1.已知(1+i)z?=1+3i，則復(fù)數(shù)z的虛部為( )
A. 1B. ?iC. ?1D. i
2.一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是( )
A. 14B. 15C. 23D. 25
3.在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G為△ABC的重心，P在OG上，且OP=12PG，則AP=( )
A. ?29a+19b+19cB. 89a?19b?19c
C. ?89a+19b+19cD. 29a?19b?19c
4.已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.6，P(B)=0.3，則P(A?)等于( )
A. 0.8B. 0.7C. 0.5D. 0.2
5.已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1)，且方向量為S=(0,1,1)，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為( )
A. 3 22B. 22C. 102D. 2
6.雙曲線(xiàn)C與橢圓x29+y24=1有相同的焦點(diǎn)，一條漸近線(xiàn)的方程為x?2y=0，則雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. x24?y2=1B. y29?x236=1C. x29?y236=1D. y24?x2=1
7.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,?1)，則E的方程為( )
A. x218+y29=1B. x227+y218=1C. x236+y227=1D. x245+y236=1
8.橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線(xiàn)l過(guò)左焦點(diǎn)F1交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的內(nèi)切圓的面積是π，若橢圓C的離心率的取值范圍為[ 26, 23]，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是( )
A. [6 2,12 2]B. [6,12]C. [4,8]D. [4 2,8 2]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點(diǎn)，則( )
A. BC1//平面B1DE B. 直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成的角為45°
C. 平面A1AF⊥平面B1DE D. 點(diǎn)E到平面A1D1F的距離為 24
10.已知點(diǎn)P是左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓C：x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn)，則( )
A. 若∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積為4 2
B. 使△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)
C. |PF1|?2|PF2|的最大值為6?2 2
D. 若M(1,12)，則|PF1|+|PM|的最大、最小值分別為4 2+ 52和4 2? 52
11.如圖，曲線(xiàn)C是一條“雙紐線(xiàn)”，其C上的點(diǎn)滿(mǎn)足：到點(diǎn)F1(?2,0)與到點(diǎn)F2(2,0)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 點(diǎn)D(2 2,0)在曲線(xiàn)C上
B. 點(diǎn)M(x,1)(x>0)在C上，則|MF1|=2 2
C. 點(diǎn)Q在橢圓x26+y22=1上，若F1Q⊥F2Q，則Q∈C
D. 過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|b>0)與雙曲線(xiàn)x2m2?y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦點(diǎn)F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，橢圓的離心率為e1，雙曲線(xiàn)的離心率為e2，點(diǎn)P為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，Ⅰ為△F1PF2
的內(nèi)心，F(xiàn)1，I，G三點(diǎn)共線(xiàn)，且GP?IP=0，x軸上點(diǎn)A，B滿(mǎn)足AI=λIP，BG=μGP，則e1e2的最小值為_(kāi)_____；λ2+μ2的最小值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線(xiàn)x?y+1=0上，且與直線(xiàn)2x+y=0相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線(xiàn)l被圓M截得的弦長(zhǎng)為3 2，求直線(xiàn)l的方程．
16.(本小題15分)
已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin(A+C)sinA+sinC=a?cb?c，且a=2．
(1)若B=π6，求c；
(2)點(diǎn)D在邊BC上且AD平分∠BAC，若AD= 3，求三角形ABC的周長(zhǎng)．
17.(本小題15分)
橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P( 3,1)且離心率為 63，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，定點(diǎn)A(?4,0)．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若△AMN面積為3 3，求直線(xiàn)MN的方程．
18.(本小題17分)
在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=12BC=2，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．
(1)證明：DE/?/平面PAB；
(2)若直線(xiàn)PF與平面PAB所成的角為60°，
①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
②平面ADE將四棱錐P?ABCD分成上、下兩部分，求平面ADE以下部分幾何體的體積．
19.(本小題17分)
已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線(xiàn)方程為y=±12x．
(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，過(guò)點(diǎn)B(3,0)作與x軸不重合的直線(xiàn)l與C交于P、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)A1P與A2Q交于點(diǎn)S，直線(xiàn)A1Q與A2P交于點(diǎn)T．
(i)設(shè)直線(xiàn)A1P的斜率為k1，直線(xiàn)A2Q的斜率為k2，若k1=λk2，求λ的值；
(ii)求△A2ST的面積的取值范圍．
參考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.A
