1.已知直線l經(jīng)過點A(1, 3)和B(0,2 33)兩點，則直線l的傾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.直線l1：(a2?4)x+y?1=0，直線l2：x+(a?2)y+3=0，則直線l1⊥l2是a=?3的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.已知兩個非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，它們平行的充要條件是( )
A. 1|a|a=1|b|bB. a1b1=a2b2=a3b3
C. a1b1+a2b2+a3b3=0D. 存在非零實數(shù)k，使a=kb
4.如圖，四棱錐P?OABC的底面是矩形，設(shè)OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一點，且PE=2EC，則BE=( )
A. ?13a?13b+13c
B. ?a?13b+13c
C. ?a+13b+13c
D. ?a?13b?13c
5.已知橢圓C：x225+y29=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，若△ABF2內(nèi)切圓的面積為π，則|y1?y2|=( )
A. 54B. 2C. 52D. 3
6.已知圓C1：x2+y2?2mx+m2?1=0和圓C2：x2+y2?2ny+n2?9=0恰有三條公共切線，則(m?6)2+(n?8)2的最小值為( )
A. 6B. 36C. 10D. 10
7.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD翻折，使得二面角A?BD?C的平面角的大小為π3，若點E，F(xiàn)分別是線段AC和BD上的動點，則BE?CF的取值范圍為( )
A. [?1,0]B. [?1,14]C. [?12,0]D. [?12,14]
8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點A，B及動點P，若|PB||PA|=λ(λ>0且λ≠1)，則點P的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓(簡稱“阿氏圓”).在平面直角坐標(biāo)系中，已知O(0,0)，Q(0, 2)，直線l1：kx?y+k+3=0，直線l2：x+ky+3k+1=0，若P為l1，l2的交點，則3|PO|+|PQ|的最小值為( )
A. 66B. 13?3 2C. 14?3 2D. 70
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知橢圓x2m+y22=1，c=1，則ca(2a為橢圓上的點到兩焦點的距離之和，2c為兩焦點之間的距離)為( )
A. 13B. 33C. 22D. 3
10.已知點P(?2,?1)到直線l：(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距離為d，則d的可能取值是( )
A. 0B. 1C. 13D. 4
11.如圖，八面體Ω的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點B，C，D，E在同一個平面內(nèi).若點M在四邊形BCDE內(nèi)(包含邊界)運動，N為AE的中點，則( )
A. 當(dāng)M為DE的中點時，異面直線MN與CF所成角為π3
B. 當(dāng)MN//平面ACD時，點M的軌跡長度為2 2
C. 當(dāng)MA⊥ME時，點M到BC的距離可能為 3
D. 存在一個體積為10π3的圓柱體可整體放入Ω內(nèi)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，則AC1的長為______．
13.已知橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為 32.若A，B分別是橢圓的上、下頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的上、下焦點，P為橢圓上任意一點，且PA?PB=?12，則△PF1F2的面積為______．
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(?4,0)，B(0,4)，從直線AB上一點P向圓(x?1)2+(y+1)2=4引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，則直線CD過定點，定點坐標(biāo)為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題15分)
已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,0).求：
(1)BC邊上的中線所在的直線方程；
(2)AB邊垂直平分線方程．
16.(本小題15分)
著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式S=abπ，(a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長)為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：x218+y29=1．
(1)求C的面積；
(2)若直線l：x+2y?3=0交C于A，B兩點，求|AB|．
17.(本小題15分)
如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=3，CF=1．
(1)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；
(2)求平面BDE與平面BDF的夾角．
