【分析】（1）根據(jù)有理化因式的概念寫(xiě)出乘積不含二次根式的兩個(gè)式子即可；
（2）分子，分母同時(shí)乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比較．
【解答】解：（1）+2與﹣2互為有理化因式，
故答案為：+2與﹣2（答案不唯一）；
（2）
＝
＝+；
（3）＝，＝，
∵＜，
∴＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化．
22．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠EGF＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠FEG的度數(shù)；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：AB＝CD，AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義求出∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，即可證明AE＝DF．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝90°，
又∵∠EFG＝32°，
∴∠FEG＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)的運(yùn)用，能綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
23．【分析】（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直求出∠COD＝90°，證明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理，得出AC與CE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四邊形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．【分析】（1）利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長(zhǎng)；
②方法一：連接PC、AQ交于點(diǎn)D，同①可證△PBC≌△ABQ，則AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延長(zhǎng)QB作AE⊥QE，求出BE的長(zhǎng)，則答案可求出．
方法二：連接PC，AQ，PQ，延長(zhǎng)PB使BH＝AB，由①得，△BPC≌△BAQ，證明△BQH≌△BCA（SAS），得出S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，則可得出答案．
【解答】解：（1）證明：如圖1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：連接PC、AQ交于點(diǎn)D，如圖2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的結(jié)論：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②連接PC、AQ交于點(diǎn)D，如圖3，
同①可證△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M(jìn)、N分別是AC、AP中點(diǎn)，
∴MN＝PC，
∵M(jìn)N＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延長(zhǎng)QB作AE⊥QE，
則有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．
方法二：
連接PC，AQ，PQ，延長(zhǎng)PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，
∴S△ABC＝
＝
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線定理、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．

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