6.A
7.A
8.B
9.ACD
10.BCD
11.ACD
12.?12
13.0
14. 32 1+ 32
15.解：(1)∵圓M的圓心在直線(xiàn)x?y+1=0上，設(shè)M(m,m+1)，則m+1m×(?2)=?1，
解得m=?2，即M(?2,?1)，∴圓的半徑為 4+1= 5，
∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+1)2=5；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線(xiàn)l被圓M截得的弦長(zhǎng)為3 2，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=0，
此時(shí)直線(xiàn)l被圓M截得的弦長(zhǎng)為2 5?4=2，不符合題意，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，即kx?y+2=0，
∴(|?2k+1+2| k2+1)2+(3 22)2=5，解得k=1或k=177，
∴直線(xiàn)l的方程為x?y+2=0或17x?7y+14=0．
16.解：(1)由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC，
∴sin(A+C)sinA+sinC=sin(π?B)sinA+sinC=sinBsinA+sinC=ba+c=a?cb?c，
∴b(b?c)=(a+c)(a?c)，
∴b2?bc=a2?c2，即b2+c2?a2=bc，
由余弦定理知csA=b2+c2?a22bc=12，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π3，由A=π3，B=π6，知C=π?π3?π6=π2，
故△ABC為直角三角形，sinA=ac，
∴ 32=2c，
故c=4 33；
(2)點(diǎn)D在邊BC上且AD平分∠BAC，
所以SΔABC=SΔABD+SΔACD，即12AB?AC?sinA=12AB?AD?sin∠BAD+12AC?AD?sin∠CAD，即12bcsin60°=12c? 3sin30°+12b? 3sin30°，即bc=b+c，①
又由于b2+c2?a2=bc，即b2+c2?4=bc，即(b+c)2=4+3bc.②
①代入②得到(b+c)2?3(b+c)?4=0，
所以b+c=4或b+c=?1(舍去)，
所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+4=6．
17.解：(1)由題意可得：3a2+1b2=1，ca= 63，又a2=b2+c2，
聯(lián)立解得：a2=6，b2=2，c=2．
∴橢圓C的方程為：x26+y22=1．
(2)F(2,0)．
①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得：46+y22=1，解得y=± 63．
則S△AMN=12×6×2 63=2 6≠3 3，舍去．
②若MN與x軸重合時(shí)不符合題意，舍去．因此可設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：my=x?2．
把x=my+2代入橢圓方程可得：(m2+3)y2+4my?2=0．
∴y1+y2=?4mm2+3，y1?y2=?2m2+3，
∴|y1?y2|= (y1+y2)2?4y1y2= (?4mm2+3)2?4×?2m2+3=2 6(m2+1)m2+3．
則S△AMN=12×6×|y1?y2|=3×2 6(m2+1)m2+3=3 3，解得m=±1．
∴直線(xiàn)MN的方程為：y=±(x?2)．
18.(1)證明：取PB中點(diǎn)M，連接AM，EM，
因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以ME/?/BC，ME=12BC，
又因?yàn)锳D//BC，AD=12BC，
所以ME/?/AD，ME=AD，所以四邊形ADEM為平行四邊形，
所以DE/?/AM，因?yàn)镈E?
平面PAB，AM?平面PAB，所以DE/?/平面PAB；
(2)解：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，
取AB中點(diǎn)G，連接FG，則FG/?/BC，所以FG⊥平面PAB，
所以∠GPF=60°，GF=12(AD+BC)=3，所以tan60°=3PG，所以PG= 3，
又PA=PB=2，所以AG=GB= 4?3=1，AB=2，
①如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB，GF，GP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以P(0,0, 3)，C(1,4,0)，D(?1,2,0)，
所以PC=(1,4,? 3),CD=(?2,?2,0)，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量，n1=(x,y,z)，
則n1?PC=0n1?CD=0，即x+4y? 3z=0?2x?2y=0，取y=1，則n1=(?1,1, 3)，
平面PAB的一個(gè)法向量可取n2=(0,1,0)，
設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為θ，
所以csθ=|n1?n2|n1||n2||=1 5= 55，
所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值 55．
②如圖，BC/?/AD，從而AD垂直于AM，四邊形AMED為矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，
又AD垂直于PM，從而PM垂直于平面AMED.所以四棱錐P?AMED體積為13×PM×S矩形AMED=13×1×2× 3=2 33，
又四棱錐P?ABCD的體積為13×PG×SABCD=13× 3×12×(2+4)×2=2 3，所以五面體ABCDEM為2 3?2 33=4 33．
19.解：(1)由題意知：2a=4，ba=12，解得a=2，b=1，雙曲線(xiàn)方程為x24?y2=1．
(2)

因?yàn)橹本€(xiàn)l斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)l方程為x=ty+3，易知A1(?2,0)，A2(2,0)，
設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，聯(lián)立x24?y2=1，得(t2?4)y2+6ty+5=0，
則t2?4≠0Δ>0y1+y2=?6tt2?4y1y2=5t2?4，且y+2y2=?56t(y1+y2)，
(i)λ=k1k2=y1x1+2?x2?2y2=y1(ty1+3)+2?(ty2+3)?2y2=ty1y2+y1ty1y2+5y2
=?56(y1+y2)+y1?56(y1+y2)+5y2=y1?5y2?5y1+25y2=?15．
(ii)由題可得：A2Q：y=k2(x?2)，A1P：y=k1(x+2)．
聯(lián)立可得：xs=2(k2+k1)k2?k1=43?S(43,103k1)，即S(43,10y13(x1+2))，同理T(43,10y23(x2+2)).
所以|ST|=103|y1x1+2?y2x2+2|=103|y1ty1+5?y2ty2+5|=103|5(y1?y2)?56t(y1+y2)+5t(y1+y2)+25
=4| (y1+y2)2?4y1y2t(y1+y2)+6|=23 t2+5，
故S△A2ST=12|ST||xA2?xs|=29 t2+5，
因?yàn)閠2≥0且t2≠4，
所以S△A2ST∈[2 59,23)∪(23,+∞)．

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