18.(本小題15分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若斜率為 3的直線l過橢圓的焦點以及點(0,?2 3).點P是橢圓C上與左、右頂點不重合的點，且△PF1F2的面積最大值2 2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點E(?2,0)的直線m交橢圓C于點M、N，且滿足OM?ON=4 63?1tan∠MON(O為坐標(biāo)原點)，求直線m的方程．
19.(本小題17分)
蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓M的方程為x2+(y?b)2=r2，直線x=my與圓M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線x=ny與圓M交于E(x3,y3)，F(xiàn)(x4,y4).原點O在圓M內(nèi).設(shè)CF交x軸于點P，ED交x軸于點Q．
(1)當(dāng)b=0，r= 5，m=?12，n=2時，分別求線段OP和OQ的長度；
(2)①求證：y1+y2y1y2=y3+y4y3y4．
②猜想|OP|和|OQ|的大小關(guān)系，并證明．
參考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B
7.B
8.A
9.BC
10.AB
11.ACD
12. 17
13. 22
14.(13,?13)
15.解：A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)．
(1)BC中點坐標(biāo)為E(3,32)，直線AE的斜率kAE=1?321?3=14，
所以BC邊上的中線所在的直線方程為y?32=14(x?3)，即x?4y+3=0；
(2)AB中點坐標(biāo)為(32,2)，
直線AB的斜率kAB=3?12?1=2，
所以，AB邊垂直平分線的斜率k=?12且過(32,2)，
故AB邊垂直平分線方程為y?2=?12(x?32)，整理得2x+4y?11=0．
16.解：(1)橢圓C的方程為x218+y29=1，
∴a2=18，b2=9，
∴a=3 2，b=3，
∵橢圓C的面積S=πab=9 2π．
(2)聯(lián)立x218+y29=1x+2y?3=0，得2y2?4y?3=0，
Δ=16+24=40>0，
∴y1+y2=2，y1y2=?32，
|AB|= 1+1k2× (y1+y2)2?4y1y2= 5× 4+6=5 2．
17.解：(1)以A為原點，AB，AD，AE分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,3)，C(2,3,0)，F(xiàn)(2,3,1)，
(1)設(shè)平面BDE法向量m=(x,y,z)，BD=(?2,2,0)，BE=(?2,0,3)，
則?2x+2y=0?2x+3z=0，令z=2，則x=3，y=3，所以m=(3,3,2)，
因為CE=(?2,?3,3)，設(shè)直線CE與平面BDE所成角為θ，
則sinθ=|cs?CE,m?|=|CE?m|CE||m||=|?6?9+6 22× 22|=922，
所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值922．
(2)設(shè)平面BDF法向量n=(x,y,z)，BD=(?2,2,0)，BF=(0,3,1)，
則?2x+2y=03y+z=0，
令x=1，則y=1，z=?3，所以n=(1,1,?3)，
由(1)知m=(3,3,2)，
設(shè)平面BDE與平面BDF的夾角為α，
所以csα=|cs?m,n?|=|m?n|m||n||=|3+3?6 22× 11|=0，
因為0°≤α≤90°，
所以平面BDE與平面BDF的夾角為90°．
18.解：(1)直線l：y= 3x?2 3，∵直線l過橢圓焦點，所以，該焦點坐標(biāo)為(2,0)，
則c=2，又△PF1F2的面積最大值2 2，則bc=2 2，
所以b= 2，a2=6，b2=2，
故橢圓C的方程為x26+y22=1. (?)
(2)①當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)m：y=k(x+2)，
代入(?)整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2?6=0，
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2)，則x1+x2=?12k23k2+1，x1?x2=12k2?63k2+1，
所以，|MN|= 1+k2?|x1?x2|= 1+k2? (x1+x2)2?4x1x2=2 6(1+k2)3k2+1，
點O到直線m的距離d=|2k| 1+k2，
因為OM?ON=43 61tan∠MON，即|OM|?|ON|cs∠MON=43 6?cs∠MONsin∠MON，
又由OM?ON≠0，得cs∠MON≠0，
所以，|OM|?|ON|sin∠MON=43 6?S△OMN=23 6，
而S△OMN=12|MN|?d，∴|MN|?d=43 6，即2 6(1+k2)3k2+1?|2k| 1+k2=43 6，
解得k=± 33，此時m：y=± 33(x+2)；
②當(dāng)直線m的斜率不存在時，m：x=?2，直線m交橢圓于點M(?2, 63)、N(?2,? 63)，
也有S△OMN=12×2×2 63=23 6，經(jīng)檢驗，上述直線m均滿足OM?ON≠0，
綜上：直線m的方程為x± 3y+2=0或x=?2．
19.解：(1)當(dāng)b=0，r= 5，m=?12，n=2時，
圓M：x2+y2=5，
直線CD：x=?12y，由x2+y2=5x=?12y?x=?1y=2或x=1y=?2，故C(?1,2)，D(1,?2)；
直線EF：x=2y，由x2+y2=5x=2y?x=?2y=?1或x=2y=1，故E(2,1)，F(xiàn)(?2,?1)．
所以直線CF：y+12+1=x+2?1+2，令y=0，得x=?53，即P(?53,0)；
直線ED：y?1?2?1=x?21?2，令y=0，得x=53，即Q(53,0)．
所以|OP|=|OQ|=53．
(2)①證明：由題意：b2

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